����� ̸����� (original) (raw)

���������� Computer mentor �� ���������� ���������� �� ������.

����� ̸�����

�������� �� ������ ����

�. ����

� �� ���� ���������� ��� ������ �� ����� ̸����� ������� ��� ��������� � �� ������� �����. ���� ����� � �����, ����� ���������. ����� � �������:

1. ����� ����� �������� ������� ������� �����, ����� ������� ����� ̸�����?

��������� �����: ������� ������ ���� ����� � �������, � �������� �ó����� ���������� ����� � ������. ������, �� ����������� ����� ����� ̸����� �� ��������.

��� �����, �� � ����� ���������, ������� ����� �����������: ����������� �� ������ ����� �������� ���� � ��� ������, ����� ������ ����������� ����. ���� �� ���� ������ �� �����������, �� ����� ̸����� ����� ������� �� ������ �� ��������, �� �� �������������� ����� �������� � ����������� ������� ����� ���� ���� �� ������� ������ ��� ������� �������������.

������� ��� ����� ��� (���. 1). ������ ������������� ���� � ��������, �������� ��� ����������� ���. ����� �� ���� ��������, ��� �� ������� �������� �������, ������ ����� ̸�����, �������� ��������������� ����� �������� ���� � �����. �� ������� 1 �����, ��� ���� ������, �� �������� ������� ����� ̸�����, �������� ������.


���. 1

����������� ������, ��� �������� ������� ����� ��������, �� �� ����. ������ ������ ������� �� �������. ����, ��� ��� ������� �������, ��� ����� ������� �� �� ����� ̸�����. ����� �������, ���������� ����� ����� λ, ��� �� ������� ����� ������ λ ����� ̸����� ������� �����, � �� ������� ����� ������ λ � ������ (��� ����� ��� �������, ����� ������� � �������� ����� λ, ��� �� ����������). ����� �������� �� ����� ��� λ.

�����������, �� ������� ���� ������ �� ��� ��� �� ��������.

����� � ������ ��� λ �����������

1,57... � π 2 ≤ λ ≤ √ 3 � 1,73...

(��� ���� �������� ����������� �������� ������� �� ������������: ��������������, ��� ���� ������� ����������� �����) � ���������� ���������, ������ �� ������ ��������� λ ������.

2. �������� ���� ������ � ���������������� ������������

��� ���������� �� ���� ������ ��� �����, ���������, ����� ��� �������������� �����.

����� ������, ��� ���������� ���� ������ ����������� ������������ ����������� �������������� �������� ������. ��������, ���� ������, �� �����, ����� �������� � ������ ��� ������� ��� ��������������, �� ������ ������� �������� (���. 2). �� ����� ������, �� ���� ���, ����� ������� ����� (�������), �� ������ ������� ����� ��� ���� � ������� (���. 3): �������� ���� ������ � �������, � ����������� �������� �������. ��� �����, ����� ������ ����� ������� ������ �� ������ �����.

�����������, ������� ����� ������� �� ����� ������, �������, �� �� ������ ���, ���������� �������� ����������������. (������� ��������������� ������������ �������� �� ������� 4.) �������, � ���������� ��������������� ����������� ������������ �� ���: � �������������� ����� ����������� ����� �������, ���������, ���������. ���������� ����� ������ ��������������� ������������, ����� ���������� ������� � ������������������ ����� �� ������, ������ ��� ����� ����; ���������� �������� ��� ��������������� (����� ����������� �������� ������). � �� ��������� ����� �������� ����� ������ ��������������� ������������: ������ ����� ������ ����������. � ������� ������ ��������� �������� ��������������� ������������, ������ ��� �����������. ���� ��������� ����������� �� ��������� �� ��������, ��� ��� ������� ������������� ��� �������� ��� ����������������� ����� (�������� ���� ������ � ��������� � �� ��������������).


