Euler spiral (original) (raw)
Klotoida (z řec. klóthó, předu), také Cornuova nebo Eulerova spirála, je rovinná křivka, jejíž křivost se spojitě mění s proběhnutou dráhou. Při počátku v bodě [0,0] bude v tomto bodě přímá a doprava i doleva její zakřivení plynule roste, ovšem s opačným znaménkem. Používá se v dopravním stavitelství jako přechodnice (u pozemních komunikací), křivka spojující dva úseky trasy s odlišnou křivostí, nejčastěji na nájezdu do oblouku a na výjezdu z něho.
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| dbo:abstract | Klotoida (z řec. klóthó, předu), také Cornuova nebo Eulerova spirála, je rovinná křivka, jejíž křivost se spojitě mění s proběhnutou dráhou. Při počátku v bodě [0,0] bude v tomto bodě přímá a doprava i doleva její zakřivení plynule roste, ovšem s opačným znaménkem. Používá se v dopravním stavitelství jako přechodnice (u pozemních komunikací), křivka spojující dva úseky trasy s odlišnou křivostí, nejčastěji na nájezdu do oblouku a na výjezdu z něho. (cs) La clotoide (també anomenada espiral de Cornu o espiral d'Euler) és una corba plana en forma d'espiral doble, amb simetria central. Des del seu origen (punt O), de curvatura nul·la i radi infinit, el seu radi de curvatura va disminuint al llarg que s'avança per les dues branques, de manera que el producte entre el radi de curvatura i la distància recorreguda mesurada damunt la corba roman constant. Així, les dues branques de la clotoide es van recargolant i tendeixen a convergir en els dos punts impropis de la corba (C) i (C'), de radi nul i on s'arribarà després de recórrer damunt la corba una distància infinita, després d'haver fet infinites voltes. Probablement fou primerament estudiada per Johann Bernoulli cap al 1696. (ca) حلزون أولر هو منحنى، يتغير فيه الانحناء خطياً مع طول المنحنى (انحناء المنحنى الدائري يساوي متبادلة نصف قطر الدائرة). تعرف حلزونات أولر أيضاً بأسماء «سبيروس» و«كلوثويدس» و«حلزون كورنو». ثمة تطبيقات لحلزونات أولر على حسابات الحيود. كما تستخدم على نطاق واسع كمحنى تحول في هندسة الطرق وهندسة السكك الحديدية لربط ونقل المستوى الهندسي بين المماس والمنحنى الدائري. تحدد المستوى الهندسي لحلزون أولر بواسطة مبدأ التغير الخطي لانحناء منحنى الانتقال بين المماس والمنحنى الدائري. * يبدأ انحنائه بصفر عند المقطع المستقيم (المماس) ويزيد خطياً مع طول المنحنى * عند التقاء الحلزون مع المنحنى الدائري، فإن الانحناء يساوي هذا الأخير (ar) Μια Σπείρα Όιλερ είναι μια καμπύλη της οποίας η καμπυλότητα αλλάζει γραμμικά με το μήκος της καμπύλης της (η καμπυλότητα μιας κυκλικής καμπύλης είναι ίση με την αντίστροφη ακτίνα). Οι σπείρες Όιλερ έχουν εφαρμογές σε υπολογισμούς περίθλασης. Χρησιμοποιούνται επίσης ευρέως ως καμπύλες μετάβασης στη / για τη σύνδεση και μετάβαση της γεωμετρίας μεταξύ εφαπτόμενων και κυκλικών καμπύλων. Μια παρόμοια εφαρμογή βρίσκεται επίσης στα . (el) La clotoide, también denominada radioide de arcos o espiral de Cornú en honor de Marie Alfred Cornu, es una curva tangente al eje de las abscisas en el origen y cuyo radio de curvatura disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella. Es por ello que en el punto origen de la curva, el radio es infinito. La expresión matemática usual es: siendo el radio de curvatura el desarrollo o arco la constante de la espiral (es) Die Klothoide, auch Klotoide (von griechisch κλώθω ‚spinnen‘), ist eine spezielle ebene Kurve. Sie ist in der Ebene bis auf Ähnlichkeit durch die Eigenschaft eindeutig bestimmt, dass die Krümmung an jeder Stelle der Kurve proportional zur Länge ihres Bogens bis zu der Stelle ist. Andere Bezeichnungen für die Klothoide sind Cornu-Spirale (nach Marie Alfred Cornu) und Spinnkurve (da der Graph, der von einem Konvergenzpunkt zum anderen läuft, einer Garnrolle ähnelt, die „umsponnen“ wird). Die Gleichungen der Klothoide wurden erstmals nachweislich 1694 von Jakob I Bernoulli niedergeschrieben. Sie wurde aber von ihm weder gezeichnet noch numerisch berechnet.Dies wurde 1743 von Leonhard Euler gemacht, als er die Gleichungen bei der Untersuchung von spiralförmig aufgewickelten Sprungfedern wiederentdeckte. Die Bestimmung der asymptotischen Endpunkte gelang ihm aber erst 1781. Im Jahr 1874 wurden die Gleichungen vom französischen Physiker Alfred Cornu nochmals unabhängig bei Beugungsberechnungen entdeckt und untersucht. In der angelsächsischen Literatur wird sie daher meist als Euler-(Cornu-)Spirale bezeichnet. 