Anneau_factoriel (original) (raw)

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En mathématiques, un anneau factoriel est un cas particulier d'anneau intègre. À l'image des nombres entiers, il existe un équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique pour une telle structure. Tout élément d'un anneau factoriel se décompose en un produit d'un élément inversible et d'éléments , cette décomposition étant unique aux éléments inversibles près. Par exemple dans Z, l'anneau des entiers relatifs, –2 est irréductible. Les exemples d'anneau factoriel ne sont pas rares. Tout anneau principal (c'est-à-dire intègre et dont tout idéal est principal) est factoriel. La réciproque n'est pas vraie. Ainsi un anneau de polynômes à coefficients dans un anneau factoriel k est toujours factoriel lui aussi, mais n'est principal que si l'anneau k est un corps. En ce sens, le concept d'anneau factoriel généralise celui d'anneau principal. Il peut être à son tour généralisé en abandonnant l'hypothèse d'unicité de la décomposition en produit de facteurs irréductibles. On obtient ainsi la classe plus large des anneaux atomiques. Certains résultats usuels de l'arithmétique élémentaire s'appliquent sur un anneau factoriel. Ainsi, le lemme d'Euclide est vérifié et il est possible de définir un plus grand commun diviseur et un plus petit commun multiple bénéficiant presque des propriétés usuelles sur Z. (fr)

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Si P = r1 … rnS1 … Sm' en est une autre alors, par "unicité" de la décomposition de P dans K[X], m' = m et Si = uiQi où ui est a priori dans K, mais est en fait égal au contenu de Si, donc est un élément inversible de A. Par élimination, les deux produits p1 … pn et r1 … rn' sont donc associés dans A. Par factorialité de A, ils ont alors mêmes facteurs , ce qui termine la preuve d'unicité de la décomposition de P dans A[X]. * Soit n un entier naturel, l'anneau A[X1, … , Xn] est factoriel :' (fr)
Supposons maintenant P primitif et montrons qu'il est réductible dans K[X] si et seulement s'il l'est dans A[X]. Si P est réductible dans K[X] alors il existe deux polynômes B et C dans K[X], non nuls et non inversibles, donc non constants, tels que P = B.C. La proposition précédente montre l'existence dans A[X] de deux polynômes Q et R de mêmes degrés respectifs que B et C, donc non inversibles, tels que : si bien que P est réductible dans A[X]. Réciproquement, si P est réductible dans A[X], c'est-à-dire produit de deux éléments non inversibles de A[X] alors les deux facteurs sont non constants, donc non inversibles dans K[X], si bien que P est réductible dans K[X]. * L'anneau A[X] est factoriel : (fr)
La méthode usuelle, pour démontrer l'existence et l'"unicité" de la décomposition d'un élément non nul P de A[X] en produit d'irréductibles, consiste à utiliser sa décomposition dans l'anneau K[X], dont on sait qu'il est factoriel . (fr)
C'est le lemme d'Euclide. (fr)
Soit a et b deux éléments non nuls de A. L'unicité de la décomposition montre aussi que σ = σ + σ. Ainsi si c divise strictement a, alors σ est strictement plus grand que σ. *Toute suite croissante d'idéaux principaux est stationnaire : (fr)
Soit une suite croissante d'idéaux principaux. Si la suite est constante égale à 0, la suite est stationnaire. Sinon, quitte à réindexer la suite, supposons que a0 n'est pas nul. Dire que l'idéal a'n+1A contient strictement l'idéal anA signifie que a'n+1 divise strictement an. Cela ne peut arriver que pour un nombre fini d'entiers n, ce qui montre que la suite est constante à partir d'un certain rang, c'est-à-dire stationnaire. *Tout élément irréductible est premier : (fr)
Il s'agit de prouver que si P est irréductible dans A[X] alors il est primitif, et que si P est primitif alors son irréductibilité dans A[X] équivaut à celle dans K[X]. (fr)
Le « seulement si » est immédiat. Réciproquement, si P est à coefficients dans A, alors cont est le pgcd de ces éléments de A. * Soient P et Q deux polynômes non nuls à coefficients dans K, l'égalité suivante est vérifiée, à produit près par un élément inversible de A :Par définition du contenu, on peut supposer que P et Q sont à coefficients dans A, et il suffit de montrer qu'alors, s'ils sont primitifs, leur produit l'est aussi. Or si p est un élément irréductible de A et si r est le plus grand des indices des coefficients de P non divisibles par p, alors le coefficient d'indice r + s de PQ est une somme de produits dont tous sauf un sont divisibles par p, de sorte que cette somme n'est pas divisible par p. Ainsi, aucun élément irréductible p de A n'est un diviseur commun à tous les coefficients de PQ, et ce polynôme produit est donc bien primitif. * Soit P un polynôme non constant à coefficients dans A. Le polynôme est irréductible dans A[X] si et seulement s'il est primitif dans A[X] et irréductible dans K[X] : (fr)
Soit σ la fonction de A\{0} dans l'ensemble N des entiers naturels qui à a associe le nombre de facteurs non inversibles dans la décomposition en facteurs irréductibles de a. L'unicité de la décomposition dans un anneau factoriel montre que la fonction σ est bien définie. (fr)
Soit P = P1 … Pm une décomposition de P en produit d'éléments irréductibles Pi de K[X]. Pour chaque indice i, notons ci « le » contenu de Pi, et Qi le polynôme primitif Pi/ci. D'après la proposition précédente, les Qi sont irréductibles dans A[X]. Or P = c Q1 … Qm, en notant c le produit des ci. Cet élément c est égal au contenu de P, donc il appartient à A. Notons alors c = p1 … pn « sa » décomposition en irréductibles dans A. On obtient une décomposition de P en produit d'irréductibles de A[X] : P = p1 … pnQ1 … Qm. (fr)
Cette proposition se déduit de la précédente par récurrence sur le nombre n d'indéterminées, en utilisant l'isomorphisme naturel d'anneaux entre A[X1, … , Xn – 1][Xn] et A[X1, … , Xn]. (fr)
*Le contenu de P existe et est unique à produit près par un élément inversible de A : **Existence. Les coefficients de P sont des fractions d'éléments de A. En réduisant ces fractions à un dénominateur commun b , P s'écrit R/b avec b élément non nul de A et R polynôme à coefficients dans A. En mettant en facteur le pgcd d des coefficients de R, on obtient P = dS/b avec S primitif, donc d/b est un contenu pour P. **Unicité. Si avec et primitifs alors donc à produit près par un inversible de A, . * Le contenu de P appartient à A si et seulement si P est à coefficients A : (fr)
Supposons P irréductible dans A[X] et observons la décomposition P = contQ : les deux facteurs sont dans A[X], donc l'un des deux doit être inversible, or ce ne peut pas être Q . Par conséquent cont est inversible dans A[X] donc dans A, si bien que P est primitif. (fr)

prop-fr:titre

Démonstrations (fr)
Preuve du « seulement si » (fr)
Unique Factorization Domains (fr)

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rdfs:comment

En mathématiques, un anneau factoriel est un cas particulier d'anneau intègre. À l'image des nombres entiers, il existe un équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique pour une telle structure. Tout élément d'un anneau factoriel se décompose en un produit d'un élément inversible et d'éléments , cette décomposition étant unique aux éléments inversibles près. Par exemple dans Z, l'anneau des entiers relatifs, –2 est irréductible. (fr)

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