���. 4

  1. ����� ������ ����� A ��������������� �����������, �� ������� �� � �������, �������� ������� �� ����������� �������, �� ����������� � A. ����� ������, � ������ ����� � ��������������� ����������� (����������, �� �� ������� ����� ������) ����� ��������� ����� ���, ����� ��� ��������� � ����������� �� ��������� ���������� �� ��� ������� �� ������ �����. ����� ������� ���������� ���������� ����������� (���������, ��� ��� �������� ��������� ������ � �������� ������������ �����, ������� ������� �� �����������, �� ����, � ��������, �� ������������ � ���� �������� � ���� ���������).
  2. ���� ����� ����� A, �� ������� �� ������� �����������, �������� ��� ��������� ����������, ������ A �� �������� ������ �� ����� �� ���, �� ���������� ��������� ����� �����������, ���������� A, �������� �������. � ����� ������ ����� A �� ����� �������� �������.
  3. ���� ����� A, �� ������� �� ������� �����������, �������� ������ �����-������ ����������, ������, a, �� ����������� ����� A �������� ���. ����� ����� A �������� ������������ �� ����������� � ��� ����������, ������, b (���. 5). ��� ���������� ��������� ����������� �� ��� �����. � ��� ������� �� ���������� b, � ������� ��������� ���������� a, � ���������� b ��������� ������� �����, � ������ ������� �� b, ����� ������ ������ �� ����� A, ������� �� ������� �����. ����� A � ���� �������� �� ����� �������� �����������.

| | �) ���. 6 �) | | -------------------------------------------------------------------- |

����������, ��� ���� ����� ����������� �� �������� �� ���������, �� �������, �� ����� �� �������� ������������ �� ����������� � ��� ����������, ������ ����� ���� ���������� ����� �� ������� �����������.

�������. ���� ������, �������� � �������� ��� � ������, ������� (� �����������) ����� �� �����. � �������� ���������� ���������� ��������� ������������ ��������, � ������� � ��������� ��������, ������ ������������ �� ����� �����. �������� ����� ������� ������������ ����������. ��������, ���������� � ������� ����� ���������������� �����������, ����������� �� ������� 6�, �������� �� ������� 6� (�� ��� ����������� ��������� � ������� ���� ������): ������ ����� ����� � ����������, � ����������� ������� ������� �� ������� �����.

�����, ������� �� ������� ������� ������� �����, �������� ���� ���������� ��� ���� �����������, ���� ������������. ���� ����������� ������� �� ��������� �������������� (������, �� ��������������), �� ������� ����� ���������� ���� ��� ��������� ������� ���������������, ������ � ������� �� ���� ��������������� ������� ����� �� ������� �����������, � ������� ���� ����� �� �������, ���� ������� �� ����������� ����� (��. ��� ��� ������� 6�).

���������� 1. ��������������� ����������� ������� �� �) ����������� ����� �� �������� 1; �) ����� �������� 1. ��������, ��� ���� �� ���� �� � ���������� ����� ����� �� ������ �) 1; �) √3/2.

�������� � ������ ��������� ������: ���������� λ � ������ ����� ���� �������� ������� ������ 1, �� ������� ����� ������� �������� ����� ̸�����.

3. ������� 1: λ ≥ π/2

��������������. ����� ����� ̸����� ������� �� �������� ������� ����� l. �������� �� �� ������� �������� �����. ��� ����� (�������� ������ ������������) ����� ���������� �� ��������������� ���������� �����, ������ �� ������� ��������� ����� ����� ����� ̸�����. ������� �� ������� ����� ������������� ���������� � ������� ����� (��� �� ������� 6�). ��������� ���-�� ����� ������� 7. ������� ����������: �� ����������� � ��������, ������ 2_l_. ����� ������� ������: ��� ������ ����� ��� ������ �� _l_�������� ��������, �� ������ ����������� �������; ������, ��� ���������������� (�.�. ��������� ���������� � ������� ����� �������). ������� ������� ����� ������������ ����� ��������������� (������� ����� ���������� � ������������), ������������ ����� ��������� ��������������� ���� ����� � ����� ���������, ����������� �� �����. ����� �����, �� �������� � ��� �������, �������� �����������, ����� ������� ����� �� ����� �����. (�� ��� ������� �� ������� 1-3��������������� ������������, ���������� � �. 2.) ������� ������� ����� ����� ��������� �����������, ��� ��� ��� ����� ����� ������� ����������� ���������� ���������� (���. 8). ���������� � ���������� ���������������� ����� �������� ���������� �������, ��� ��� ��������� ���� ������������� ����������.

