Вестник КРАУНЦ.Физ.-мат. науки. 2021. Т. 36. №3. C. 110-122. ISSN 2079-6641 — Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки (original) (raw)

Содержание выпуска/Contents of this issue

УДК 517.946

Научная статья

Двухфазная задача со свободной границей для систем параболических уравнений с нелинейным членом конвекции

А. Н. Элмуродов

Институт математики имени В.И.Романовского АНРУз, г. Ташкент, р. Олмазор, ул. Универcитет, 4б, Узбекистан

E-mail: elmurodov@mathinst.uz

Эта статья посвящена задаче со свободной границей для полулинейных параболических уравнений, в которой описывается феномен сегрегации местообитаний в популяционной экологии. Основная цель — показать глобальное существование, единственность решений проблемы. Предлагается двухфазная математическая модель со свободными границами для параболических уравнений типа реакция-диффузия. Установлены априорные оценки щаудеровского типа, на основе которых доказана однозначная разрешимость задачи. Неустойчивость каждого решения полностью определяется с помощью теоремы сравнения.

Ключевые слова: математическая модель, априорные оценки, теоремы сравнения, однозначная разрешимость.

DOI: 10.26117/2079-6641-2021-36-3-110-122

Поступила в редакцию: 19.06.2021

В окончательном варианте: 05.10.2021

Для цитирования. Элмуродов А. Н. Двухфазная задача со свободной границей для систем параболических уравнений с нелинейным членом конвекции // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 36. № 3. C. 110-122. DOI: 10.26117/2079-6641-2021-36-3-110-122

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International
(https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Элмуродов А. Н., 2021

MSC 53C12, 57R25, 57R35

Research Article

Two-phase problem with a free boundary for systems of parabolic equations with a nonlinear term of convection

A. N. Elmurodov

Uzbekistan Academy of Sciences V. I. Romanovskiy Institute of Mathematics, 100170, Tashkent, Mirzo Ulugbek str, 81, Uzbekistan

E-mail: elmurodov@mathinst.uz

This article is concerned with a free boundary problem for semilinear parabolic equations, wbich describes the habitat segregation phenomenon in population ecology. The main goal is to show global existence, the uniqueness of solutions to the problem. A two-phase mathematical model with free boundaries for parabolic equations of the reaction-diffusion type is proposed. A priori estimates of Schauder type are established, on the basis of which the unique solvability of the problem is proved. The instability of each solution is fully determined using the comparison theorem.

Key words: mathematical model, a priori estimate, comparison theorems, uniquely solvability.

DOI: 10.26117/2079-6641-2021-36-3-110-122

Original article submitted: 17.06.2021

Revision submitted: 05.10.2021

For citation. Elmurodov A. N. Two-phase problem with a free boundary for systems of parabolic equations with a nonlinear term of convection. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2021, 36: 3, 110-122. DOI: 10.26117/2079-6641-2021-36-3-110-122

Competing interests. The author declares that there are no conflicts of interest regarding authorship and publication.

Contribution and Responsibility. The author contributed to this article. The author is solely responsible for providing the final version of the article in print. The final version of the manuscript was approved by the author.

The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Elmurodov A. N., 2021

Список литературы/References

  1. Cantrell R. S., Cosner C. Spatial Ecology via Reaction-diffusion Equations. John Wiley and Sons Ltd.: Chichester, UK, 2003. 729 pp.
  2. Du Y., Z.Lin Spreading-vanishing dichotomy in a diffusive logistic model with a free boundary // SIAM J. Math. Anal., 2010. no. 42, pp. 377–405.
  3. Wang R.-H., Wang L., Wang Z.-Ch. Free boundary problem of a reaction-diffusion equation with nonlinear convection term // J. Math. Anal. Appl., 2018. vol. 103, no. 467, pp. 1233–1257.
  4. Du Y., Ma. L. Logistic type equations on by a squeezing method involving boundary blow-up solutions // J. London Math. Soc., 2001. vol. 64, no. 2, pp. 107–124.
  5. Friedman A. The Stefan problem in several space variables //Trans. Amer. Math. Soc., 1968. vol. 133, no. 9, pp. 51–87.
  6. Friedman A. Free boundary problems in biology // Discrete Contin. Dyn. Syst., 2015. vol. 32, no. 9, pp. 3081–3097.
  7. Kamenomostskaja S. L. On Stefan’s problem // Mat. Sb., 1961. vol. 53, no. 2, pp. 489–514.
  8. Мейрманов А. М. Задача Стефана. Новосибирск: Наука, 1986. 240 с. [Meyrmanov A. M. Zadacha Stefana. Novosibirsk: Nauka, 1986. 240 pp. (In Russian)]
  9. Ladyzenskaya O. A., Solonnikov V. A., Uraceva N. N. Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type. Transl. Math. Momogr.: Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1968. 760 pp.
  10. Lei C. X., Kim K., Lin Z. G. The spreading frontiers of avian-human influenza described by the free boundary // Sci. China Math., 2014. vol. 57, no. 2, pp. 971-990.
  11. Рубинштейн Л. И. Проблема Стефана. Рига: Звайгзне, 1967. 456 с. [Rubinshteyn L. I. Problema Stefana. Riga: Zvaygzne, 1967. 456 pp. (In Russian)]
  12. Mimura M., Yamada Y., Yotsutani S.A free boundary problem in ecology // Japan J.Appl. Math., 1985. no. 2, pp. 151-186.
  13. Mimura M., Yamada Y., Yotsutani S. Free boundary problems for some reaction-diffusion equations // Hiroshima Math. J., 1987. no. 17, pp. 241-280..
  14. Okubo A. Diffusion and Ecological Problems: Mathematical Models. Berlin: Springer-Verlag, 1980.
  15. Pao C.V. Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations. Plenum Press: New York, 1992. 778 с.
  16. Фридман А. Уравнения в частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. 428 с. [Fridman A. Uravneniya v chastnymi proizvodnymi parabolicheskogo tipa. M.: Mir, 1968. 428 pp. (In Russian)]
  17. Кружков С. Н.Нелинейные параболические уравнения с двумя независимыми переменными // Тр. ММО, 1967. Т. 16, №2, С. 329-346. [Kruzhkov S. N. Nelineynyye parabolicheskiye uravneniya s dvumya nezavisimymi peremennymi //Tr. MMO,1967. vol. 16, no. 2, pp. 329–346].
  18. Тахиров Ж. О. Неклассические нелинейные задачи и задачи со свободной границей. Ташкент, 2014. 240 с. [Takhirov ZH. O. Neklassicheskiye nelineynyye zadachi i zadachi so svobodnoy granitsey. Tashkent, 2014. 240 pp. (In Russian)]
  19. Takhirov J. O.A free boundary problem for a reaction-diffusion equation appearing in biology // Indian J. Pure Appl. Math., 2019. vol. 50, no. 1, pp. 95–112.
  20. Takhirov J. O., Rasulov M. S. Problem with Free Boundary for Systems of Equations of Reaction-Diffusion Type // Ukrainian Math. J., 2018. vol. 69, no. 13, pp. 1968–1980.

Элмуродов Алимардон Нуриддинович – младший научный сотрудник, Институт математики имени В. И. Романовского АН РУз, Ташкент, Узбекистан.

Elmurodov Alimardon Nuriddinovich – Junior Researcher Institute of Mathematics, Tashkent, Uzbekistan.