Cramer's paradox (original) (raw)
En mathématiques, et plus précisément en géométrie algébrique, le paradoxe de Cramer (nommé d'après Gabriel Cramer, mais qui avait déjà été remarqué par Maclaurin) affirme que le nombre de points d'intersection de deux courbes de haut degré peut être supérieur au nombre de points nécessaires pour définir l'une de ces courbes. Le paradoxe résulte de deux théorèmes : le théorème de Bézout, montrant que le nombre de points d'intersection des deux courbes est égal au produit de leurs degrés, et un théorème énoncé par Cramer, affirmant qu'une courbe de degré n est déterminée parn(n + 3)/2 points ; dès que n est égal ou supérieur à 3, ces deux valeurs sont apparemment contradictoires.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In mathematics, Cramer's paradox or the Cramer–Euler paradox is the statement that the number of points of intersection of two higher-order curves in the plane can be greater than the number of arbitrary points that are usually needed to define one such curve. It is named after the Genevan mathematician Gabriel Cramer. This phenomenon appears paradoxical because the points of intersection fail to uniquely define any curve (they belong to at least two different curves) despite their large number.It is the result of a naive understanding or a misapplication of two theorems: * Bézout's theorem states that the number of points of intersection of two algebraic curves is equal to the product of their degrees, provided that certain necessary conditions are met. In particular, two curves of degree generally have points of intersection. * Cramer's theorem states that a curve of degree is determined by points, again assuming that certain conditions hold. For all , , so it would naively appear that for degree three or higher, the intersection of two curves would have enough points to define either of the curves uniquely. However, because these points belong to both curves, they do not define a unique curve of this degree. The resolution of the paradox is that the bound on the number of points needed to define a curve only applies to points in general position. In certain degenerate cases, points are not enough to determine a curve uniquely. (en) En mathématiques, et plus précisément en géométrie algébrique, le paradoxe de Cramer (nommé d'après Gabriel Cramer, mais qui avait déjà été remarqué par Maclaurin) affirme que le nombre de points d'intersection de deux courbes de haut degré peut être supérieur au nombre de points nécessaires pour définir l'une de ces courbes. Le paradoxe résulte de deux théorèmes : le théorème de Bézout, montrant que le nombre de points d'intersection des deux courbes est égal au produit de leurs degrés, et un théorème énoncé par Cramer, affirmant qu'une courbe de degré n est déterminée parn(n + 3)/2 points ; dès que n est égal ou supérieur à 3, ces deux valeurs sont apparemment contradictoires. (fr) クラメールのパラドックス (Cramer's paradox) とは、任意の平面代数曲線を一意に決定する点の個数に関するパラドックスである。最初に提唱したのはコリン・マクローリンとされるが、その方面での研究を行ったスイスの数学者ガブリエル・クラメールの名が冠されている。 (ja) Парадокс Крамера или парадокс Эйлера — Крамера — это утверждение, что число точек пересечения двух кривых высокого порядка на плоскости может быть больше числа произвольных точек, которые обычно нужны для однозначного определения каждой такой кривой. Парадокс назван именем математика из Женевы Габриэля Крамера. Парадокс является результатом наивного понимания двух теорем: * Теорема Безу (число точек пересечения двух алгебраических кривых равно произведению их степеней при выполнении некоторых условий). * Теорема Крамера (кривая степени n однозначно определяется по n(n + 3)/2 точкам, опять же при выполнении некоторых условий). Заметим, что для всех , так что наивно кажется, что для степеней три и выше могло бы быть достаточно точек пересечения двух кривых, чтобы они однозначно определяли обе кривые. Проблема заключается в том, что в некоторых вырожденных случаях n(n + 3) / 2 точек оказывается недостаточно для однозначного определения кривой. (ru) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Two_cubic_curves.png?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.mathpages.com/home/kmath207/kmath207.htm http://eulerarchive.maa.org/hedi/HEDI-2004-08.pdf |
