Radial function (original) (raw)
In mathematics, a radial function is a function defined on a Euclidean space Rn whose value at each point depends only on the distance between that point and the origin. For example, a radial function Φ in two dimensions has the form where φ is a function of a single non-negative real variable. Radial functions are contrasted with spherical functions, and any descent function (e.g., continuous and rapidly decreasing) on Euclidean space can be decomposed into a series consisting of radial and spherical parts: the solid spherical harmonic expansion. for every test function φ and rotation ρ.
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| dbo:abstract | In mathematics, a radial function is a function defined on a Euclidean space Rn whose value at each point depends only on the distance between that point and the origin. For example, a radial function Φ in two dimensions has the form where φ is a function of a single non-negative real variable. Radial functions are contrasted with spherical functions, and any descent function (e.g., continuous and rapidly decreasing) on Euclidean space can be decomposed into a series consisting of radial and spherical parts: the solid spherical harmonic expansion. A function is radial if and only if it is invariant under all rotations leaving the origin fixed. That is, ƒ is radial if and only if for all ρ ∈ SO(n), the special orthogonal group in n dimensions. This characterization of radial functions makes it possible also to define radial distributions. These are distributions S on Rn such that for every test function φ and rotation ρ. Given any (locally integrable) function ƒ, its radial part is given by averaging over spheres centered at the origin. To wit, where ωn−1 is the surface area of the (n−1)-sphere Sn−1, and r = |x | , x′ = x/r. It follows essentially by Fubini's theorem that a locally integrable function has a well-defined radial part at almost every r. The Fourier transform of a radial function is also radial, and so radial functions play a vital role in Fourier analysis. Furthermore, the Fourier transform of a radial function typically has stronger decay behavior at infinity than non-radial functions: for radial functions bounded in a neighborhood of the origin, the Fourier transform decays faster than R−(n−1)/2. The Bessel functions are a special class of radial function that arise naturally in Fourier analysis as the radial eigenfunctions of the Laplacian; as such they appear naturally as the radial portion of the Fourier transform. (en) 数学における球対称函数（きゅうたいしょうかんすう、英: spherically symmetric function）または動径函数（英: radial function; 放射函数）は、各点における値がその点の偏角成分に依らず動径成分（原点からその点までの距離）のみに依存して決まる函数を言う。 例えばユークリッド平面 R2 上で定義された函数 Φ が二次元の球対称函数であるとは、適当な一変数非負値函数 φ を用いて の形に表される。球対称函数はと対照を成すものであり、ユークリッド空間上で定義された任意の下降函数 （例えば連続かつ急減少な函数）は球対称成分（動径成分）と球面的成分（偏角成分）からなる級数に分解される（展開）。 函数が球対称（回転対称、動径的）であるための必要十分条件はそれが原点を固定する任意の回転変換のもとで不変となることである。言葉を変えれば、n-次元ユークリッド空間 Rn 上の函数 f が球対称となる必要十分条件は、n-次元特殊直交群 SO(n) の任意の元 ρ に対して f ∘ ρ = f を満たすことである。球対称函数のこのような特徴付けはシュヴァルツ超函数の球対称性を定義するのにも利用できる。Rn 上のシュヴァルツ超函数 S は任意の試験函数 φ と回転変換 ρ に対し を満たすとき、球対称であるという。 任意の函数 f が与えられたとき、その球対称成分（動径成分） φf は原点を中心とする球面上で平均をとることによって与えられる。特に f が局所可積分ならばこれは と書くことができる。ただし、ωn−1 は (n − 1)-次元球面 Sn−1 の表面積であり、r = |
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