1937 wurde die Klothoide erstmals durch Leopold Oerley als Geometrieelement im Straßenbau eingesetzt, ab 1938 setzte der Autobahningenieur Hans Lorenz sie bei der Planung der Reichsautobahn Wien–Brünn–Breslau konsequent ein. 1954 wurde die Klothoide mit einem umfassenden Tafelwerk (Kasper, Schürba, Lorenz: Die Klotoide als Trassierungselement, siehe ) für Trassierungs- und Absteckungsarbeiten allgemein zugänglich gemacht. In diesem Tafelwerk wird durchgängig Klotoide (ohne „h“) geschrieben. Auch die alten Ausgaben des Taschenbuches der Mathematik (Bronstein-Semendjajew) bevorzugen diese Schreibweise. Die Schreibweise laut Duden ist Klothoide. Die Klothoide wird als Übergangsbogen bei Kurven im Straßenbau und im Eisenbahnbau eingesetzt. Ihr Krümmungsverlauf nimmt linear zu, wodurch sich anstatt eines abrupten Rucks ein allmählicher Beschleunigungs-Übergang von der Geradeausfahrt in die Kreisfahrt ergibt. In den heutigen Trassierungs- und CAD-Programmen ist die numerische Berechnung von Klothoiden in der Programmbibliothek integriert und erfolgt automatisch. (de) An Euler spiral is a curve whose curvature changes linearly with its curve length (the curvature of a circular curve is equal to the reciprocal of the radius). Euler spirals are also commonly referred to as spiros, clothoids, or Cornu spirals. Euler spirals have applications to diffraction computations. They are also widely used in railway and highway engineering to design transition curves between straight and curved sections of railway or roads. A similar application is also found in photonic integrated circuits. The principle of linear variation of the curvature of the transition curve between a tangent and a circular curve defines the geometry of the Euler spiral: * Its curvature begins with zero at the straight section (the tangent) and increases linearly with its curve length. * Where the Euler spiral meets the circular curve, its curvature becomes equal to that of the latter. (en) Klotoidea arkuko edo Cornuren espiral gisa ezagutzen da Marie Alfred Cornuren ohorez. Kurba hau ardatzaren jatorriarekiko tangentea da, eta bere kurbaturako erradioa murrizten joaten da bere gainean egindako distantziarekiko alderantziz proportzionalki. Horren ondorio dugu kurbaren jatorrizko puntua erradioa infinitua izatea. Adierazpen matematiko ohikoena hau da: ρ: kurbaren erradioa s: garapena edo arkua C: konstantearen espirala (eu) Une clothoïde est une courbe plane dont la courbure en un point est proportionnelle à l'abscisse curviligne du point. Ces courbes sont étudiées d'abord en 1694 par Jacques Bernoulli pour mathématiser ses résultats sur les déformations d'une lamelle élastique. Bernoulli ne parvient pas à obtenir une équation de la courbe cherchée, et son idée de sa forme générale est assez vague. À sa suite, Leonhard Euler reprend l'étude ; il précise les principales propriétés ; toutefois, il ne parviendra à les caractériser complètement qu'après de nombreuses années de travail. Ces travaux sont oubliés et, au xixe siècle plusieurs savants la redécouvrent comme solution à des problèmes divers. (fr) La clotoide o spirale di Cornu (dal nome del fisico francese Alfred Cornu) o spirale di Eulero è una curva la cui curvatura varia linearmente lungo la sua lunghezza, studiata per la prima volta probabilmente da Johann Bernoulli intorno al 1696. Il nome deriva da una delle mitiche Parche greche, Cloto (le altre due sono Lachesi e Atropo), che avvolgeva il filo dell'esistenza di ogni persona attorno a due fusi: la curva ricorda infatti un filo avvolto tra due fusi rappresentati dai centri delle due spirali. (it) クロソイド曲線（クロソイドきょくせん、英: clothoid curve）とは緩和曲線の一種である。