Midy's theorem (original) (raw)
In mathematics, Midy's theorem, named after French mathematician E. Midy, is a statement about the decimal expansion of fractions a/p where p is a prime and a/p has a repeating decimal expansion with an even period (sequence in the OEIS). If the period of the decimal representation of a/p is 2n, so that then the digits in the second half of the repeating decimal period are the 9s complement of the corresponding digits in its first half. In other words, For example,
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| dbo:abstract | In mathematics, Midy's theorem, named after French mathematician E. Midy, is a statement about the decimal expansion of fractions a/p where p is a prime and a/p has a repeating decimal expansion with an even period (sequence in the OEIS). If the period of the decimal representation of a/p is 2n, so that then the digits in the second half of the repeating decimal period are the 9s complement of the corresponding digits in its first half. In other words, For example, (en) En mathématiques, le théorème de Midy, dû au mathématicien français , est un énoncé concernant le développement décimal périodique d'une fraction a/p (comprise, sans perte de généralité, entre 0 et 1), où p est un nombre premier (différent de 2 et 5) tel que la période soit paire. Une telle fraction s'écrit et le théorème établit que les chiffres dans la deuxième moitié de la période sont les compléments à 9 de ceux qui leur correspondent dans la première moitié. En d'autres termes : ou encore : Par exemple, On peut donner des preuves expéditives de ce théorème en utilisant la théorie des groupes. On peut aussi le démontrer par des calculs d'algèbre élémentaire et de congruence sur les entiers. (fr) De stelling van Midy is een stelling uit de getaltheorie, genoemd naar de Franse wiskundige , die ze in 1836 publiceerde. De stelling zegt: Indien de decimale expansie van een niet-vereenvoudigbare breuk een repeterend gedeelte heeft dat bestaat uit een even aantal cijfers , dan is de som van de twee helften van dat repeterende gedeelte gelijk aan (een getal met enkel negens) indien: * ofwel een priemgetal is; * ofwel een macht van een priemgetal is; * ofwel de grootste gemene deler van en gelijk is aan 1. (nl) Теорема Миди — теорема в математике, названная в честь французского математика Миди (M. E. Midy), утверждает, что если в десятичной записи дроби (где — простое число) длина записи периода дроби состоит из цифр, то есть: то Другими словами, сумма цифры в десятичной записи первой половины периода и соответствующей цифры во второй половине равна 9. Например, и (ru) Em matemática, o teorema de Midy, em homenagem ao matemático francês E. Midy, é uma declaração sobre a expansão decimal das frações a/p onde p é primo e a/p tem uma expansão decimal periódica com um período par (sequência no OEIS). Se o período da representação decimal de a/p é 2n, de modo que então os dígitos na segunda metade do período decimal periódico são o dos dígitos correspondentes em sua primeira metade. Em outras palavras, Por exemplo, (pt) 米迪定理說明如果将化为b进制小数（其中p为质数，a是小于p的正整数），且小数的循环节长度是偶数，则有以下性质： * 若將這個分數用循環小數寫成，则 * * 這個定理還可再推廣为广义米迪定理：若把长度2n的循环节划分为长度为k的个组，即，则是的倍數。 (zh) |
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