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- En mathématiques, la géométrie hyperbolique (nommée auparavant géométrie de Lobatchevski, lequel est le premier à en avoir publié une étude approfondie) est une géométrie non euclidienne vérifiant les quatre premiers postulats d’Euclide, mais pour laquelle le cinquième postulat, qui équivaut à affirmer que par un point extérieur à une droite passe une et une seule droite qui lui est parallèle, est remplacé par le postulat selon lequel « par un point extérieur à une droite passent plusieurs droites parallèles à celle-ci » (il en existe alors une infinité). En géométrie hyperbolique, la plupart des propriétés métriques de la géométrie euclidienne ne sont plus valables ; en particulier le théorème de Pythagore n'est plus vérifié, et la somme des angles d'un triangle est toujours inférieure à 180°. Les droites restent cependant les lignes de plus court chemin joignant deux points, ce qui a permis à Beltrami, dans le cas du plan hyperbolique, de les modéliser comme des géodésiques sur une surface de courbure constante négative, comme les droites de la géométrie elliptique sont modélisées par des grands cercles sur une sphère. À la suite de Beltrami, Klein et Poincaré ont construit plusieurs autres modèles de géométrie hyperbolique, comme le modèle de l'hyperboloïde ou celui du disque de Poincaré. Ces modèles montrent l'indépendance de l'axiome des parallèles, c'est-à-dire l'impossibilité de le démontrer (ou de le réfuter) à partir des autres axiomes ; cela revient également à dire que si la géométrie euclidienne ne contient pas de contradiction, il en est de même de la géométrie hyperbolique. La détermination de la « vraie » géométrie de notre espace physique s'est posée dès la découverte des géométries non euclidiennes ; au début du XXIe siècle, les tests expérimentaux ne permettent toujours pas de décider ce qu'il en est, ce qui constitue le problème de la platitude, l'une des questions non résolues de la cosmologie. (fr)
prop-fr:alternative
- En perspective, surface ombrée ressemblant à un hyperboloïde à une nappe, sur laquelle sont tracées quatre droites hyperboliques (fr)
- Cercle à l'intérieur duquel quatre arcs de cercles modélisent les mêmes quatre droites. (fr)
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- Universitext (fr)
- Nouvelle bibliothèque mathématique (fr)
- Student Texts (fr)
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- Ce résultat ne peut se justifier rigoureusement qu'à l'aide, par exemple, du modèle de l'hyperboloïde ; cela correspond, dans l'interprétation du plan hyperbolique comme une surface de courbure négative , à prendre , où est le rayon de la sphère. (fr)
- Dans le plan projectif réel, il n'existe que trois sortes de coniques : les coniques réelles , les coniques imaginaires , et les coniques dégénérées, dont celle d'équation , les deux derniers choix permettant de construire respectivement la géométrie sphérique et la géométrie euclidienne. (fr)
- Ce résultat, déjà deviné par Jean-Henri Lambert, peut se justifier rigoureusement à l'aide du modèle de l'hyperboloïde. (fr)
- 3.0E-4
- Dans les pays de l'ex-URSS, elle continue souvent à être appelée « géométrie lobatchevskienne ». (fr)
- Cependant, même si le centre du cercle circonscrit et l'orthocentre existent, ils ne sont pas alignés, en général, avec le centre de gravité du triangle. (fr)
- Klein identifie par analogie la conique absolue avec la droite de l'infini de la géométrie projective ; de même que cette dernière est coupée respectivement par les hyperboles, les paraboles et les ellipses en 2, 1 et 0 points, la conique absolue est coupée par les droites en 2 points si elle est réelle , 1 point si elle est dégénérée , et 0 point si elle est imaginaire . (fr)
- En principe, il faudrait aussi définir l'angle entre deux droites, mais en géométrie hyperbolique, les angles d'un triangle sont entièrement déterminés par les longueurs de ses côtés, et par la courbure de l'espace. (fr)
- Il faut toutefois préciser que chaque modèle apporte avec lui une définition de la distance entre deux points exprimée dans une unité arbitraire ; on choisit en général cette unité de telle sorte que la courbure soit égale à -1. (fr)
