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- Soit un lagrangien . On suppose que l'on peut le réécrire comme où est une fonction quelconque des coordonnées généralisées et du temps . Dans ce cas, on a : On peut réécrire la dérivée totale de comme : Donc . On insère ceci dans l'équation d'Euler-Lagrange plus haut : et ainsi, on voit que le lagrangien satisfait aussi les équations d'Euler-Lagrange. (fr)
- Le lagrangien électromagnétique se construit à partir de l'expression de la force de Lorentz qui est, rappelons-le, une force non conservative. Si elle ne dérive pas d'un potentiel classique, elle dérive en revanche d'un potentiel dit généralisé au sens des équations de Lagrange. Son énergie potentielle V satisfait en effet l'équation suivante : La force de Lorentz a pour expression : D'après Maxwell : Donc : donc il existe un potentiel tel que donc : . Or d'après la formule de Gibbs : Posons : . Déterminons : :. Or : On peut remarquer au passage : donc : . satisfait l'équation de Lagrange vue supra. est donc l'énergie potentielle relative à la force de Lorentz dont le lagrangien est . (fr)
- Cet encart propose de vérifier que le lagrangien donne bien le principe fondamental de la dynamique pour une particule de masse m et de charge électrique q soumise à la force de Lorentz. Il constitue donc la démonstration dans le sens contraire de la précédente. On écrit explicitement en coordonnées cartésiennes indicées On a donc : avec composante n°i du potentiel vecteur et Évaluons les équations de Lagrange pour la composante n°1 : Or la dérivée totale par rapport au temps de est égale à sa dérivée particulaire : D'où l'expression de l'équation du mouvement pour la composante n°1 : En simplifiant, il reste : Avec et , on reconnait à droite de l'égalité l'expression de la première composante de la force de Lorentz. (fr)
- En partant des équations d'Euler-Lagrange de la densité lagrangienne originale, on a pour tout : On peut réécrire la quadridivergence du vecteur comme : Ainsi, en insérant cette identité dans l'équation du haut on obtient : et ainsi, la densité lagrangienne satisfait les mêmes équations d'Euler-Lagrange que la densité . (fr)