����������� ������� (original) (raw)
������������ � ������� Hard'n'Soft �10 2003
������������ ����������� �������� ��������
� ������ ����� ������ ����������, ��������
������� � �����������, ��� �� ������ � ���.
�� ������ �� ��� � ��������� ��������� ������.
� ����� � ������ ���� � ����� �����, ����������
����� ���������� ��� �����, � ������� ��������
������� �� ������, ������������ � ��������
��, ��� ��� �����������.
���� ������ ���. ������� � ��� �������.
����� � ����� �������, ��� �������,
��� � ����� ����.
��������
�������������� ������������ "����������� ����� ���", ����� ������� ���������� ������������, ����� � ������� ��, ���� �� ���� ��� � ������� ������� ��� ������ ������. ������ �� ��� ������������, ��������� � �����������, ��������, ������� ������������� � ������������ ������� ��������. � ����� ���� ���� � ������, �� �� ��� ������ ����������� ������ �� ����������� ������������ ������� �� ������������, �� ��������� �� ��� ����, ���������� ���� �������� ������������. �� ����� ������� "������-����" ���� ����������� �� ������� � ���, ���� �� �������� ����� ������������ ������ �� ��������� 2000 ���. (http://www.znanie-sila.ru/vote/?id=2 - ����������, ������, ��������� �������� ���� ������������ � ������� �����������.) �, �����������, ����� ����� ���������� ������ �� �� ����� ����� ��� ����� ������� (1623-1662).
������� ����, ����� ��� ���� 39 ���, ��, �������� �� ����� �������� �����, �� ����� � ������� ��� ���������� ���������, �����, ������� � ��������. ��� ������ ������������ ��������� ������� ������� �������� (�������) � ���������� ����������� ������� ��������������� ���� ����������������. �������� ��������� ��� ����� ������� 5.5 ��� ���, ���� - ������� ������� 7.0 � ��� ���������� �������� � Delphi. ������ ������� ���������� ����� ������ �������. �� �������� ����� �� ���������� ��������������� �������, ����������� ���������, ������ ������������, ������������ (������ �������� ����� �������, � ������������ � ������� ��������� �������� � ���������� �������� ���������� � ��������� �� ����� ��� ���������), ���������� ������������� �������� ���������� - "��������� ������" - ��� �������� ������������. ������� �����������������, ��� ������ �������� ����������, � �������, ��� �� ����� ���, ������, ��� ��������� ��������� ������� �� ��������� � ����������� ������� � ������ ��� ����� ������������ ��� ������������ ������.
��������� �� ������������ ���������� ������� ����������� ������� ������� - ������� ���� ��� ����� ��� �� ������. ��������, ������ ����� �������� ������, ��� ����� ������������ ����� - ��� ����������� ����� �������. ��� �� ����������� ���� ��������� - ������������ ������ �������� � �������������� ���������� - ������� ���� ����������� �������������� ���������� ����������. ��� � ����������������� �������� ������� ������������� ������� � ��������������, ��������� � ���������� ������� (������� �������). (��������, ��� ����� �� ������� �� ����� ������� ����� 400 ���������.) ����� ��������� ��� ���� ������� ������ ������������ �������������� ���������� - ����������� ������, ������� ��������� ���������� ����� � ���������� ������� ���������. � ���� ������ ����� ���������� ����� ��������������� ��������� ������ (���������) � ��������� ���������, � ��������� �������� ����� ���� ��������� � ������� - �� ������ �� ������ �����.