「クロソイド」という名は、人間の運命の糸を紡ぐとされるギリシア神話の女神クローソーに由来するもので、イタリアの数学者アーネスト・チェザロによって名付けられた。光学分野においては、同曲線はオイラー螺旋（オイラーらせん）やコルニュ螺旋（コルニュらせん）とも呼ばれる。 (ja) 클로소이드(clothoid)는 곡선길이가 증가할수록 곡률이 늘어나는 곡선이다. (ko) Een clothoïde (Grieks: κλοθειν (klothein), spinnen (wol)), ook spiraal van Cornu genaamd, is een term uit de civiele techniek, waarmee een kromme aangeduid wordt die gebruikt wordt bij het ontwerp van het alignement en daarin als overgang dient tussen twee rechte stukken (spoor)weg, of tussen een recht stuk weg en een cirkelvormige bocht. Een clothoïde is een symmetrische dubbelspiraal met het buigpunt in de oorsprong, met de eigenschap dat met toenemende booglengte ook de kromming toeneemt en wel geldt in elk punt van de kromme: Daarin is : * de parameter van de clothoïde in [m], * de boogstraal in [m], * de booglengte [m] van de overgangsboog (gemeten vanaf de rechtstand) De algemene formule voor een clothoïde in geparametriseerde vorm, is: , met Voor de booglengte geldt: Alle clothoïden zijn dus door de schaalparameter met elkaar verbonden. (nl) Klotoid är en kurva vars krökning varierar linjärt med dess längd. Klotoider används ofta för att ge mjuka övergångar mellan raksträckor och kurvor på vägar och järnvägar, men används även i till exempel berg- och dalbanor, bland annat på Gröna Lund och Liseberg. (sv) Klotoida, spirala Cornu, spirala Eulera – krzywa, której krzywizna jest proporcjonalna do długości łuku – licząc od ustalonego punktu (0,0). Opisana przez francuskiego fizyka Marie Alfreda Cornu w roku 1874, w związku z badaniami w dziedzinie optyki falowej, konkretniej dyfrakcji światła. Krzywa ta, poza obliczeniami dotyczącymi dyfrakcji fal, znalazła zastosowanie w projektowaniu dróg i linii kolejowych. Pojazd poruszający się po klotoidzie ze stałą prędkością liniową ma jednostajne przyspieszenie kątowe i jednostajnie rosnącą siłę odśrodkową. (pl) A espiral de Cornu, também conhecida como clotóide e como espiral de Euler e radioide dos arcos, é uma curva cuja curvatura varia linearmente ao longo de seu comprimento. A espiral de Cornu foi criada por como um nomograma para os cálculos de difração na ciência e na engenharia. Em projectos de , esta espiral é largamente utilizada como curva de transição com o principal objectivo de ligar geometricamente uma recta e uma curva circular. Esta curva assegura um decrescimento linear da curvatura com o caminho percorrido ao longo do seu desenvolvimento, proporcionando assim uma variação gradual do raio de curvatura. Daqui resulta então: * A sua curvatura começa em zero no ponto osculador com o alinhamento recto e aumenta linearmente à medida que se percorre o desenvolvimento da curva. * Quando a espiral/clotóide encontra a curva circular no respectivo ponto de osculação, a sua curvatura é igual á da curva circular. A espiral de Cornu é gerada pelo desenho paramétrico de S(x) contra C(x), em que: {C(x), S(x)} (Note que a espiral converge para o centro dos buracos na imagem acima conforme x tenta a infinito e a menos infinito.) Seguindo a curva, o comprimento da curva de {S(0), C(0)} a {S(x), C(x)} deve ser igual a x, já que S′(x)² + C′(x)² = 1. O comprimento total da curva (de x = −∞ para ∞) é portanto infinito. (pt) Клотоида или спираль Корню (в западной литературе известна также как спираль Эйлера) — кривая, у которой радиус кривизны изменяется линейно как функция длины дуги: Кривизна клотоиды изменяется линейно. Это позволяет использовать кривую как переходную дугу в дорожном строительстве. Если участок дороги в плане имеет форму части клотоиды, руль автомобиля при поворотах поворачивается плавно. Такой изгиб дороги позволяет проходить поворот без существенного снижения скорости. Клотоида предложена Корню для облегчения расчёта дифракции в прикладных оптических задачах. (ru) 羊角螺线（clothoid），又稱欧拉螺线（Euler spiral），是形式为 的曲线，其中、为 Fresnel積分： 上面參數方程的參數，也是螺線於該點的曲率：。 兩個螺線的中心位於 由於此螺線的曲率與長度成正比，故常用於公路工程或鐵路工程，以缓和直路线与圆曲路线之间的曲率變化（向心力變化）。 在光學上，（Fresnel繞射）中會應用Fresnel積分。 (zh) Клотоїда, Спіраль Корню або Спіраль Ейлера — крива, в якої кривина змінюється лінійно як функція від довжини дуги. (uk) |
