La regula dudekedro havas turnan simetrion de 60 (kiu inkluzivas turnajn transformojn sed ne inkluzivas reflektajn transformojn), kaj entutan simetrion de ordo 120 (kiu inkluzivas kaj reflektajn kaj turnajn transformojn). La regula dekduedro havas la samajn simetriojn pro tio ke ĝi estas la de dudekedro. La aro de orientiĝo-konservantaj simetrioj formas grupon A5 (la alterna grupo sur 5 eroj), kaj la plena geometria simetria grupo (inkluzivanta reflektojn) estas la produto A5 × C2 de A5 kun cikla grupo de ordo 2. (eo)
In mathematics, and especially in geometry, an object has icosahedral symmetry if it has the same symmetries as a regular icosahedron. Examples of other polyhedra with icosahedral symmetry include the regular dodecahedron (the dual of the icosahedron) and the rhombic triacontahedron. Every polyhedron with icosahedral symmetry has 60 rotational (or orientation-preserving) symmetries and 60 orientation-reversing symmetries (that combine a rotation and a reflection), for a total symmetry order of 120. The full symmetry group is the Coxeter group of type H3. It may be represented by Coxeter notation [5,3] and Coxeter diagram . The set of rotational symmetries forms a subgroup that is isomorphic to the alternating group A5 on 5 letters. (en)
La simetría icosaédrica (también denominada simetría icosaedral o simetría del icosaedro) es el conjunto de propiedades reflexivas de aquellas figuras del espacio tridimensional que poseen las 60 simetrías rotacionales (o que conservan la orientación) y un de 120, incluidas las transformaciones que combinan una reflexión y una rotación, que son propias de un icosaedro regular. Tanto el dodecaedro regular (dual del icosaedro) como el triacontaedro rómbico tienen el mismo conjunto de simetrías. El grupo de simetría completo (incluidas las reflexiones) se conoce como el grupo de Coxeter H3, y también está representado en la notación de Coxeter por [5,3] y posee un diagrama de Coxeter-Dynkin . El conjunto de simetrías que conservan la orientación forma un subgrupo que es isomorfo al grupo A5 (el grupo alternante de 5 letras). (es)
Sebuah memiliki 60 simetri rotasi (atau pelestari orientasi), dan sebanyak 120 termasuk transformasi yang menggabungkan refleksi dan rotasi. Sebuah memiliki himpunan simetri yang sama, karena merupakan dari ikosahedron. Grup simetri penuh (termasuk refleksi) dikenal juga sebagai H3, dan diwakili oleh [5,3] dan .Himpunan simetri orientasi-kekal dalam bentuk subgrup isomorfik pada grup A5 (grup selang-seling pada 5 huruf). (in)
Volledige icosahedrale symmetrie (met ook wel eens icosaedrale of icosaedrische als tweede woord, al of niet met trema) is de symmetrie van onder meer het regelmatig twaalfvlak (dodecaëder), het regelmatig twintigvlak (icosaëder), en de als voetbal zeer bekende afgeknotte icosaëder. Chirale icosahedrale symmetrie is de symmetrie van onder meer de stompe dodecaëder en de vijfhoekige hexacontaëder (van elk twee versies die elkaars spiegelbeeld zijn). Het zijn twee vormen van polyhedrale symmetrie. Volledige icosahedrale symmetrie is met spiegeling en heeft symmetriegroep van orde 120. Chirale icosahedrale symmetrie is zonder spiegeling en heeft symmetriegroep van orde 60. Beide symmetriegroepen hebben de volgende assen van rotatiesymmetrie met het volgende aantal punten waar ze het oppervlak van een convex object met icosahedrale symmetrie snijden (het aantal assen is steeds de helft): * 12 van orde 5. Ze gaan in de voorbeelden door de middens van vijfhoeken en tienhoeken, en door hoekpunten waar 5 gelijke hoeken samenkomen. * 20 van orde 3. Ze gaan in de voorbeelden door de middens van driehoeken en zeshoeken, en door hoekpunten waar 3 gelijke hoeken samenkomen. * 30 van orde 2. Ze gaan in de voorbeelden door de middens van ribben waar twee gelijke zijvlakken aan elkaar grenzen, de middens van zijvlakken die regelmatige veelhoeken met een even aantal hoeken zijn, de middens van ruiten, en hoekpunten waar vier gelijke hoeken samenkomen. Het aantal maal de orde is steeds 60, de orde van . De volledige versie heeft verder 15 spiegelvlakken. In termen van de orde van de gepasseerde rotatiepunten volgen de corresponderende grote cirkels de cyclus (525323), twee cycli voor een grote cirkel. Ze gaan gezamenlijk door alle rotatiepunten, en wel zovaak als de orde is. De spiegelvlakken gaan in de voorbeelden loodrecht door de middens van ribben, langs ribben en door hoekpunten. Het fundamenteel domein is de driehoek 235, 1/120 deel van het veelvlak. Het bekijken van het fundamenteel domein kan het overzichtelijker maken om figuren met een bepaalde symmetrie te onderscheiden en vergelijken. I is algebraïsch de alternerende groep A5, de even permutaties van 5 elementen. De 20 hoekpunten van een dodecaëder kunnen namelijk, op twee manieren, over 5 groepen van 4 worden verdeeld, die elk de hoekpunten vormen van een viervlak. De elementen van corresponderen 1-op-1 met de even permutaties van de 5 tetraëders. = Ci, dus algebraïsch A5 × C2. (nl)
Правильный икосаэдр имеет 60 вращательных (или сохраняющих ориентацию) симметрий и имеет 120, включая преобразования, которые комбинируют отражение и вращение. Правильный додекаэдр имеет тот же набор симметрий, поскольку он двойственен икосаэдру. Набор сохраняющих ориентацию симметрий образует группу, которую обозначают A5 (знакопеременная группа на 5 буквах), а полная группа симметрии (включающая отражения) является произведением A5 Z2. Последняя группа известна также как группа Коксетера H3 и представляется в как [5,3] и имеет диаграмму Коксетера — Дынкина . (ru)
La regula dudekedro havas turnan simetrion de 60 (kiu inkluzivas turnajn transformojn sed ne inkluzivas reflektajn transformojn), kaj entutan simetrion de ordo 120 (kiu inkluzivas kaj reflektajn kaj turnajn transformojn). La regula dekduedro havas la samajn simetriojn pro tio ke ĝi estas la de dudekedro. La aro de orientiĝo-konservantaj simetrioj formas grupon A5 (la alterna grupo sur 5 eroj), kaj la plena geometria simetria grupo (inkluzivanta reflektojn) estas la produto A5 × C2 de A5 kun cikla grupo de ordo 2. (eo)
Sebuah memiliki 60 simetri rotasi (atau pelestari orientasi), dan sebanyak 120 termasuk transformasi yang menggabungkan refleksi dan rotasi. Sebuah memiliki himpunan simetri yang sama, karena merupakan dari ikosahedron. Grup simetri penuh (termasuk refleksi) dikenal juga sebagai H3, dan diwakili oleh [5,3] dan .Himpunan simetri orientasi-kekal dalam bentuk subgrup isomorfik pada grup A5 (grup selang-seling pada 5 huruf). (in)
Правильный икосаэдр имеет 60 вращательных (или сохраняющих ориентацию) симметрий и имеет 120, включая преобразования, которые комбинируют отражение и вращение. Правильный додекаэдр имеет тот же набор симметрий, поскольку он двойственен икосаэдру. Набор сохраняющих ориентацию симметрий образует группу, которую обозначают A5 (знакопеременная группа на 5 буквах), а полная группа симметрии (включающая отражения) является произведением A5 Z2. Последняя группа известна также как группа Коксетера H3 и представляется в как [5,3] и имеет диаграмму Коксетера — Дынкина . (ru)
In mathematics, and especially in geometry, an object has icosahedral symmetry if it has the same symmetries as a regular icosahedron. Examples of other polyhedra with icosahedral symmetry include the regular dodecahedron (the dual of the icosahedron) and the rhombic triacontahedron. (en)
La simetría icosaédrica (también denominada simetría icosaedral o simetría del icosaedro) es el conjunto de propiedades reflexivas de aquellas figuras del espacio tridimensional que poseen las 60 simetrías rotacionales (o que conservan la orientación) y un de 120, incluidas las transformaciones que combinan una reflexión y una rotación, que son propias de un icosaedro regular. Tanto el dodecaedro regular (dual del icosaedro) como el triacontaedro rómbico tienen el mismo conjunto de simetrías. (es)
Volledige icosahedrale symmetrie (met ook wel eens icosaedrale of icosaedrische als tweede woord, al of niet met trema) is de symmetrie van onder meer het regelmatig twaalfvlak (dodecaëder), het regelmatig twintigvlak (icosaëder), en de als voetbal zeer bekende afgeknotte icosaëder. Chirale icosahedrale symmetrie is de symmetrie van onder meer de stompe dodecaëder en de vijfhoekige hexacontaëder (van elk twee versies die elkaars spiegelbeeld zijn). Het aantal maal de orde is steeds 60, de orde van . (nl)