������ ����� ���������� �� ������ ���������, ������, [AB_]. ���� ����������� �������� � � ������� ����� ������� � ����� ��������� � ����� ������� (������, ������) �� l, �� ��������� ������� CD, ������� ���� �������� ���������� �� ������ ��������� (���. 9). ������� (��� �����), ��� |AC| + |BD| = 2_l. ��� ����������� ����� ������� ����� �� ����� ̸����� ���������� [_AB_] � [_CD_] ������ ���������� ���������, ������ ����� A ����������� � D, � ����� B � � C; ������� �������, ������� ABCD �������� � ������������ ���� � 180�. ����� [_AB_] � [_CD_] ������������� ����������� ��������� ����������. ��� �������� �� [_AB_] � [_CD_] �������� ����, ������� ��� ���������� ���������� � ������������ � [_AB_], ���������� ���������� �� 0� �� 180�. (��������, ��� �������� ���� ����� ��������� KLMP � ������������ ������������ ��� ÐKLQ, ��� Q � ����� �����, ��� ������� LQMP ����� �� �����, ����������� � ���������� � ���� �������.)

������ ����� n � ����� ����� [_AB_] � [_CD_] ����� ���������� [_A_1_B_1], ..., [A n_�1_B _n_�1], ��� �������� ���� ����� [_AB_] � [_AkBk_] ����� _k_�180�/n (����� _A_1, ..., A _n_�1 � ���� ������� ����� ����� AC, � ����� _B_1, ..., B _n_�1 � ���� ������� ����� ����� BD; ��. ���. 10). ����� ������ �� ���������� ������ ��� ����� 1, � �������� ���� ����� ����������������� ����������� ���� �������� ���������� �� ������ 180�/n. �������, ��� ������ �� ���� |_AA_1| + |_BB_1|, |_A_1_A_2| + |B_1_B_2|, ..., |A n_�1_C| + |B n_�1_D| �� ������ ����� a_2_n ������� ����������� 2_n_-���������, ���������� � ���������� ������� 1. ��� ����� �� ������� 11. �� ���� ������� ������� AkEA k+1_B k+1 ����� �� �����, ����������� � ���������� � ���� �������, |AkF| = |AkH| = 1 � [_FG_] || [EBk_] (������� 11 ������ � �������������, ��� |A k+1_B k+1| < |_AkBk_|; ���������, ����������� � ������� |_A_ _k_+1_B_ _k_+1| = |_AkBk_| � |_A_ _k_+1_B_ _k_+1| > |AkBk|, ��������). �� �����, ��� |AkA k+1| + |BkB k+1| = |EB k+1| + |BkB k+1| ≥ |EBk| ≥ |FG| ≥ |FH| ≥ a_2_n (����� |AkA k+1|, |BkB k+1|, |EB k+1| � ����� ����������� �� ������� 11 ������������� ��������; ��� ����� ��������� � ������� �������� [AkA k+1], [BkB k+1] ������� 10; ������������� ����������� ������� �� ����, ��� ÐFHG > 90�, � ��������� � �� ����, ��� ÐFAkH ≥ 180�/n).

����, 2_l_ = |AC| + |BD| = (|_AA_1| + |_BB_1|) + (|A_1_A_2| + |B_1_B_2|) + ... + (|A n_�1_C| + |B n_�1_D|) ≥ na_2_n, �.�. 2_l ��� ����� n �� ������ �������� ��������� ����������� 2_n_-���������, ���������� � ���������� ������� 1. ������, 2_l �� ������ �������� ����� ����� ���� ����������, �� ���� π, � l ≥ π/2. ������� ��������.

