في الرياضيات، تحوّل المثنوية المفاهيم أو المبرهنات أو الهياكل الرياضية إلى مفاهيمَ ومبرهنات وهياكل أخرى، عن طريق دالة متباينة، وغالبًا عن طريق دالة ارتدادية: إذا كانت A هي مثنوية B ، فإنّ B هي مثنوية A. قد تحتوي مثل هذه الارتدادات على نقاط ثابتة، بحيث تكون مثنوية A هي نفسها A. مثلاً مبرهنة ديزارغ هي مثنوية ذاتياً في ظل الازدواجية القياسية في الهندسة الإسقاطية. في السياقات الرياضية، للمثنوية معانٍ عديدة. وقد وصف بأنه «مفهوم واسع الانتشار ومهم في الرياضيات (الحديثة)» و «موضوع عام مهم له مظاهر في كل مجال من مجالات الرياضيات تقريبًا». (ar)
In vielen Bereichen der Mathematik kommt es oft vor, dass man zu jedem Objekt der jeweils betrachteten Klasse ein weiteres Objekt konstruieren und zur Untersuchung von heranziehen kann. Dieses Objekt wird dann mit oder ähnlich bezeichnet, um die Abhängigkeit von zum Ausdruck zu bringen. Wendet man dieselbe (oder eine ähnliche) Konstruktion auf an, erhält man daraus ein mit bezeichnetes Objekt. Häufig stehen und in einer engen Beziehung, sind z. B. gleich oder isomorph, weshalb Informationen über enthalten muss. Man nennt dann das zu duale und das biduale Objekt. In der zugehörigen mathematischen Dualitätstheorie untersucht man dann, wie Eigenschaften von zu Eigenschaften von übersetzt werden können und umgekehrt. (de)
In mathematics, a duality translates concepts, theorems or mathematical structures into other concepts, theorems or structures, in a one-to-one fashion, often (but not always) by means of an involution operation: if the dual of A is B, then the dual of B is A. Such involutions sometimes have fixed points, so that the dual of A is A itself. For example, Desargues' theorem is self-dual in this sense under the standard duality in projective geometry. In mathematical contexts, duality has numerous meanings. It has been described as "a very pervasive and important concept in (modern) mathematics" and "an important general theme that has manifestations in almost every area of mathematics". Many mathematical dualities between objects of two types correspond to pairings, bilinear functions from an object of one type and another object of the second type to some family of scalars. For instance, linear algebra duality corresponds in this way to bilinear maps from pairs of vector spaces to scalars, the duality between distributions and the associated test functions corresponds to the pairing in which one integrates a distribution against a test function, and Poincaré duality corresponds similarly to intersection number, viewed as a pairing between submanifolds of a given manifold. From a category theory viewpoint, duality can also be seen as a functor, at least in the realm of vector spaces. This functor assigns to each space its dual space, and the pullback construction assigns to each arrow f: V → W its dual f∗: W∗ → V∗. (en)
En matemáticas, una dualidad, en términos generales, traduce conceptos, teoremas o estructuras matemáticas en otros conceptos, teoremas o estructuras, mediante una correspondencia uno a uno, a menudo (pero no siempre) por medio de una operación de involución: si el dual de A es B, entonces el dual de B es A. Tales involuciones a veces tienen puntos fijos, de modo que el dual de A es A en sí mismo. Por ejemplo, el teorema de Desargues expresa una condición auto dual en este sentido bajo el concepto de dualidad en geometría proyectiva. En contextos matemáticos, el término dualidad tiene numerosos significados, aunque es «un concepto muy dominante e importante en matemáticas (modernas)» y «un tema general de gran interés que tiene manifestaciones en casi todas las áreas de las matemáticas». Muchas dualidades matemáticas entre objetos de dos tipos corresponden a emparejamientos, que mediante operadores bilineales relacionan un objeto de un tipo y otro objeto de un segundo tipo a una familia de escalares. Por ejemplo, la «dualidad en álgebra lineal» se corresponde de esta manera con aplicaciones bilineales de pares de espacios de vectores a escalares, la «dualidad entre distribuciones y las funciones de prueba asociadas» corresponde al emparejamiento en el que se integra una distribución con una función de prueba, y la dualidad de Poincaré corresponde de manera similar al , visto como un emparejamiento entre subvariedades de una colección de objetos matemáticos determinada. Desde el punto de vista de la teoría de categorías, la dualidad también se puede ver como un funtor, al menos en el ámbito de los espacios vectoriales. Este funtor asigna a cada espacio su espacio dual, y la construcción de asigna a cada flecha f: V → W su dual f∗: W∗ → V∗ En teoría de conjuntos y en lógica matemática el concepto de dualidad también desempeña un papel esencial. (es)
