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- La démonstration qui suit est annoncée comme « partielle » parce qu'elle suppose que et sont de classe C . Pour une démonstration supposant seulement que et sont de classe C, voir l'application du lemme de Du Bois-Reymond au calcul des variations. L'expression « stationnaire », dans l'énoncé, signifie : vérifiant la condition d'Euler, qui est une condition nécessaire pour que la fonction rende extrémale la fonctionnelle . Cette condition d'Euler s'écrit : , pour toute fonction nulle en et . Or : et le second terme de l'intégrale s'exprime, grâce à une intégration par parties , sous la forme :. Le crochet étant nul puisque , la condition d'Euler s'écrit donc : :. En appliquant le lemme fondamental du calcul des variations, on en déduit : :. (fr)