Nullity theorem (original) (raw)
The nullity theorem is a mathematical theorem about the inverse of a partitioned matrix, which states that the nullity of a block in a matrix equals the nullity of the complementary block in its inverse matrix. Here, the nullity is the dimension of the kernel. The theorem was proven in an abstract setting by , and for matrices by. Partition a matrix and its inverse in four submatrices: The partition on the right-hand side should be the transpose of the partition on the left-hand side, in the sense that if A is an m-by-n block then E should be an n-by-m block.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | The nullity theorem is a mathematical theorem about the inverse of a partitioned matrix, which states that the nullity of a block in a matrix equals the nullity of the complementary block in its inverse matrix. Here, the nullity is the dimension of the kernel. The theorem was proven in an abstract setting by , and for matrices by. Partition a matrix and its inverse in four submatrices: The partition on the right-hand side should be the transpose of the partition on the left-hand side, in the sense that if A is an m-by-n block then E should be an n-by-m block. The statement of the nullity theorem is now that the nullities of the blocks on the right equal the nullities of the blocks on the left: More generally, if a submatrix is formed from the rows with indices {i1, i2, …, im} and the columns with indices {j1, j2, …, jn}, then the complementary submatrix is formed from the rows with indices {1, 2, …, N} \ {j1, j2, …, jn} and the columns with indices {1, 2, …, N} \ {i1, i2, …, im}, where N is the size of the whole matrix. The nullity theorem states that the nullity of any submatrix equals the nullity of the complementary submatrix of the inverse. (en) Теорема виродженості — теорема стосовно обернення блочної матриці, яка стверджує, що ступінь виродження, тобто розмірність нуль-простору блока в матриці дорівнює ступеню виродження доповняльного блока в оберненій матриці. Розбиття матриці і оберненої до неї на чотири підматриці: Розбиття у правій частині рівняння повинно бути транспонованим щодо розбиття лівої частини, тобто, якщо A є блоком m-на-n тоді E має бути блоком n-на-m. Теорема стверджує, що: Загальніше, якщо підматриця утворена з рядків з індексами {i1, i2, …, im} і стовпчиків з індексами {j1, j2, …, jn}, тоді доповняльна матриця утворена з рядків з індексами {1, 2, …, N} \ {j1, j2, …, jn} і стовпчиків з індексами {1, 2, …, N} \ {i1, i2, …, im}, де N це розмір цілої матриці. Теорема виродженості стверджує, що розмірність нуль-простору будь-якої підматриці дорівнює розмірності нуль-простору доповняльної підматриці в оберненій матриці. (uk) |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://dspace.mit.edu/bitstream/1721.1/3885/2/HPCES009.pdf |
| dbo:wikiPageID | 20517313 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 2951 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1021815567 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Matrix_inverse dbr:Theorem dbc:Matrix_theory dbr:Kernel_(matrix) dbr:Partitioned_matrix dbr:Null_space |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Citation dbt:Harv dbt:Harvtxt |
| dcterms:subject | dbc:Matrix_theory |
| rdfs:comment | The nullity theorem is a mathematical theorem about the inverse of a partitioned matrix, which states that the nullity of a block in a matrix equals the nullity of the complementary block in its inverse matrix. Here, the nullity is the dimension of the kernel. The theorem was proven in an abstract setting by , and for matrices by. Partition a matrix and its inverse in four submatrices: The partition on the right-hand side should be the transpose of the partition on the left-hand side, in the sense that if A is an m-by-n block then E should be an n-by-m block. (en) Теорема виродженості — теорема стосовно обернення блочної матриці, яка стверджує, що ступінь виродження, тобто розмірність нуль-простору блока в матриці дорівнює ступеню виродження доповняльного блока в оберненій матриці. Розбиття матриці і оберненої до неї на чотири підматриці: Розбиття у правій частині рівняння повинно бути транспонованим щодо розбиття лівої частини, тобто, якщо A є блоком m-на-n тоді E має бути блоком n-на-m. Теорема стверджує, що: (uk) |
| rdfs:label | Nullity theorem (en) Теорема виродженості (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Nullity theorem wikidata:Nullity theorem dbpedia-uk:Nullity theorem https://global.dbpedia.org/id/4t4eg |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Nullity_theorem?oldid=1021815567&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Nullity_theorem |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Invertible_matrix dbr:Outline_of_linear_algebra |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Nullity_theorem |