En mathématiques, le mot dualité a de nombreuses utilisations. Une dualité est définie à l'intérieur d'une famille F d'objets mathématiques, c'est-à-dire qu'à tout objet X de F on associe un autre objet Y de F. On dit que Y est le dual de X et que X est le primal[réf. nécessaire] de Y. Si X = Y (par = on peut sous-entendre des relations d'isomorphies complexes), on dit que X est autodual. Dans de nombreux cas de dualité, le dual du dual est le primal. Ainsi, par exemple, le concept de complémentaire d'un ensemble pourrait être vu comme le premier des concepts de dualité. (fr)
In matematica il tema della dualità è importante e pervasivo,ma non vi è una definizione universalmente accettata in grado di unificaretutte le sue accezioni. In linea generale si può dire che una dualità è una endofunzione che agisce suuna teoria matematica, da intendersi come un sistema logicamente coerente di definizioni,teoremi e strutture, in modo da trasformare tali componenti in altre definizioni, teoremi e strutture. In gran parte dei casi una dualità consiste in una involuzione, ma non sempre. Si possono quindi distinguere le dualità involutorie dalle non involutorie. Nel seguito di questo articolo, dato che esaminiamo soprattutto le involutorie, le chiameremo semplicemente dualità. Nei casi più semplicemente definiti una dualità è una involuzione entro un insieme di formule (ad esempio entro l'insieme delle uguaglianze per i sottoinsiemi di un insieme ambiente) o entro un insieme di strutture (ad esempio l'insieme dei poliedri convessi). Il trasformato B di una nozione A da parte di una dualità involutoria d, B:=d(A), si dice duale di A; per il carattere involutorio della endofunzione d(d(A)) = A. In taluni contesti una tale nozione A viene detta primale della B. Una nozione che coincide con la propria duale viene detta autoduale: ad esempio sono autoduali l'operazione della complementazione dei sottoinsiemi di un dato insieme e la classe dei tetraedri rispetto alla trasformazione di un poliedro nel suo duale. L'importanza di una dualità entro una teoria riguarda il fatto che facendo riferimento ad essa la teoria stessa può essere sviluppata più economicamente (si possono risparmiare dimostrazioni di teoremi duali) e può essere esposta più organicamente. (it)
쌍대성(雙對性; duality)은 수학과 물리학에서 자주 등장하는 표현이다. 보통 어떤 수학적 구조의 쌍대(雙對; dual)란 그 구조를 ‘뒤집어서’ 구성한 것을 말하는데, 엄밀한 정의는 세부 분야와 대상에 따라 각각 다르다. 쌍대의 쌍대는 자기 자신이므로 어떤 대상과 그 쌍대는 서로 일종의 한 ‘켤레’를 이룬다고 할 수 있으며, 이를 쌍대관계(雙對關係)라고 한다. (ko)
在数学领域中，对偶一般来说是以一对一的方式，常常（但并不总是）通过某个对合算子，把一种概念、公理或数学结构转化为另一种概念、公理或数学结构：如果A的对偶是B，那么B的对偶是A。由于对合有时候会存在不动点，因此A的对偶有时候会是A自身。比如射影几何中的笛沙格定理，即是在这一意义下的自对偶。 对偶在数学背景当中具有很多种意义，而且，尽管它是“现代数学中极为普遍且重要的概念（a very pervasive and important concept in (modern) mathematics）”并且是“在数学几乎每一个分支中都会出现的重要的一般性主题（an important general theme that has manifestations in almost every area of mathematics）”，但仍然没有一个能把对偶的所有概念统一起来的普适定义。 在两类对象之间的对偶很多都和（pairing），也就是把一类对象和另一类对象映射到某一族标量上的双线性函数相对应。例如，线性代数的对偶对应着把线性空间中的向量对双线性映射到标量上，广义函数及其相关的也对应着一个配对且在该配对中可用试验函数来对广义函数进行积分，庞加莱对偶从给定流形的子流形之间的配对的角度看同样也对应着。 (zh)
Дуа́льність (двоїстість) — принцип, що сформульований у деяких розділах математики і полягає в тому, що кожному правильному твердженню цього розділу відповідає інше твердження, яке можна отримати з першого заміною понять, які входять до нього, іншими, так званими дуальними до них поняттями. (uk)
