In der Mathematik ist die Oktaedergruppe je nach Konvention * die Symmetriegruppe eines Oktaeders, also die Menge der (Kongruenz-)Abbildungen, die ein Oktaeder wieder auf sich selbst, d. h. Ecken auf Ecken, Kanten auf Kanten usw., abbilden, oder * die Drehgruppe eines Oktaeders, eine Untergruppe der Symmetriegruppe, bei der Spiegelungen und Drehspiegelungen nicht zugelassen sind. Die volle Symmetriegruppe ist das direkte Produkt der Drehgruppe mit der zweielementigen Gruppe, die von der Punktspiegelung am Mittelpunkt erzeugt wird. Im zweiten Fall wird sie zur Unterscheidung auch vollständige, binäre oder erweiterte Oktaedergruppe genannt (nach Felix Klein). Gemeinsam sind beiden Gruppen die folgenden Abbildungen als Elemente: * je eine 90°-, 180°- und 270°-Drehung um die drei 4-zähligen Drehachsen (durch gegenüberliegende Ecken), * je eine 120°- und 240°-Drehung um die vier 3-zähligen Drehachsen (durch gegenüberliegende Flächenmittelpunkte), * je eine 180°-Drehung um die sechs 2-zähligen Drehachsen (durch gegenüberliegende Kantenmittelpunkte) und * die Identität. Daraus ergeben sich Elemente der Drehgruppe, kombiniert mit der Punktspiegelung ergeben sich Elemente der Symmetriegruppe. In den drei Grafiken sind alle 13 Drehachsen (Achsen der Rotationssymmetrie) dargestellt. Der zum Oktaeder duale Würfel ist als Drahtgittermodell mit eingezeichnet. Die Gruppen für Oktaeder und Würfel sind isomorph, da duale Körper den gleichen Symmetrietyp besitzen. Daher kann man die Oktaedergruppe genauso gut auch Würfelgruppe nennen. Die Drehgruppen beider Körper sind isomorph zur symmetrischen Gruppe , nämlich zur Gruppe der Permutationen der 4 dreizähligen Drehachsen. Beim Würfel sind das die Raumdiagonalen und beim Oktaeder die Verbindungslinien gegenüberliegender Flächenmittelpunkte. In der Kristallographie bezeichnet man die Drehgruppe des Oktaeders mit dem Schoenfliess-Symbol und die volle Symmetriegruppe mit . (de)
La regula okedro havas turnan simetrion de 24 (kiu inkluzivas turnajn transformojn sed ne inkluzivas reflektajn transformojn), kaj entutan simetrion de ordo 48 (kiu inkluzivas kaj reflektajn kaj turnajn transformojn). Kubo havas la samajn simetriojn pro tio ke ĝi estas la de okedro. La grupo de orientiĝo-konservantaj simetrioj estas S4, aŭ la grupo de permutoj de kvar objektoj, pro tio ke estas akurate unu tia simetrio por ĉiu permuto de la kvar paroj de kontraŭaj edroj de la okedro. Turna okedra simetrio kaj plena okedra simetrio estas la (aŭ ekvivalente, ) kun la plej grandaj geometriaj simetriaj grupoj kongruaj kun mova simetrio. Ili estas en la de la . (eo)
La simetría octaédrica (también denominada simetría octaedral o simetría del octaedro) es el conjunto de propiedades reflexivas de aquellas figuras del espacio tridimensional que poseen las 24 simetrías rotacionales (o que conservan la orientación) y un de 48, incluidas las transformaciones que combinan una reflexión y una rotación, que son propias de un octaedro regular. El cubo tiene el mismo conjunto de simetrías, ya que es el poliedro poliedro conjugado (también denominado dual) del octaedro. El grupo de simetrías que conservan la orientación es S4, el grupo simétrico o el grupo de permutaciones de cuatro objetos, ya que existe exactamente una de esas simetrías para cada permutación de las cuatro diagonales del cubo. (es)