- Dans la préface de son article de 1837, Géométrie imaginaire, Lobatchevski prend soin d'expliquer que (fr)
- Euclide énonce le cinquième postulat sous une forme particulièrement opaque ; dès l'Antiquité, plusieurs versions en ont été démontrées équivalentes . La forme actuelle de l'axiome des parallèles est due à Proclus, au . (fr)
- Plus précisément, H peut s'écrire , où est le groupe orthogonal d'ordre k, et où est le groupe orthogonal généralisé des matrices laissant invariant le pseudo-produit scalaire de Minkovski en dimension n+1. (fr)
- Dans les modèles les plus utilisés, l'espace est supposé homogène et isotrope ; cela implique qu'il est de courbure constante, et que sa géométrie est hyperbolique, euclidienne ou elliptique selon que cette courbure est négative, nulle ou positive. (fr)
- C'est par exemple la méthode utilisée par le site de géométrie hyperbolique de l'université de Glasgow. (fr)
- Par symétrie autour de la perpendiculaire commune, ces droites auraient sinon deux points d'intersection. (fr)
- On recense ainsi des reformulations du postulat et des essais de preuves par Archimède et Ptolémée, puis par Alhazen et Omar Khayyam. (fr)
- Il s’agit en fait de la classe des problèmes solubles en temps polynomial par calcul parallèle ; dans un espace euclidien, . (fr)
- En 1840, Ferdinand Minding avait obtenu des relations trigonométriques pour la pseudosphère identiques à celles du plan hyperbolique, mais c'est Beltrami qui fit le lien entre ces résultats et ceux de Lobatchevski. (fr)
- Mentionné dès 1969 par Robert Dicke, le problème vient de ce que si l'Univers est à peu près euclidien aujourd'hui, il devait l'être encore bien plus au début de l'expansion ; les modèles d'inflation ont été conçus pour résoudre cette difficulté , mais ils ne font pas encore consensus dans la communauté scientifique en 2021. (fr)
- Cependant, en fonction des usages, les calculs ou les graphiques seront plus aisés à effectuer dans certaines de ces représentations. (fr)
- À l'exception peut-être des questions de pavages : s'il est possible de paver uniformément l'espace hyperbolique H par des polyèdres réguliers, et même de plus de façons que pour l'espace euclidien, Ernest Vinberg a démontré que, contrairement au cas euclidien, il n'existe pas de pavages uniformes en dimension supérieure à 30. (fr)
- Saccheri déclare à leur sujet : « L'hypothèse de l'aigu est absolument fausse, car ces résultats répugnent à la nature de la ligne droite. ». (fr)
- Supposons une contradiction en géométrie hyperbolique, par exemple une preuve de ce qu'il existe deux droites distinctes ayant deux points communs ; dans une représentation , ces deux droites auront également deux points communs, ce qui est impossible pour ces arcs de cercles en géométrie euclidienne. Ainsi, si la géométrie euclidienne est non contradictoire, il en est de même de la géométrie hyperbolique, et donc l'axiome des parallèles ne peut être démontré en géométrie absolue, puisque la géométrie hyperbolique le contiendrait, lui et sa négation. Ce type d'argument est caractéristique des premiers résultats de la théorie des modèles, culminant avec le théorème de complétude de Gödel. (fr)
- Saccheri explique qu'il ne lui reste plus qu'à montrer rigoureusement que l'existence de ce que nous appelons des hypercycles est absurde, mais qu'il n'y est pas parvenu. (fr)
- Gauss écrit à Bessel avoir renoncé à cette publication « par crainte des cris des Béotiens ». (fr)
- Gauss a déclaré que ses mesures géodésiques de la somme des angles d'un triangle confirmaient l'axiome des parallèles, ce qui a amené certains auteurs à penser qu'il envisageait que la géométrie réelle de l'univers puisse être non euclidienne. (fr)
prop-fr:éditeur
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- Géométrie hyperbolique (fr)
- Geometria hiperboliczna (pl)
- Geometria hiperbòlica (ca)
- Geometría hiperbólica (es)
- Геометрия Лобачевского (ru)
- Геометрія Лобачевського (uk)
- 双曲幾何学 (ja)
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