Bahnformel (original) (raw)

Die Bahnformel ist ein mathematischer Satz aus der Gruppentheorie. Sie wird oft kurz einprägsam zusammengefasst als: „Die Länge der Bahn ist der Index des Stabilisators.“

Inhaltsverzeichnis

1 Der Bahnensatz
2 Beispiele
- 2.1 Konjugation
- 2.2 Transitive Operation
3 Siehe auch
4 Literatur
5 Weblinks

Der Bahnensatz

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Formulierung

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Sei ( G , ⋅ ) {\displaystyle \ (G,\cdot )} $\ (G,\cdot )$ eine Gruppe und ∘ : G × M → M {\displaystyle \circ :G\times M\rightarrow M} $\circ :G\times M\rightarrow M$ eine Operation von G {\displaystyle G} $G$ auf einer Menge M {\displaystyle M} $M$ . Dann ist für jedes x ∈ M {\displaystyle x\in M} $x\in M$ die Abbildung

G / G x → G ∘ x , g ⋅ G x ↦ g ∘ x {\displaystyle G/G_{x}\rightarrow G\circ x\ ,\ g\cdot G_{x}\mapsto g\circ x} $G/G_{x}\rightarrow G\circ x\ ,\ g\cdot G_{x}\mapsto g\circ x$

eine wohldefinierte Bijektion. Dabei bezeichnet

G ∘ x := { g ∘ x | g ∈ G } ⊆ M {\displaystyle G\circ x:=\{g\circ x\ |\ g\in G\}\subseteq M} $G\circ x:=\{g\circ x\ |\ g\in G\}\subseteq M$ die Bahn von x {\displaystyle x} $x$ ,
G x := { g ∈ G | g ∘ x = x } ≤ G {\displaystyle G_{x}:=\{g\in G\ |\ g\circ x=x\}\leq G} $G_{x}:=\{g\in G\ |\ g\circ x=x\}\leq G$ den Stabilisator von x {\displaystyle x} $x$ und
G / G x := { g ⋅ G x | g ∈ G } ⊆ P ( G ) {\displaystyle G/G_{x}:=\{g\cdot G_{x}\ |\ g\in G\}\subseteq {\mathcal {P}}(G)} $G/G_{x}:=\{g\cdot G_{x}\ |\ g\in G\}\subseteq {\mathcal {P}}(G)$ die Menge der Linksnebenklassen der Untergruppe G x {\displaystyle G_{x}} $G_{x}$ in G {\displaystyle G} $G$ .

Beweis

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Siehe: Beweis des Bahnensatzes im Beweisarchiv

Aus dem Bahnensatz folgert man die Bahnformel.

Bahnformel

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Im Fall | G ∘ x | < ∞ {\displaystyle |G\circ x|<\infty } $|G\circ x|<\infty$ ist ( G : G x ) = | G ∘ x | {\displaystyle (G:G_{x})=|G\circ x|} $(G:G_{x})=|G\circ x|$ . Dabei bezeichnet ( G : G x ) := | G / G x | {\displaystyle \ (G:G_{x}):=|G/G_{x}|} $\ (G:G_{x}):=|G/G_{x}|$ den Index von G x {\displaystyle G_{x}} $G_{x}$ in G {\displaystyle G} $G$ . Für endliche Gruppen G {\displaystyle G} $G$ gilt daher die Bahnformel

| G | = | G ∘ x | ⋅ | G x | {\displaystyle \ |G|=|G\circ x|\cdot |G_{x}|} $\ |G|=|G\circ x|\cdot |G_{x}|$ .

Beispiele

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Konjugation

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Jede Gruppe G {\displaystyle G} $G$ operiert auf sich selber vermöge der Konjugationsoperation g ∘ x := g x g − 1 {\displaystyle g\circ x:=gxg^{-1}} $g\circ x:=gxg^{-1}$ . Die Bahn G ∘ x := { g x g − 1 | g ∈ G } {\displaystyle G\circ x:=\{gxg^{-1}\ |\ g\in G\}} $G\circ x:=\{gxg^{-1}\ |\ g\in G\}$ eines Elements x ∈ G {\displaystyle x\in G} $x\in G$ bezeichnet man als Konjugationsklasse von x {\displaystyle x} $x$ . Der Stabilisator G x := { g ∈ G | g x g − 1 = x } = { g ∈ G | g x = x g } {\displaystyle G_{x}:=\{g\in G\ |\ gxg^{-1}=x\}=\{g\in G\ |\ gx=xg\}} $G_{x}:=\{g\in G\ |\ gxg^{-1}=x\}=\{g\in G\ |\ gx=xg\}$ heißt Zentralisator von x {\displaystyle x} $x$ und wird mit Z G ( x ) {\displaystyle Z_{G}(x)} $Z_{G}(x)$ bezeichnet. Die Bahnformel liefert somit für endliche Gruppen G {\displaystyle G} $G$

| G | = | G ∘ x | ⋅ | Z G ( x ) | {\displaystyle |G|=|G\circ x|\cdot |Z_{G}(x)|} $|G|=|G\circ x|\cdot |Z_{G}(x)|$ .

Transitive Operation

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Ist die Operation einer endlichen Gruppe G {\displaystyle G} $G$ auf M {\displaystyle M} $M$ transitiv, so ist

| M | = | G ∘ x | = ( G : G x ) {\displaystyle |M|=|G\circ x|=(G:G_{x})} $|M|=|G\circ x|=(G:G_{x})$ .

In diesem Fall muss also die Mächtigkeit von M {\displaystyle M} $M$ ein Teiler der Gruppenordnung sein.

Siehe auch

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Gruppenoperation
Satz von Lagrange
Eine elegante Anwendung der Bahnformel zeigt der Beweis von Ernst Witt (1931) des (kleinen) Satzes von Wedderburn (1905): „Jeder endliche Schiefkörper ist kommutativ.“

Literatur

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Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1. 2. Auflage. Carl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 67
Rainer Schulze-Pillot: Elementare Algebra und Zahlentheorie. ISBN 978-3-540-45379-6, S. 121–124

Weblinks

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Eric W. Weisstein: Bahn (Orbit) und Bahnformel. In: MathWorld (englisch). (englisch)