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(el) La clotoide, también denominada radioide de arcos o espiral de Cornú en honor de Marie Alfred Cornu, es una curva tangente al eje de las abscisas en el origen y cuyo radio de curvatura disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella. Es por ello que en el punto origen de la curva, el radio es infinito. La expresión matemática usual es: siendo el radio de curvatura el desarrollo o arco la constante de la espiral (es) Klotoidea arkuko edo Cornuren espiral gisa ezagutzen da Marie Alfred Cornuren ohorez. Kurba hau ardatzaren jatorriarekiko tangentea da, eta bere kurbaturako erradioa murrizten joaten da bere gainean egindako distantziarekiko alderantziz proportzionalki. Horren ondorio dugu kurbaren jatorrizko puntua erradioa infinitua izatea. Adierazpen matematiko ohikoena hau da: ρ: kurbaren erradioa s: garapena edo arkua C: konstantearen espirala (eu) Une clothoïde est une courbe plane dont la courbure en un point est proportionnelle à l'abscisse curviligne du point. Ces courbes sont étudiées d'abord en 1694 par Jacques Bernoulli pour mathématiser ses résultats sur les déformations d'une lamelle élastique. Bernoulli ne parvient pas à obtenir une équation de la courbe cherchée, et son idée de sa forme générale est assez vague. À sa suite, Leonhard Euler reprend l'étude ; il précise les principales propriétés ; toutefois, il ne parviendra à les caractériser complètement qu'après de nombreuses années de travail. Ces travaux sont oubliés et, au xixe siècle plusieurs savants la redécouvrent comme solution à des problèmes divers. (fr) La clotoide o spirale di Cornu (dal nome del fisico francese Alfred Cornu) o spirale di Eulero è una curva la cui curvatura varia linearmente lungo la sua lunghezza, studiata per la prima volta probabilmente da Johann Bernoulli intorno al 1696. Il nome deriva da una delle mitiche Parche greche, Cloto (le altre due sono Lachesi e Atropo), che avvolgeva il filo dell'esistenza di ogni persona attorno a due fusi: la curva ricorda infatti un filo avvolto tra due fusi rappresentati dai centri delle due spirali. (it) クロソイド曲線（クロソイドきょくせん、英: clothoid curve）とは緩和曲線の一種である。「クロソイド」という名は、人間の運命の糸を紡ぐとされるギリシア神話の女神クローソーに由来するもので、イタリアの数学者アーネスト・チェザロによって名付けられた。光学分野においては、同曲線はオイラー螺旋（オイラーらせん）やコルニュ螺旋（コルニュらせん）とも呼ばれる。 (ja) 클로소이드(clothoid)는 곡선길이가 증가할수록 곡률이 늘어나는 곡선이다. (ko) Klotoid är en kurva vars krökning varierar linjärt med dess längd. Klotoider används ofta för att ge mjuka övergångar mellan raksträckor och kurvor på vägar och järnvägar, men används även i till exempel berg- och dalbanor, bland annat på Gröna Lund och Liseberg. (sv) Klotoida, spirala Cornu, spirala Eulera – krzywa, której krzywizna jest proporcjonalna do długości łuku – licząc od ustalonego punktu (0,0). Opisana przez francuskiego fizyka Marie Alfreda Cornu w roku 1874, w związku z badaniami w dziedzinie optyki falowej, konkretniej dyfrakcji światła. Krzywa ta, poza obliczeniami dotyczącymi dyfrakcji fal, znalazła zastosowanie w projektowaniu dróg i linii kolejowych. Pojazd poruszający się po klotoidzie ze stałą prędkością liniową ma jednostajne przyspieszenie kątowe i jednostajnie rosnącą siłę odśrodkową. (pl) Клотоида или спираль Корню (в западной литературе известна также как спираль Эйлера) — кривая, у которой радиус кривизны изменяется линейно как функция длины дуги: Кривизна клотоиды изменяется линейно. Это позволяет использовать кривую как переходную дугу в дорожном строительстве. Если участок дороги в плане имеет форму части клотоиды, руль автомобиля при поворотах поворачивается плавно. Такой изгиб дороги позволяет проходить поворот без существенного снижения скорости. Клотоида предложена Корню для облегчения расчёта дифракции в прикладных оптических задачах. (ru) 羊角螺线（clothoid），又稱欧拉螺线（Euler spiral），是形式为 的曲线，其中、为 Fresnel積分： 上面參數方程的參數，也是螺線於該點的曲率：。 