���� ������� � ������ ������� �������, ���� �����, ����� ������������ ������ ������������, ������ ����� �� �������� ����� �������� 1654-�, ����� ������� � ����� ���������� ���� �� ����� ���� ���������� ���������� ��� ����������� ��������� ������� ������. ��� ������ ������ � "����������" ���� (�.�. ����� �������� � ����� ���������), �������������, ��� ���, ��� ������ ���������� ����� ������, ������� ���� ����. �����������, ��� ���� ������������ �� ����, ��� ���� �� ��� ������� ���� (��������, ������ ����� ������� ���� ������, � ������ - ���). ��� ����������� ��������� ����? ����, ������ ������, ������ �������� �� �������� ����������, ����������� ������� ��������� ������ ������ �� ������, � ����� �������� ������ ������� ������� � ���������. ���, �������� ������ ������� ��������� ��������� ���� � ��������� 5 : 3, �.�. ��������������� ���������� �������, �������� ������� - � ��������� 2 : 1 (����� ����������� ������, �� ���� ���������, ��������� �������: ��������� ������ ����� ������� �� ��� ������ ������, ��� ���������� ������ ����� �� ����������� ��� ������ ����� ������, �� �� ������ �������� ���� ����� �� �����, � ���������� ����� ����� ��������� �������).
� ����� ��� ������ ���� � ��������� 7:1. � �������, � ����� ������������� �������� ������� ������ ��� ������ � ������������, ���������, ��� ������������ �������� ������, ���������������� ������ ������� ������ �������� ����. �����������, ������� ������ �������� �������� ������ ���� ������, � ������� ��� ������ ���������� �������� ��� ��� ������, ������ ������ ���������� ���� � ������ ��� ��� ������, ���� ���� ��������� �� ��� �������� ������� ��� ����������� ����������. ��� ������ ����������� ��� 23 = 8 ��������� ������� ����� ���������������. ��� ��� ������ ����� �������� ���� ������ ��� ����� ������ (���� �� ������� ��� ��� ������), � � ��������� ������� ��������� ������ �����, ������������ �������� ��������� 7 : 1. (������� � ����� ����� ����� ����� ������� ��� ������, ����� ������ ������ ��� ��������� ����� ����� �������� ��� n ������, � ������� - m ������.)
��, ��������, ����� ��������� �������������� ������� ����� ������� �������� ������� �� "�������������� ������������", ������������ ������������� �������������� (����������� �������), ������� ����� ���������� � ������ ������������ � �������� ������������� � �������������� ����������. ������������� ����� ���������� ������������ �� � ��������, �������� �������� ������ � ���������� ������ ������ �� http://inf.1september.ru/2002/1/france.htm ������ ���������� � ���, � �� "��������� �����" http://schools.techno.ru/sch444/MUSEUM/PRES/PL-4-98.htm ����������� ������� � �������, ��� ����, ������ � ����� ��������� �������.
����������� ����� �����
�� ��� ��� �����!
���� �� ���� ������������,
���� �� ���, ������ ����
�.��������
� ����������������, ����������� ������� ��� �������� ������� �� 1653 ���� - ���� ������ "�������� �� �������������� ������������". ���, ���� ����������� ������������� �� ��������� ����� �������� ����������, ���������� � ������ XVI ������ �������, ���������� �� ���������������� ������������. ��������� ����������� � �� ����������� � ����� ������ ���������� ����������, ���������� � 1303 ����. ���� �����, ������ �� ������ ��������� � ������, �� � �����������, ���� � ������������� ������������ ����� 1100 ����, � ���� �������, ����������� ��� �� ����� ������ ��������� ��� ��������� ����������.
������ ������� ����� � ����� "�������������� �������" (�., ���, 1974): "����������� ������� ��� �����, ��� �������� ��� ������ ���� ������������ �������. � ���� ����� �� ���� � ���� ������������� ��������� � ��������� ������� ��������� ������� ����������, �� ������� �� ������ ������ ����� ����� ������ ������. ����� ��������� �������� ��������� ������� ����������� ������� ����� �� �������� ������� ���� �� ���� ����������".
�����������, ��� �� ������� � ����� ��� �������� �� ����� ����� ��������, � ������ ��������� ������ ������, ������, ��� ����� �������, ������ ������, ��� ������ �������. ����, � ������� ����� ������� ������ ������������ �������, �������� �������� ����������, �����, � ������� ����� ������� ����� ���������, �������� ������� ��������, � �����, ��������������, �������. ��� ���� �� ��������� ���������� ������������, ������������ ���� ����������� � ��� ������������ "�������������� ������������".
