Интерполяционные формулы (original) (raw)

Интерполяционные формулы

Определение "Интерполяционные формулы" в Большой Советской Энциклопедии

Интерполяционные формулы, формулы, дающие приближённое выражение функции у = f (x) при помощи интерполяции, т. е. через интерполяционный многочлен Рn(х) степени n, значения которого в заданных точках _x_0, _x_1, ..., хn совпадают со значениями _y_0, _y_1, ..., уn функции f в этих точках. Многочлен Рn(х) определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.
1. Интерполяционная формула Лагранжа:

Ошибка, совершенная при замене функции f (x) выражением Pn(x), не превышает по абсолютной величине

где М — максимум абсолютной величины (n + 1)-й производной f n+1(x) функции f (x) на отрезке [_x_0, _xn_].

2. Интерполяционная формула Ньютона. Если точки x_0, x_1, ..., xn расположены на равных расстояниях (xk = _x_0 + kh), многочлен Pn(x) можно записать так:

(здесь x0 + th = х, а D_k_ — разности k_-гопорядка: D_k yi = D_k —_ 1 yi +1 — D_k —_ 1_yi_). Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд; название формулы указывает на то, что она содержит заданные значения у, соответствующие узлам интерполяции, находящимся только вправо от x_0. Эта формула удобна при интерполировании функций для значений х, близких к x_0. При интерполировании функций для значений х, близких к наибольшему узлу хn, употребляется сходная формула Ньютона для интерполирования назад. При интерполировании функций для значений x, близких к xk, формулу Ньютона целесообразно преобразовать, изменив начало отсчёта (см. ниже формулы Стирлинга и Бесселя).

Формулу Ньютона можно записать и для неравноотстоящих узлов, прибегая для этой цели к разделённым разностям (см. Конечных разностей исчисление). В отличие от формулы Лагранжа, где каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой _k_-й член формулы Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы (в этом преимущество формулы Ньютона).
3. Интерполяционная формула Стирлинга:

(о значении символа m и связи центральных разностей d**m** с разностями D**m** см. ст. Конечных разностей исчисление) применяется при интерполировании функций для значений х, близких к одному из средних узлов а; в этом случае естественно взять нечётное число узлов х_—_k, ..., _х_—1, _x_0, _x_1, ..., xn, считая а центральным узлом _x_0.
4. Интерполяционная формула Бесселя:

применяется при интерполировании функций для значений х, близких середине а между двумя узлами; здесь естественно брать чётное число узлов х_—_k, ..., _х_—1, _x_0, _x_1,..., xk, xk + 1, и располагать их симметрично относительно a (_x_0 < а < _x_1).

Лит. см. при ст. Интерполяция.
В. Н. Битюцков.

Статья про "Интерполяционные формулы" в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 724 раз