兩個螺線的中心位於 由於此螺線的曲率與長度成正比，故常用於公路工程或鐵路工程，以缓和直路线与圆曲路线之间的曲率變化（向心力變化）。 在光學上，（Fresnel繞射）中會應用Fresnel積分。 (zh) Клотоїда, Спіраль Корню або Спіраль Ейлера — крива, в якої кривина змінюється лінійно як функція від довжини дуги. (uk) حلزون أولر هو منحنى، يتغير فيه الانحناء خطياً مع طول المنحنى (انحناء المنحنى الدائري يساوي متبادلة نصف قطر الدائرة). تعرف حلزونات أولر أيضاً بأسماء «سبيروس» و«كلوثويدس» و«حلزون كورنو». ثمة تطبيقات لحلزونات أولر على حسابات الحيود. كما تستخدم على نطاق واسع كمحنى تحول في هندسة الطرق وهندسة السكك الحديدية لربط ونقل المستوى الهندسي بين المماس والمنحنى الدائري. تحدد المستوى الهندسي لحلزون أولر بواسطة مبدأ التغير الخطي لانحناء منحنى الانتقال بين المماس والمنحنى الدائري. (ar) La clotoide (també anomenada espiral de Cornu o espiral d'Euler) és una corba plana en forma d'espiral doble, amb simetria central. Des del seu origen (punt O), de curvatura nul·la i radi infinit, el seu radi de curvatura va disminuint al llarg que s'avança per les dues branques, de manera que el producte entre el radi de curvatura i la distància recorreguda mesurada damunt la corba roman constant. Així, les dues branques de la clotoide es van recargolant i tendeixen a convergir en els dos punts impropis de la corba (C) i (C'), de radi nul i on s'arribarà després de recórrer damunt la corba una distància infinita, després d'haver fet infinites voltes. (ca) Die Klothoide, auch Klotoide (von griechisch κλώθω ‚spinnen‘), ist eine spezielle ebene Kurve. Sie ist in der Ebene bis auf Ähnlichkeit durch die Eigenschaft eindeutig bestimmt, dass die Krümmung an jeder Stelle der Kurve proportional zur Länge ihres Bogens bis zu der Stelle ist. Andere Bezeichnungen für die Klothoide sind Cornu-Spirale (nach Marie Alfred Cornu) und Spinnkurve (da der Graph, der von einem Konvergenzpunkt zum anderen läuft, einer Garnrolle ähnelt, die „umsponnen“ wird). (de) An Euler spiral is a curve whose curvature changes linearly with its curve length (the curvature of a circular curve is equal to the reciprocal of the radius). Euler spirals are also commonly referred to as spiros, clothoids, or Cornu spirals. * Its curvature begins with zero at the straight section (the tangent) and increases linearly with its curve length. * Where the Euler spiral meets the circular curve, its curvature becomes equal to that of the latter. (en) Een clothoïde (Grieks: κλοθειν (klothein), spinnen (wol)), ook spiraal van Cornu genaamd, is een term uit de civiele techniek, waarmee een kromme aangeduid wordt die gebruikt wordt bij het ontwerp van het alignement en daarin als overgang dient tussen twee rechte stukken (spoor)weg, of tussen een recht stuk weg en een cirkelvormige bocht. Een clothoïde is een symmetrische dubbelspiraal met het buigpunt in de oorsprong, met de eigenschap dat met toenemende booglengte ook de kromming toeneemt en wel geldt in elk punt van de kromme: Daarin is : , met Voor de booglengte geldt: (nl) A espiral de Cornu, também conhecida como clotóide e como espiral de Euler e radioide dos arcos, é uma curva cuja curvatura varia linearmente ao longo de seu comprimento. A espiral de Cornu foi criada por como um nomograma para os cálculos de difração na ciência e na engenharia. Em projectos de , esta espiral é largamente utilizada como curva de transição com o principal objectivo de ligar geometricamente uma recta e uma curva circular. Esta curva assegura um decrescimento linear da curvatura com o caminho percorrido ao longo do seu desenvolvimento, proporcionando assim uma variação gradual do raio de curvatura. Daqui resulta então: (pt) |
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