� ��� ����� ��������� ���������� ������������ ������� �����: ������ ����� ����� ����� ���� ������������� ��� ��� �����. ��� �����������, �� ������� � ���� ������ �����.
�� ������� ������������ ����� 1. ����������� ����� ���������� �������������. �� �������� ���������� ������������ ������������ ���, ���������� ����� ��� �������. ����� ���������� (��������� � ������������ ����� ���� ���������, �� �� ����� �����������, ����� ������������ ����������� � �����������), ������������ �������� ������������ (�� ������� �������� �������� �������) ��������� ����������� ����� � �� ��������� �� ������ ����������� ���� ������������.
����������� ����� � ����� ������� � ��������� ��� ���� ����������, ������� ���������� ������� ����� ����������� � ���� ������������ - ��� ������������ ������ ��������� ����������� ����� � ��������. � ����� ������� ����� ���������� ��� ��� - ����� ��� - � ���� ����� ��������� ��� ��� - ����� �����. ��������� ���������� ���� � ����������� ����� ������������ ������� ��� 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66..., ��� � ���������� ������ ������� �����. ���� ������������� ���, ������ ���� �������� ����� ����� ������������ ���� ����� (55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10), �������� ����� ��������� ���������, ������ ��������� ��������� ����������: 6 � 28 - ����������� �����, 36 - ���������� �����, 8 � 21 - ����� ���������.
��������� ������� ����� ������� ��� �������������� ����� - ���� ��� �� ����� �������� �� ��� - ����� ������, ��� ��� �������� ����� (����������� � �����������!) - ����� ������, � ��� �����. ��������� � ����������� ������ ����� ��������� � Hard'n'Soft �4 2002 � ������ "�������-���������, ������������� � ���������� �������������������" ��������� ����� �� ������.
� ��������� ������� ����� (1, 5, 15, 35,...) ���������������� ������� ������������ �������������� � ������������� ������������ - ���� ��� �������� �������, � ��, � ���� �������, ������... � ����� ���� ����� ����������, ������ � �������������, �����������. � ��� ����� ���������� ��������, � ������� ��������������� ��������� ������� �����, �� ����� ������������ ������ � ������������ ���������.
� � ��� �� ������� ��� ����� ������� ������� �����, �� ������� ������������� ����� ������������ ����? ��� ���� ����������� �����, �� ����������, ������������, ������� ����� ����� �������� ����� ����� - ������� ����, ������� � ��������. ���� �� ���� �� �����, �� ����� ������� ��� �� ������ - ��� ���� ����������� ����� � ���������� ������������ - ������� �� ����� �� �� ����� - ������ ������ ����������� �� ������, ��� ������ ����� - ��� �� �����, �� ������, �� ������.
���� ������� �������, ���������� �� ����������� �������, ����������, ����� �������� ��������� ���������� �����: 10 ���� ����� ������� � � ���� ��������� � � ���� �������� ������������. � 56 ���������, ���������� �������� � ���������� ������������, ����� ������� � ������� ��������� ���������� ��������, ������, ���� �� �� ���������� �������� �� 56 ���� �����������, �� ���� ���� �������� �� ������.
��� �� ��� ���������� ����������� ������� ����� �������� � ���? ����� ����� ������������ ����, ������������� ���� ��� ���������������� ������������� ����� � Hard'n'Soft �5 2002 (�� ������), � ������ - ������� ������� ��������� ������, �� ��� ������ �� ����� ���� ����� ���� ���������� - ������ ���� ������ �� �������� ����, �������� ����� �� �������� ����, � ����� ���� ������� �� �������, ��� ���� ��� ������������� ��������� ���� ��� ������������� �������. � ����������� ������� ��������� ����� ����� � ��� ��������, ����� � ����� �� ������� � ����� �������� ��� �������.