| dbo:wikiPageID | 22637653 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 6758 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1098866779 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Julius_Plücker dbr:Republic_and_Canton_of_Geneva dbr:Degeneracy_(mathematics) dbr:Introductio_in_analysin_infinitorum dbr:James_Stirling_(mathematician) dbc:Mathematical_paradoxes dbr:Mathematics dbr:General_position dbr:Colin_Maclaurin dbr:Leonhard_Euler dbr:Line_(geometry) dbr:Plane_(geometry) dbr:Bézout's_theorem dbr:Gabriel_Cramer dbr:Algebraic_curve dbr:Cramer's_theorem_(algebraic_curves) dbc:Algebraic_curves dbc:Algebraic_geometry dbr:Determinant_(mathematics) dbr:File:Two_cubic_curves.png |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Algebraic_curves_navbox |
| dcterms:subject | dbc:Mathematical_paradoxes dbc:Algebraic_curves dbc:Algebraic_geometry |
| gold:hypernym | dbr:Statement |
| rdf:type | yago:WikicatCurves yago:WikicatMathematicsParadoxes yago:Abstraction100002137 yago:Attribute100024264 yago:Communication100033020 yago:Contradiction107206887 yago:Curve113867641 yago:Falsehood106756407 yago:Line113863771 yago:Message106598915 yago:Paradox106724559 yago:Shape100027807 yago:Statement106722453 yago:WikicatAlgebraicCurves |
| rdfs:comment | En mathématiques, et plus précisément en géométrie algébrique, le paradoxe de Cramer (nommé d'après Gabriel Cramer, mais qui avait déjà été remarqué par Maclaurin) affirme que le nombre de points d'intersection de deux courbes de haut degré peut être supérieur au nombre de points nécessaires pour définir l'une de ces courbes. Le paradoxe résulte de deux théorèmes : le théorème de Bézout, montrant que le nombre de points d'intersection des deux courbes est égal au produit de leurs degrés, et un théorème énoncé par Cramer, affirmant qu'une courbe de degré n est déterminée parn(n + 3)/2 points ; dès que n est égal ou supérieur à 3, ces deux valeurs sont apparemment contradictoires. (fr) クラメールのパラドックス (Cramer's paradox) とは、任意の平面代数曲線を一意に決定する点の個数に関するパラドックスである。最初に提唱したのはコリン・マクローリンとされるが、その方面での研究を行ったスイスの数学者ガブリエル・クラメールの名が冠されている。 (ja) In mathematics, Cramer's paradox or the Cramer–Euler paradox is the statement that the number of points of intersection of two higher-order curves in the plane can be greater than the number of arbitrary points that are usually needed to define one such curve. It is named after the Genevan mathematician Gabriel Cramer. This phenomenon appears paradoxical because the points of intersection fail to uniquely define any curve (they belong to at least two different curves) despite their large number.It is the result of a naive understanding or a misapplication of two theorems: (en) Парадокс Крамера или парадокс Эйлера — Крамера — это утверждение, что число точек пересечения двух кривых высокого порядка на плоскости может быть больше числа произвольных точек, которые обычно нужны для однозначного определения каждой такой кривой. Парадокс назван именем математика из Женевы Габриэля Крамера. Парадокс является результатом наивного понимания двух теорем: Заметим, что для всех , так что наивно кажется, что для степеней три и выше могло бы быть достаточно точек пересечения двух кривых, чтобы они однозначно определяли обе кривые. (ru) |
| rdfs:label | Cramer's paradox (en) Paradoxe de Cramer (fr) クラメールのパラドックス (ja) Парадокс Крамера (ru) |
| owl:sameAs | freebase:Cramer's paradox yago-res:Cramer's paradox wikidata:Cramer's paradox dbpedia-fr:Cramer's paradox dbpedia-ja:Cramer's paradox dbpedia-mk:Cramer's paradox dbpedia-ru:Cramer's paradox https://global.dbpedia.org/id/36hWm |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Cramer's_paradox?oldid=1098866779&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Two_cubic_curves.png |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Cramer's_paradox |
| is dbo:knownFor of | dbr:Gabriel_Cramer |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Cramer-Euler_paradox dbr:Cramer–Euler_paradox |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:List_of_misnamed_theorems dbr:Cramer-Euler_paradox dbr:Colin_Maclaurin dbr:Georges_Henri_Halphen dbr:Gabriel_Cramer dbr:Cramer's_theorem_(algebraic_curves) dbr:Cramer–Euler_paradox |
| is dbp:knownFor of | dbr:Gabriel_Cramer |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Cramer's_paradox |