في الرياضيات، تحوّل المثنوية المفاهيم أو المبرهنات أو الهياكل الرياضية إلى مفاهيمَ ومبرهنات وهياكل أخرى، عن طريق دالة متباينة، وغالبًا عن طريق دالة ارتدادية: إذا كانت A هي مثنوية B ، فإنّ B هي مثنوية A. قد تحتوي مثل هذه الارتدادات على نقاط ثابتة، بحيث تكون مثنوية A هي نفسها A. مثلاً مبرهنة ديزارغ هي مثنوية ذاتياً في ظل الازدواجية القياسية في الهندسة الإسقاطية. في السياقات الرياضية، للمثنوية معانٍ عديدة. وقد وصف بأنه «مفهوم واسع الانتشار ومهم في الرياضيات (الحديثة)» و «موضوع عام مهم له مظاهر في كل مجال من مجالات الرياضيات تقريبًا». (ar)
In vielen Bereichen der Mathematik kommt es oft vor, dass man zu jedem Objekt der jeweils betrachteten Klasse ein weiteres Objekt konstruieren und zur Untersuchung von heranziehen kann. Dieses Objekt wird dann mit oder ähnlich bezeichnet, um die Abhängigkeit von zum Ausdruck zu bringen. Wendet man dieselbe (oder eine ähnliche) Konstruktion auf an, erhält man daraus ein mit bezeichnetes Objekt. Häufig stehen und in einer engen Beziehung, sind z. B. gleich oder isomorph, weshalb Informationen über enthalten muss. Man nennt dann das zu duale und das biduale Objekt. In der zugehörigen mathematischen Dualitätstheorie untersucht man dann, wie Eigenschaften von zu Eigenschaften von übersetzt werden können und umgekehrt. (de)
En mathématiques, le mot dualité a de nombreuses utilisations. Une dualité est définie à l'intérieur d'une famille F d'objets mathématiques, c'est-à-dire qu'à tout objet X de F on associe un autre objet Y de F. On dit que Y est le dual de X et que X est le primal[réf. nécessaire] de Y. Si X = Y (par = on peut sous-entendre des relations d'isomorphies complexes), on dit que X est autodual. Dans de nombreux cas de dualité, le dual du dual est le primal. Ainsi, par exemple, le concept de complémentaire d'un ensemble pourrait être vu comme le premier des concepts de dualité. (fr)
쌍대성(雙對性; duality)은 수학과 물리학에서 자주 등장하는 표현이다. 보통 어떤 수학적 구조의 쌍대(雙對; dual)란 그 구조를 ‘뒤집어서’ 구성한 것을 말하는데, 엄밀한 정의는 세부 분야와 대상에 따라 각각 다르다. 쌍대의 쌍대는 자기 자신이므로 어떤 대상과 그 쌍대는 서로 일종의 한 ‘켤레’를 이룬다고 할 수 있으며, 이를 쌍대관계(雙對關係)라고 한다. (ko)
在数学领域中，对偶一般来说是以一对一的方式，常常（但并不总是）通过某个对合算子，把一种概念、公理或数学结构转化为另一种概念、公理或数学结构：如果A的对偶是B，那么B的对偶是A。由于对合有时候会存在不动点，因此A的对偶有时候会是A自身。比如射影几何中的笛沙格定理，即是在这一意义下的自对偶。 对偶在数学背景当中具有很多种意义，而且，尽管它是“现代数学中极为普遍且重要的概念（a very pervasive and important concept in (modern) mathematics）”并且是“在数学几乎每一个分支中都会出现的重要的一般性主题（an important general theme that has manifestations in almost every area of mathematics）”，但仍然没有一个能把对偶的所有概念统一起来的普适定义。 在两类对象之间的对偶很多都和（pairing），也就是把一类对象和另一类对象映射到某一族标量上的双线性函数相对应。例如，线性代数的对偶对应着把线性空间中的向量对双线性映射到标量上，广义函数及其相关的也对应着一个配对且在该配对中可用试验函数来对广义函数进行积分，庞加莱对偶从给定流形的子流形之间的配对的角度看同样也对应着。 (zh)
Дуа́льність (двоїстість) — принцип, що сформульований у деяких розділах математики і полягає в тому, що кожному правильному твердженню цього розділу відповідає інше твердження, яке можна отримати з першого заміною понять, які входять до нього, іншими, так званими дуальними до них поняттями. (uk)
In mathematics, a duality translates concepts, theorems or mathematical structures into other concepts, theorems or structures, in a one-to-one fashion, often (but not always) by means of an involution operation: if the dual of A is B, then the dual of B is A. Such involutions sometimes have fixed points, so that the dual of A is A itself. For example, Desargues' theorem is self-dual in this sense under the standard duality in projective geometry. (en)
En matemáticas, una dualidad, en términos generales, traduce conceptos, teoremas o estructuras matemáticas en otros conceptos, teoremas o estructuras, mediante una correspondencia uno a uno, a menudo (pero no siempre) por medio de una operación de involución: si el dual de A es B, entonces el dual de B es A. Tales involuciones a veces tienen puntos fijos, de modo que el dual de A es A en sí mismo. Por ejemplo, el teorema de Desargues expresa una condición auto dual en este sentido bajo el concepto de dualidad en geometría proyectiva. f: V → W su dual f∗: W∗ → V∗ (es)
In matematica il tema della dualità è importante e pervasivo,ma non vi è una definizione universalmente accettata in grado di unificaretutte le sue accezioni. In linea generale si può dire che una dualità è una endofunzione che agisce suuna teoria matematica, da intendersi come un sistema logicamente coerente di definizioni,teoremi e strutture, in modo da trasformare tali componenti in altre definizioni, teoremi e strutture. (it)