����������� ���� �����, �� ������ ������������� ����������� �� ������ ������������� �, ������, ������ � ����������� ��������� �������������. (������� ����� ����� �������� �� �����, ��� ��� � 13-14 ����� � �������� �������� ���������� ������� � ����������� �����, ��� ��������� � ����� �������� � ������� �����������. �����, �������, ��������� ������ ������ � ��������� �����, �� ��� �����, ����� � �������� ������������ ������ ������ � ����� ���������, ���� � �� ���� ����� ����. )
�� ������� ��� ������� ���������� ������� ������������ �������. ����� ����� ����� �����, ������� �� ����� ��������� �� ������ �� ������������� ��� �����, ���������� ��������� �� �����, ������������� ����� � ����� �� ���������� ����������. (����� ��� ������ ���������, ��� ����� ��������� ����� ������, � ������ - ����� � �������� ������������). �����, ��������, �� ����� ��������� ����� ����� ������������ ���� �� 1 �� 9. "�����������" �� ��������� �� ����� 9, �� ������ ����� ����� �� ���� ����� 45. ��� �� � ���� ������� �����. ���� ����� ����� ������ ������ ����������� �����? ���������� ������� ����� �� ������ ��������� � ���������� ���� � �����. �����: 120. ��, ������, 120 - �������������� �����. �������������, ���� ��� ����, �� ������� ������� 8 ������ �������������, �� ����� �� ������� ��������. ���������� � ������� ��� �������� ����������� �������, ������ �� ��������� ����� � ���� � ��������� ���������, ��� ����� ���������.
����� �����, ������� ����� �� ����� ����� �������� ���������� (�� ������� �������� �������� �������) �������� ������ ��������� ���������� ��������� ������������������ ���������. ��������, ��������, �������������� ������ "�������-���������, �������������..." ��� �������������� ��������� �� ������.
�� � ���������� ����������� �� �� �������� � ���, ��� ����� ��������� ����� ����������� � � ������������� �������. ���������� ��� �� n �������. ��������� ��������� ����� ��������� �� ��� ������ � ������ ���, ����� ������� ��� ������� �� ������ �����? ��� n=1, 2, 3, 4, ... ����� �������� �������������� ����� 2, 3, 5, 8, ..., �� ���� ��������� � ������� ���������. �������, ��-��������, �� ����, ��� ����� ��������� ������ � ��� ������������. ��� �������������� ���� ���������� ������ � XIX ����. �����, ������� �� �������������� ������� ������������ �������, - ��� ������������ ������������, �� ���� ������������ ���������� (x+y)n �� �������� x � y. ��������, (x+y)2=x2+2xy+y2 � (x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3. ������������ ���������� 1, 2, 2 ����� �� ������ ������, � 1, 3, 3, 1 - � ������� ������ ������������. ����� ����� ������������ ���������� (x+y)n, ���������� ��������� �� n-�� ������ ������������. ������ ��� ��������������� �������� ������������ ������� ��������� ��� � �������������� � ������� �����������, ��������� � ������� �������� ���������� ����������.
����������� (������ �� ������� ��������), ��� ����� ����, ������ ������� ��������������, ������ ������ ��� ���� �� ���� ����� ���. ������� ��������� ������� �� ������ ������� ����� ���������� ������������ ������? ��� ������ �� ���� ��������� ������ ���������� ���� ����� �����, ������� �� ����������� ��������� 3 � ������ 7: ��� ����������� ������ 35. ����, ���������� ��������� ���������, �� ����������� ������ ��������� � ������ � ������ ������ �����, ������� �� ����������� ��������� 7 �� ������� 3, �� ����������, ��� ��� �� ������������. �� ���� ��� ����� �� ���� ��� ���������!
� ����� ������, �����, ������������, ��������� ��������� ����� ������� n ��������� �� ���������, ����������� r ��������� ���������, ����� �� ����������� n-��� ��������� � r-�� ������. � ��� ���, ��� ���, ��� ���� ���-�� �����. ����� ��������� ��������� �� n ��������� �� m ������������ ��������
��� n!=1*2*3*4*....*n ��� ���������� ��������� ����� n. � ��� �� ���� ��� �� ���� ����� ������� ��������� ����������: C37 =7!/3!/4!=1*2*3*4*5*6*7/1*2*3/1*2*3*4=5040/6/24=35, ��� �� ������ � ��������. � �������� ������������ ������������� ������������ �� ������� ������, ��� �� � ��������, ��� �� ��������, �������� ������������ �������, �������� ������������ ������� ���� ����������� � �������������� � ����������� �������� �� ��������.