A regular octahedron has 24 rotational (or orientation-preserving) symmetries, and 48 symmetries altogether. These include transformations that combine a reflection and a rotation. A cube has the same set of symmetries, since it is the polyhedron that is dual to an octahedron. The group of orientation-preserving symmetries is S4, the symmetric group or the group of permutations of four objects, since there is exactly one such symmetry for each permutation of the four diagonals of the cube. (en)
Sebuah reguler memiliki 24 simetri rotasi (atau perluasan-orientasi), dan 48 simetri secara keseluruhan. Ini termasuk transformasi yang menggabungkan refleksi dan rotasi. Sebuah kubus memiliki himpunan simetri yang sama, karena merupakan polihedron ke segi delapan. Grup simetri perluasan-orientasi adalah S4, grup simetris atau grup permutasi dari empat objek, karena tepat satu simetri untuk setiap permutasi dari empat diagonal kubus. (in)
정팔면체 대칭은 정팔면체의 대칭을 말한다. 회전 대칭은 24개, 거울 대칭을 포함하면 48개의 대칭이 있다. 정육면체도 정팔면체와 같은 대칭을 가진다. 회전 대칭만 있는 것은 O로, 거울 대칭도 있는 것은 Oh로 표기한다. (ko)
A regular octahedron has 24 rotational (or orientation-preserving) symmetries, and 48 symmetries altogether. These include transformations that combine a reflection and a rotation. A cube has the same set of symmetries, since it is the polyhedron that is dual to an octahedron. The group of orientation-preserving symmetries is S4, the symmetric group or the group of permutations of four objects, since there is exactly one such symmetry for each permutation of the four diagonals of the cube. (en)
Sebuah reguler memiliki 24 simetri rotasi (atau perluasan-orientasi), dan 48 simetri secara keseluruhan. Ini termasuk transformasi yang menggabungkan refleksi dan rotasi. Sebuah kubus memiliki himpunan simetri yang sama, karena merupakan polihedron ke segi delapan. Grup simetri perluasan-orientasi adalah S4, grup simetris atau grup permutasi dari empat objek, karena tepat satu simetri untuk setiap permutasi dari empat diagonal kubus. (in)
정팔면체 대칭은 정팔면체의 대칭을 말한다. 회전 대칭은 24개, 거울 대칭을 포함하면 48개의 대칭이 있다. 정육면체도 정팔면체와 같은 대칭을 가진다. 회전 대칭만 있는 것은 O로, 거울 대칭도 있는 것은 Oh로 표기한다. (ko)
In der Mathematik ist die Oktaedergruppe je nach Konvention * die Symmetriegruppe eines Oktaeders, also die Menge der (Kongruenz-)Abbildungen, die ein Oktaeder wieder auf sich selbst, d. h. Ecken auf Ecken, Kanten auf Kanten usw., abbilden, oder * die Drehgruppe eines Oktaeders, eine Untergruppe der Symmetriegruppe, bei der Spiegelungen und Drehspiegelungen nicht zugelassen sind. Gemeinsam sind beiden Gruppen die folgenden Abbildungen als Elemente: In der Kristallographie bezeichnet man die Drehgruppe des Oktaeders mit dem Schoenfliess-Symbol und die volle Symmetriegruppe mit . (de)
La regula okedro havas turnan simetrion de 24 (kiu inkluzivas turnajn transformojn sed ne inkluzivas reflektajn transformojn), kaj entutan simetrion de ordo 48 (kiu inkluzivas kaj reflektajn kaj turnajn transformojn). Kubo havas la samajn simetriojn pro tio ke ĝi estas la de okedro. La grupo de orientiĝo-konservantaj simetrioj estas S4, aŭ la grupo de permutoj de kvar objektoj, pro tio ke estas akurate unu tia simetrio por ĉiu permuto de la kvar paroj de kontraŭaj edroj de la okedro. (eo)
La simetría octaédrica (también denominada simetría octaedral o simetría del octaedro) es el conjunto de propiedades reflexivas de aquellas figuras del espacio tridimensional que poseen las 24 simetrías rotacionales (o que conservan la orientación) y un de 48, incluidas las transformaciones que combinan una reflexión y una rotación, que son propias de un octaedro regular. El cubo tiene el mismo conjunto de simetrías, ya que es el poliedro poliedro conjugado (también denominado dual) del octaedro. (es)