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La théorie de la fonctionnelle de la densité (DFT, sigle pour Density Functional Theory) est une méthode de calcul quantique permettant l'étude de la structure électronique, en principe de manière exacte.Au début du XXIe siècle, il s'agit de l'une des méthodes les plus utilisées dans les calculs quantiques aussi bien en physique de la matière condensée qu'en chimie quantique en raison de son application possible à des systèmes de tailles très variées, allant de quelques atomes à plusieurs centaines. L'accroissement de la puissance informatique et le développement d'algorithmes de plus en plus performants ont contribué à l'évolution des techniques de modélisation des matériaux à l'échelle atomique. Il est actuellement possible de caractériser fidèlement les propriétés de nombreux matériaux en appliquant des méthodes basées sur les lois fondamentales de la mécanique quantique et de l'électromagnétisme. Même si l'étude pratique de systèmes complexes nécessite quelques approximations, les résultats ne dépendent d'aucun paramètre empirique ajustable. C'est la raison pour laquelle ces techniques sont communément appelées calculs ab-initio ou calculs des premiers principes. Ces méthodes ont été largement appliquées à l'étude des oxydes et ont contribué à améliorer notre compréhension de l'origine microscopique de leurs propriétés. La théorie de la fonctionnelle de la densité est actuellement la technique des premiers principes la plus largement utilisée en physique de la matière condensée. La DFT repose sur les deux théorèmes de Hohenberg et Kohn. Le premier théorème stipule qu’à une densité électronique donnée correspond une fonction d’onde unique. Le second théorème postule que l’énergie, fonctionnelle de la densité électronique, obéit au principe variationnel. Ainsi, selon les deux théorèmes de Hohenberg et Kohn, on peut connaître totalement l’état d’un système électronique en déterminant sa densité électronique et on peut obtenir la densité électronique de l’état fondamental en minimisant l’énergie du système. Les méthodes traditionnelles dans les théories de la structure électronique de la matière, en particulier la théorie Hartree-Fock et les méthodes dérivées de ce formalisme, se fondent sur une fonction d'onde multiélectronique. L'objectif principal de la théorie de la fonctionnelle de la densité est de remplacer la fonction d'onde multiélectronique par la densité électronique en tant que quantité de base pour les calculs. Alors que la fonction d'onde multiélectronique dépend de 3N variables (où N est le nombre total de particules du système), la densité est seulement fonction de trois variables ; il s'agit donc d'une quantité plus facile à traiter tant mathématiquement que conceptuellement. Le principe de la DFT consiste en une reformulation du problème quantique à N corps en un problème monocorps (ou, à la rigueur, bi-corps si l'on considère les problèmes de spin) avec pour paramètre la densité électronique. L'idée centrale de la DFT est que la seule densité électronique de l'état fondamental du système détermine entièrement les valeurs moyennes des observables, comme l'énergie. La DFT trouve ses origines dans le modèle développé par Llewellyn Thomas et Enrico Fermi à la fin des années 1920. Néanmoins il faudra attendre le milieu des années 1960 et les contributions de , Walter Kohn et pour que soit établi le formalisme théorique sur lequel repose la méthode actuelle. La DFT a été à l'origine principalement développée dans le cadre de la théorie quantique non-relativiste (équation de Schrödinger indépendante du temps) et dans l'approximation de Born-Oppenheimer. La théorie fut par la suite étendue au domaine de la mécanique quantique dépendante du temps (on parle alors de TDDFT pour Time-Dependent Density Functional Theory) et au domaine relativiste. La DFT est également utilisée pour la description thermodynamique des fluides classiques. (fr) |
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Dans l'approximation GGA, la fonctionnelle d'échange est exprimée comme : où est l'énergie d'échange pour un gaz homogène d'électrons et un facteur d'amélioration avec la variable sans dimension (fr) Dans l'approximation LDA , le potentiel de corrélation est défini par : où est l'énergie de corrélation et un paramètre qui décrit le rayon d'une sphère contenant en moyenne un électron dans un système électronique homogène de densité . # Forme de Hedin-Lundqvist où A = 21, C = 0.045 et x = rs/A (fr) Toutes les propriétés du système étant définies par la connaissance de la densité , elles peuvent donc être décrites comme des fonctionnelles de la densité. L'énergie totale peut donc s'écrire : où exprime l'énergie d'interaction entre les noyaux atomiques tandis que la fonctionnelle inclut toutes les contributions électroniques . Cette fonctionnelle étant la même pour tout système électronique , elle est appelée fonctionnelle universelle. Considérons à présent un système ayant une densité à l'état fondamental noté et qui correspond à un potentiel externe . La fonctionnelle de Hohenberg et Kohn est égale à la valeur obtenue pour l'hamiltonien de l'état fondamental associé à la fonction d'onde : Si nous considérons à présent une densité différente qui correspond nécessairement à une fonction d'onde différente de . On constate de manière immédiate que l'énergie caractérisant cet état est plus élevée que . Par conséquent, la valeur de la fonctionnelle énergie de Hohenberg et Kohn évaluée pour la densité de l'état fondamental est forcément moindre que la valeur obtenue avec n'importe quelle autre densité . De ce fait on peut en déduire que, si la fonctionnelle universelle est connue, la minimisation de l'énergie totale par une variation de la fonction densité va nous conduire à la densité de l'état fondamental. (fr) Le Premier Théorème HK peut se démontrer très simplement en utilisant un raisonnement par l'absurde. Supposons qu'il puisse exister deux potentiels externes différents et associés à la densité de l'état fondamental . Ces deux potentiels vont conduire à deux hamiltoniens différents et dont les fonctions d'ondes et décrivant l'état fondamental sont différentes. Comme ne décrit par l'état fondamental de on peut donc écrire que : Cette inégalité stricte est valable si l'état fondamental est non dégénéré ce qui est supposé dans le cas de l'approche de HK. Le dernier terme de l'expression précédente peut s'écrire : ce qui donne : Il va également de soi que le même raisonnement peut être réalisé en considérant à la place de . On obtient alors la même équation que précédemment, les symboles et étant inversés : On additionnant membre à membre ces deux dernières équations, on obtient l'égalité contradictoire suivante : L'hypothèse de départ est donc fausse ; il ne peut exister deux potentiels externes différant par plus d'une constante conduisant à la même densité d'un état fondamental non dégénéré. Ceci achève la démonstration. (fr) |
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La théorie de la fonctionnelle de la densité (DFT, sigle pour Density Functional Theory) est une méthode de calcul quantique permettant l'étude de la structure électronique, en principe de manière exacte.Au début du XXIe siècle, il s'agit de l'une des méthodes les plus utilisées dans les calculs quantiques aussi bien en physique de la matière condensée qu'en chimie quantique en raison de son application possible à des systèmes de tailles très variées, allant de quelques atomes à plusieurs centaines. (fr) |
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