4. ������� 2: λ ≤ √3

��� ������� ����� ����������: ��� � �������������� ���������� ���������, ��� ������� ����� ̸����� �� �������, ����� ������� ������ √3. ����������� �������, ��� � ����� � �������� ����� √3. ����� �� ���� ������� ����� ����������� ��� ���������� ������������ (���. 12). �������� ������� �� ������� �������� ���� �������������, ������� ����������� ����� (���. 13; �������� ������� � ������ � ���������� ���). ���� ABCD ������� �����������, ������ ����� A ����������� � ������ D, � ����� B � � ������ C. ��������� ����� ̸�����.

��� ���� ���������� ���� �������� ������� ������� � �� ���� ������. �� ����� ������, ��� ���� ����� ������� ���� ������� ������ √3, �� ����� �� ���������� ����� �������� ����������, ������������ �� ����� ������� (���. 14). ������ ������, ����� ����� �������������� ������� ��� �� �������: ��� ����� �������� ������� � ���� ����������. (������������ �������� ������ ����������, ����� ��� ����� �������� ������������, �.�. ����� ���� ������������ ��������� �������� ������ � �� ��� �������� ��� �� ������������� �����.)

��� �������� ������������ ����� ̸�����, �������� �� ������� 15. Ÿ ���������� ����� ����������� ���� ���: ��� ���������� ���������� ������������ ABC, A'B'C', A"B"C" ����� ����������� ���� �����, ��������������� ������� ��� ���������������� ���������; ������� ABA'B', B'C'B"C", C"A"CA ��������� �����������. ����� ������� �������� �� ������� ������ �� �������������.

���������� 2. ��������� ��� ����� ̸�����, ����������� � �������������� ������� 2, ����� ������������� ���������� � ������� ����� (������� ������� 7).

5. ������ �� ������ ����� λ ������?

���� ������ �� ������, ������ �������, ��������� �� ������. �� �� ������ � ������ ���������� ������� ������ ���������� ����� ���������, ��������, ��� �������, �� �������������� ����� ���������������� �����, ��� ��������� ������ ����������� ����� ��� ������� ��� ������� ��� ��� ���� ������.

� ���������� ��������� �� ��������, ��� λ ���� ���� �� ����� ������� [π/2; √3]. ����� ��? ����� ����, �� ���� ���� ����� ��������� ���� �� �������������� ��������? � �����, ��� λ = √3, � ���� �� ��������, ��� �������� ����� �� ������.

���� ��� � ���. �������������� ������� 1 ��������� ���������������� ���� ������ �������� ����� ����� ̸����� � ���������� � �� ���������������. ������������������ ����� ������ ������� �� ������, �� ����������� ���� � �����: ������� ������������������ ����� �� ��������� ��� ��������� ������ �����, ������ ����� ��������� � �� �����, ������ �� ������� ��������������� �� �����.

��������, ���, ������ � �������� ������ ̸�����, �� � ������ ������ ��������� �� ����� ���������������. ����� λ ����������� ����� �����, � ����� �������� λ ����� ������ �������� ��� ����� ���. ��� ���� ������� 1 ��������� ������, � � � �������������� �� ������� ������ �� ������ �����: ���������� ��������������� � ���� �������������� ����� �� ������������. ��� �� �������� ������� 2, ��, ���� ��������� ���������������, � ����� ����������� ��������. ������:

������� 3. ����� ̸����� � ����������������� ����� ������� �� ������� ����� �����, ������� π/2.

�������� ��� ���. ������ ���������� ������� �������� n � �������� ���������� _n_-��������, ��������� � ���������� �������� 1. ����������, �����, n ���������� ����� ���������� �������������, ������ �� ������� ��������� �������� � ����� ����������� _n_-��������� (���. 16; ����� _n_=7). ��� ������������ ��������� ��� _n_-��������, ��������� ��� ����� � �� ��������� ���. �������� ������ ��� _n_������������� ���� � ����� ���, ��� �������� �� ������� 17, ����� ���� ������� �� ������� ������� �������� ������ ������ ������������ � �������� � � ������ ������� ������������ (���. 17). ��������� ������������� ������� � ���������� ����� � ������, �ó����� π/2 � ����������� � π/2 ��� n, ����������� � ∞ (������ ������� ��������� � 1, � ����� � � π/2).���� ��������������� ��������� ��� ������� �� ���� ���������� �� ��� ������, ������� ����������� ����� (���. 18), �� ������������ ������������ ��� �� ������� 16 (�������� ��� ��� ������� � ������ � ���������� ���). ������� ABCD ��� ���� ����� ����������� � ����� ���� �������� ������ ��������� ���� ��������� ������. ��� ���� ������ ���������� ����� A ����������� � D, � ����� B � � C, ��� ��� ���� �� �� ������ ����������� ����� ������ ����� � ������� |AB| � |CD|,�� ���������� �� ����� ̸�����. ���� ����� ����� ���� ����� �������, ����� �������� �������, ������� ���� ��� �� ��� ������� � �������������� ������� 2. ��� ���������, � ���������� ���������� �� ������� 19.

