Задача 5: "плоская" Земля | AFPortal.ru (original) (raw)

«Плоская Земля». Древние греки считали, что Земли является плоским диском, вращающимся вокруг своей оси. Примем и мы, что Земля является плоским диском достаточно большого радиуса (скажем, более 40 000 км).Будем также считать, что период обращения диска вокруг своей оси равен одним суткам. Среднюю плотность материала диска примем равной средней плотности Земли ρ = 5,5×103 кг/м3.

Познакомимся с «географией» плоской Земли. Она напоминает обычную карту земного шара с северным полюсом N. Далее аналогично: любую радиальную прямую, выходящую из северного полюса будем называть меридианом. Легко догадаться, что южного полюса нет — его роль играют все точки края диска. Соответственно, окружности, точки которых находятся на равном расстоянии от полюса, назовем параллелями. Движение по параллелям в направлении вращения Земли будет соответствовать движению на восток (E), а в противоположном направлении — на запад (W). Пусть Афины находятся в точке A, расположенной на расстоянии ro = 4,0×103 км от северного полюса N.5.1. Какой должна быть толщина h этого диска, чтобы ускорение свободного падения на северном полюсе N было g = 9,8 м/с2? 5.2. Для связи с жителями «другой стороны» плоской Земли вдоль оси ее вращения пробурена сквозная тонкая шахта. Если без начальной скорости в шахту опустить камешек, то он пройдя сквозь шахту, окажется на другой стороне Земли. Найдите максимальную скорость vmax камешка при таком движении. Силой сопротивления воздуха пренебречь. 5.3. Для связи с жителями «своей стороны» плоской Земли из Афин с помощью суперкатапульты производится выстрел «снарядом» с начальной скоростью vo = 100 м/с под углом α = 45° к горизонту. Силой сопротивления воздуха пренебречь. найдите величину и направление смещения ΔS снаряда от меридиана за время его полета при выстреле вдоль меридиана (рассмотрите два случая).найдите величину и направление смещения ΔS снаряда от параллели за время его полета при выстреле вдоль параллели (рассмотрите два случая).Гравитационная постоянная G = 6,67×10−11 Н • м2/кг2.

Решение

5.1. С точки зрения математики закон всемирного тяготения Ньютона и закон Кулона (основной закон электростатики) являются схожими, если считать массу m своеобразным «гравитационным зарядом» или наоборот, представить электрический заряд q «электрической массой»:

В продолжение этой аналогии можем сказать, что ускорение свободного падения g в теории гравитации является «силовым аналогом» вектора напряженности электрического поля E.

Таким образом, можем составить небольшую табличку «гравитационно-электрических» аналогий:

Напряженность электрического поля E пластины толщиной h, заряженной с постоянной объемной плотностью ρ:

Следовательно, методом аналогий находим, что ускорение свободного падения на северном полюсе (вдали от краев пластины):

С помощью (1) находим искомую толщину Земного диска:

-------------------------------------------------

5.2. При движении камешка внутри шахты на него будет действовать переменная сила тяжести F(x), график зависимости которой от расстояния x до «нулевого сечения» планеты (на глубине h/2) представлен на рисунке. Работа силы тяжести A равна заштрихованной площади под графиком S (площади прямоугольного треугольника):

где h дается выражением (2). Скорость камешка будет максимальной именно в нулевом сечении, поскольку при дальнейшем движении гравитационные силы начнут его притормаживать.

Согласно теореме о кинетической энергии в этом случае получаем:

где m — масса камешка. Из (3) находим:

Как видим из (4), даже плоская Земля разгонит камешек до «полукосмической» скорости.

-------------------------------------------------

5.3.

а) Рассмотрим выстрел из суперкатапульты вдоль меридиана от центра планеты. Афины вращаются вокруг центра Земли с линейной скоростью:

где w = 2π — угловая скорость вращения планеты, T = 86400 c — период обращения Земли вокруг своей оси.

Соответственно, эту же скорость приобретет снаряд в азимутальном направлении относительного абсолютного наблюдателя, находящегося в центре Земли (рис.). Однако линейная скорость вращения точек в районе приземления больше (они дальше!) на величину Δv:

Δv = w(r + Δr) − wr = wΔr, (5)

где:

— дальность полета снаряда на неподвижной Земле.

Соответственно за время полета снаряда:

эти точки «уйдут вперед» на величину:

Поскольку меридиан уйдет вперед по направлению вращения Земли, то для наблюдателя снаряд отклонится на запад от меридиана на величину ΔS = 1,1 м.

Легко догадаться, что при приближении снаряда к центру Земли линейная скорость вращения точек ее поверхности будет уменьшаться, т.е. теперь, в отличие от предыдущего случая, снаряд будет их «обгонять». Соответственно, меридиан в этом случае «отстанет» на ту же величину ΔS = 1,1 м, но в другом направлении. Таким образом, для земного наблюдателя при выстреле из катапульты вдоль меридиана по направлению к центру Земли снаряд отклонится уже на восток, но на ту же величину ΔS = 1,1 м.

б) при выстреле вдоль параллели на восток (запад) (рис.) снаряд также добавляет (теряет) азимутальный компонент скорости, что меняет его дальность полета. Кроме того, как следует из рис., за время полета снаряда точки параллели «повернут» относительно плоскости его полета, вследствие чего точка падения снаряда окажется на некотором расстоянии ΔS от параллели. Таким образом, дальность полета снаряда Δr при выстреле на восток (по направлению вращения диска):

При выстреле на запад (против направления вращения земного диска)

Заметим, что в этом случае (см. рис.) смещение снаряда ΔS происходит всегда на юг, т. к. он в любом случае удаляется от центра Земли (параллели). При этом, согласно теореме Пифагора:

(r + ΔS)2 = r2 + Δr2. (9)

Поскольку ΔS >> r, то в (9) можно пренебречь слагаемым (ΔS)2, что приводит к результату:

Подчеркнем, что при расчетах в (10) следует брать знак "+" в случае выстрела на восток (ΔS = 3,4 м), и знак "−" в случае выстрела на запад (ΔS = 1,3 м).

Таким образом, для земного наблюдателя при выстреле из суперкатапульты вдоль параллели снаряд отклонится на юг в любом случае, но величины смещений в этом случае будут разными: ΔS = 3,4 м при выстреле на восток и ΔS = 1,3 м при выстреле на запад.

[тема: метод аналогии]