في الرياضيات، حقل مغلق حقيقي (بالإنجليزية: Real closed field) هو حقل F، له نفس الخصائص من المستوى الأول، التي يملكها حقل الأعداد الحقيقية. (ar)
Die reell abgeschlossenen Körper sind in der Algebra Körper, die mit dem Körper der reellen Zahlen einige wesentliche Eigenschaften gemeinsam haben: Zum Beispiel haben Polynome mit ungeradem Grad dort stets eine Nullstelle und diese Körper lassen sich mit einer durch die Körperstruktur eindeutig bestimmten Ordnungsrelation ausstatten, mit der sie zu geordneten Körpern werden. Ein reell abgeschlossener Körper ist maximal unter den formal reellen Körpern, das sind die Körper, auf denen überhaupt eine strukturverträgliche Ordnung definiert werden kann: Jede echte algebraische Körpererweiterung zerstört die Möglichkeit, den reell abgeschlossenen Körper anzuordnen. Gleichzeitig ist er „beinahe“ algebraisch abgeschlossen: Jede echte algebraische Körpererweiterung macht ihn zu einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Das hier beschriebene mathematische Konzept, das neben dem Begriff des reell abgeschlossenen Körpers auch Begriffe wie formal reeller Körper, pythagoreischer Körper und euklidischer Körper hervorgebracht hat, beschreibt bestimmte Eigenschaften der reellen Zahlen algebraisch und benutzt solche Beschreibungen zur axiomatischen Definition einer Klasse von Körpern mit diesen Eigenschaften. (de)
En mathématiques, un corps réel clos est un corps totalement ordonnable dont aucune extension algébrique propre n'est totalement ordonnable. (fr)
In mathematics, a real closed field is a field F that has the same first-order properties as the field of real numbers. Some examples are the field of real numbers, the field of real algebraic numbers, and the field of hyperreal numbers. (en)
체론과 모형 이론에서 실폐체(實閉體, 영어: real closed field)는 실수체와 기본 동치인 체이다. (ko)
数学における実閉体（じつへいたい、英: real closed field）は実数体と一階の性質が同じである体を言う。実数体、実代数的数体、超実数体などがその例を与える。 (ja)
Ciało (formalnie) rzeczywiste – ciało w którym zachodzi czyli, jeśli suma kwadratów elementów z ciała wynosi zero, to każdy z tych elementów musi być równy zero. Powyższy warunek jest równoważny każdej z dwóch poniższych własności: * nie jest sumą kwadratów w * ciało może być liniowo uporządkowane. Ciało, które nie jest formalnie rzeczywiste, nazywamy nierzeczywistym. Ciało rzeczywiście domknięte to ciało spełniające którykolwiek z następujących równoważnych warunków: 1. * jest ciałem formalnie rzeczywistym, które nie ma rozszerzenia algebraicznego będącego ciałem (formalnie) rzeczywistym. 2. * Istnieje porządek liniowy ≤ taki, że jest ciałem uporządkowanym, w którym każdy element dodatni ma pierwiastek kwadratowy w i każdy wielomian nieparzystego stopnia o współczynnikach z ma pierwiastek w 3. * Istnieje porządek liniowy taki, że jest euklidesowym ciałem uporządkowanym i każdy wielomian nieparzystego stopnia o współczynnikach z ma pierwiastek w 4. * Element nie jest kwadratem w a ciało jest algebraicznie domknięte. Teorię ciał formalnie rzeczywistych i ciał uporządkowanych z wykorzystaniem istnienia domknięć rzeczywistych stworzyli E. Artin i O. Schreier w latach 1926–1927, dowodząc między innymi, że: 1. * Każde ciało formalnie rzeczywiste ma rozszerzenie algebraiczne, które jest rzeczywiście domknięte (nazywane jego domknięciem rzeczywistym). 2. * Każde ciało uporządkowane ma rzeczywiste domknięcie, które wyznacza w nim dany jego porządek. 3. * Jeśli ciało algebraicznie domknięte jest właściwym skończonym rozszerzeniem ciała to ciało jest rzeczywiście domknięte i Artin wykorzystał te wyniki do rozwiązania 17. problemu Hilberta. (pl)
Corpo real fechado, em álgebra abstrata, é um tipo de corpo que tem, em comum com os reais, a propriedade de que menos um não é o quadrado de algum elemento, nem a soma de quadrados, e, além disto, é um corpo maximal no sentido de que a única forma de aumentar este corpo e continuar mantendo esta propriedade é através de elementos . Formalmente: Um corpo formalmente real é um corpo que satisfaz: * é um corpo * Um corpo real fechado R é um corpo formalmente real tal que, se E é uma extensão algébrica de R, e E é um corpo formalmente real, então E = R. (pt)
في الرياضيات، حقل مغلق حقيقي (بالإنجليزية: Real closed field) هو حقل F، له نفس الخصائص من المستوى الأول، التي يملكها حقل الأعداد الحقيقية. (ar)
En mathématiques, un corps réel clos est un corps totalement ordonnable dont aucune extension algébrique propre n'est totalement ordonnable. (fr)
In mathematics, a real closed field is a field F that has the same first-order properties as the field of real numbers. Some examples are the field of real numbers, the field of real algebraic numbers, and the field of hyperreal numbers. (en)
체론과 모형 이론에서 실폐체(實閉體, 영어: real closed field)는 실수체와 기본 동치인 체이다. (ko)
数学における実閉体（じつへいたい、英: real closed field）は実数体と一階の性質が同じである体を言う。実数体、実代数的数体、超実数体などがその例を与える。 (ja)
Corpo real fechado, em álgebra abstrata, é um tipo de corpo que tem, em comum com os reais, a propriedade de que menos um não é o quadrado de algum elemento, nem a soma de quadrados, e, além disto, é um corpo maximal no sentido de que a única forma de aumentar este corpo e continuar mantendo esta propriedade é através de elementos . Formalmente: Um corpo formalmente real é um corpo que satisfaz: * é um corpo * Um corpo real fechado R é um corpo formalmente real tal que, se E é uma extensão algébrica de R, e E é um corpo formalmente real, então E = R. (pt)
Die reell abgeschlossenen Körper sind in der Algebra Körper, die mit dem Körper der reellen Zahlen einige wesentliche Eigenschaften gemeinsam haben: Zum Beispiel haben Polynome mit ungeradem Grad dort stets eine Nullstelle und diese Körper lassen sich mit einer durch die Körperstruktur eindeutig bestimmten Ordnungsrelation ausstatten, mit der sie zu geordneten Körpern werden. (de)
Ciało (formalnie) rzeczywiste – ciało w którym zachodzi czyli, jeśli suma kwadratów elementów z ciała wynosi zero, to każdy z tych elementów musi być równy zero. Powyższy warunek jest równoważny każdej z dwóch poniższych własności: * nie jest sumą kwadratów w * ciało może być liniowo uporządkowane. Ciało, które nie jest formalnie rzeczywiste, nazywamy nierzeczywistym. Ciało rzeczywiście domknięte to ciało spełniające którykolwiek z następujących równoważnych warunków: Artin wykorzystał te wyniki do rozwiązania 17. problemu Hilberta. (pl)