���������� 3. ��������� ��� ����� ̸�����, ����������� �� ������� 19, ��������� ������� ����� � ������������� ����������.

����� �������, ���� �� �� �������� (��� ���� ��� ���������������) ��������, ��� λ ≥ μ, ��� μ > √3,��� �������� �� � �������������� ����������� ��������� ���������� ���������������. ������� ��� ���������� ��������������� � ��� ��� ���� ������ � ��������� ������������ � ��� ������ ���������� ��������� �������������. ���� ���� ���������� ����������, ��� ������ � ������������ � ��������� ������������ ����� ������. ���� ��� ��������� �������� � ����, ������, ������ ����� � ����������, ��������� ����� ��������������� (������, 1975, � 7, �. 6); � ��� �������� ����� �������� ��� �������� ����� ����������� (������, 1977, � 7, �. 22); ���������� � �������, ��������, ����� �� ����� ��������� ����� ��������� ��������� ���, � ������ � ����� ���� ��������. � ��� ��� �����������. �������� ��, � ������������� ����������� ������ ��� �������� ������������ ������ ������ ��� ����� �����. �� ���: � ������ ����������� ��� ��������� ������������. �������, ������������ ���������� � ����������� 5; ������������ ������������ � ��������� ������ �� ����� ����������. � ���������, ����� � �� ���� ��������������� ������ ��� ���������, ��� ��� ����� �������� ��� �� �����.

�� �������� � ����� ̸�����. ������� 1, ��� �� ������, � ���������������� ��������� � ������������������ ������. ������������, ����� ������� ���������� ��������������� �� �������������� �� λ; ������ ������ ��� ����������� �� ������, ��������� ���������� �� �������� ������������ ������������ ���������� ��� �������� ��������������� � ��������� ������������. ��������, ������ ��������, ��� ������� 2 �����������. ���� �������� � � ������ ��������� ����� ����������������. ���� ����������, ��� ����������� ����������� ������ �������� � ������������, ������� � �������� ����������� �� �������������� ������� 2. ����������� ������������, ��� ���� �� ������ ����������� ������������, ��� ���� �� ������� � �� ������� ���!

��� ������ ����� �������, ��� λ = √3.

6. ����������: �� ����� ����������� ������

������ �� �������� ������� �� ����� ̸�����, � ������� (������� ������� � �����). ����� ��, �� ������ ������, ��������� ������� ���������? ���� ������� ����� � �����, ��, �������, �����, � ���� �� ���� � ����� � �� ������. ��������� ����� σ ����� �����, ��� ���� ��������� ����� ������� � ������ ������ σ, �� ������� ��������� �����, � ���� ������ � �� ������. �������������� ��� ��������� ������ (����� �������, ��� ������� 1, 2, 3) � �������� ��� � �������� ������:

������� 1'. σ ≥ π.

������� 2'. σ ≤ π + 2.

������� 3'. �����������, ��� � �������� ������������� ����������� ���������������. ����� ����� �������, ��������� �� �������, � ������� ��������� ����� � ������ ������ π, ����� ��������� ��������� (�� ������ ������).

������ ������ �� ���� �� ��������.

* * *

� ���������� � ���� �������, ��� ����� �������� ��� ������ �������� � ���� ��� ������ ������ �. ���������� � �. ������ � ������� �Transactions of the American Mathematical Society� (1977, �. 230), �� ������� � ����� � ����������� ��������� ��� � �������������� ����������.