In mathematics, specifically in algebraic geometry, the Grothendieck–Riemann–Roch theorem is a far-reaching result on coherent cohomology. It is a generalisation of the Hirzebruch–Riemann–Roch theorem, about complex manifolds, which is itself a generalisation of the classical Riemann–Roch theorem for line bundles on compact Riemann surfaces. Riemann–Roch type theorems relate Euler characteristics of the cohomology of a vector bundle with their topological degrees, or more generally their characteristic classes in (co)homology or algebraic analogues thereof. The classical Riemann–Roch theorem does this for curves and line bundles, whereas the Hirzebruch–Riemann–Roch theorem generalises this to vector bundles over manifolds. The Grothendieck–Riemann–Roch theorem sets both theorems in a relative situation of a morphism between two manifolds (or more general schemes) and changes the theorem from a statement about a single bundle, to one applying to chain complexes of sheaves. The theorem has been very influential, not least for the development of the Atiyah–Singer index theorem. Conversely, complex analytic analogues of the Grothendieck–Riemann–Roch theorem can be proved using the index theorem for families. Alexander Grothendieck gave a first proof in a 1957 manuscript, later published. Armand Borel and Jean-Pierre Serre wrote up and published Grothendieck's proof in 1958. Later, Grothendieck and his collaborators simplified and generalized the proof. (en)
Le théorème de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch, ou de Grothendieck-Riemann-Roch) est un résultat mathématiquement et historiquement important de géométrie algébrique concernant la cohomologie des (en), démontré pour la première fois par Alexandre Grothendieck en 1957. Si le résultat lui-même est intéressant, constituant une large généralisation du théorème de Riemann-Roch et de son extension aux variétés complexes, le théorème de Hirzebruch-Riemann-Roch, c'est surtout les techniques innovantes et puissantes utilisées par Grothendieck pour le démontrer qui se sont révélées essentielles dans le développement du domaine. Alexandre Grothendieck donne une première démonstration de sa version du théorème de Riemann-Roch dans une lettre adressée à Jean-Pierre Serre en 1957, discutée aux Mathematische Arbeitstagung de Bonn la même année. La stratégie centrale a consisté à reformuler l'énoncé : dans l'esprit du théorème originel, il s'agissait d'un résultat d'analyse portant sur les variétés algébriques ; pour Grothendieck c'est en fait un problème catégorique sur les morphismes entre de telles variétés. En généralisant l'énoncé, la preuve s'en trouve en fait simplifiée et le résultat est bien plus général. Avec Armand Borel, Serre organise à l'IAS de Princeton un séminaire de travail qui aboutit à la publication en 1958 d'un exposé formel et rigoureux du théorème et de sa preuve. Le théorème est enfin discuté au cours du séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie en 1966, où ses hypothèses sont affaiblies. Le groupe K0, introduit à l'occasion de SGA 6, a mené progressivement à l'élaboration d'une K-théorie algébrique. (fr)
In de algebraïsche meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is de stelling van Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch een verreikend resultaat over . Het is een veralgemening van de Stelling van Hirzebruch-Riemann-Roch over complexe variëteiten, die zelf weer een veralgemening van de klassieke stelling van Riemann-Roch voor op compacte Riemann-oppervlakken is. (nl)
In de algebraïsche meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is de stelling van Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch een verreikend resultaat over . Het is een veralgemening van de Stelling van Hirzebruch-Riemann-Roch over complexe variëteiten, die zelf weer een veralgemening van de klassieke stelling van Riemann-Roch voor op compacte Riemann-oppervlakken is. (nl)
In mathematics, specifically in algebraic geometry, the Grothendieck–Riemann–Roch theorem is a far-reaching result on coherent cohomology. It is a generalisation of the Hirzebruch–Riemann–Roch theorem, about complex manifolds, which is itself a generalisation of the classical Riemann–Roch theorem for line bundles on compact Riemann surfaces. (en)
Le théorème de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch, ou de Grothendieck-Riemann-Roch) est un résultat mathématiquement et historiquement important de géométrie algébrique concernant la cohomologie des (en), démontré pour la première fois par Alexandre Grothendieck en 1957. Si le résultat lui-même est intéressant, constituant une large généralisation du théorème de Riemann-Roch et de son extension aux variétés complexes, le théorème de Hirzebruch-Riemann-Roch, c'est surtout les techniques innovantes et puissantes utilisées par Grothendieck pour le démontrer qui se sont révélées essentielles dans le développement du domaine. (fr)