������, �� ������� ��������� �������, ��� ���������� ��������� ������ ���� �� ���� ����� ���������� ��������� ������ ������� �� ����, ���, ����� ��������� ���������� �������� ��������� 5 �� 36 ����� ���������� ������ 31 �� 36, ������������� �� ���� �������� ��������.
����� ����� �������������� � ������� ������������ ������ �����, ���� �� ���������� ������ ��������� ������� �������� ���� �����: ���, ���, ���, ���, ���, ���, ���. �������� ������, ��� ��� ����� �������� ���� � ����� ������, ��� ����� - � ���� �������, ���� ���� - ����� � ���� ������� � �� ������ ����� - � ����� ������. ����� ������������� ��������� ��� ��������� 3, 2, 1 � 0 ������ ����� 1, 3, 3, 1. ������ ��� ����� ����� � ������� ������ ������������ �������. ����������� ������, ��� �� ����� ������ ����������� ��������� ����� 5 ������ ��� ������������� �������� 10 �����. ������ �����, ���������� ����������, ������� ���������� ��������� ��������, ����������� ������� 5 ����� �� 10. ����� �� �������, ����� �����, ������� �� ����������� 5-� ��������� � 10-� ������. ��� ����� 252. ������ ��� �����, ������� � 10-� ������, �� ������ ����� ��������� �������, ���������� ����� ������� ���������, ���� ��������������� ��������� ��������� ������������ �������������: ����� ������������� ������ (�+�)n, � ������ ��� � ����� � n-� ������ ������������ �������, ����� 2n. �������������, ����� �����, ������� � ����� ������ ������������, ����� ������ ����� �����, ������� � ���������� ������, ��������� ��� ���������� ������ ������ �����, ������� � ����������, �������� ������. ����� ����� ������ (����� �������) ������ ����� 1. �������������, ����� �����, ������� � ������� ������������ �������, �������� �������������� ���������� � ������ ������, ������ 1, � ������������ 2: 1, 2, 4, 8, ... . ������� ������� ����� 2 ����� 1024. �������������, ����������� ��������� ���� ������ ��� �������� 10 ����� ����� 252/1024= 63/256 . �������� ��������� ������ � ����� ������������ ������� � �������������� ����� �������� ��������� http://combinatorica.narod.ru/third.html.
����������� ������� ��������� ��������� ������� �������� ��� ���������� ����� ���������� - ������������� ���������� ��������� ��� ������������ ������������� ������������ �������������. ���������� �������� ������, ��� ���� ������ ��� ���������� � ������ ������ ��������� "��������� �����", ������������� � �7 2001 Hard'n'Soft � �������� �� ����� ������� http://www.hardnsoft.ru/magazine.php?issue=86&article=18&page=1 �, ������ � ������� �������� � ����� �� � ���� �� �� ������.
����������� ������� ���������, ����� � ���������. ������������� ���������� ���� - � ������ �� ��� �������������� �������������� �� ���������� (� �������-...) ������? ����������� �����! � ������ �. �. �������� ( http://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/1006.html ) ���������� ���������� ������ ������������ - �������� �������, �� ����� � �������������� �������������� � ��������� ������� ���������, ������� ����� ������ ����� ��������.
������, �������-��, ��������� � ������ ����������� ��� ��� ������������� �������� ������������ �������. ������� ������ ����� � ������������ ������� ������. ������, �������� ����� ������� ����������� ������, � ������ - ����������, ��� ������ ����. ��������� �������� ��������������-������������: ����������� ������� ���������� �� ����� ������ ������������, ���������� ������� ����. ����� ��� ���� � ���� ����� ��������������. �� ���� �������� �� ������� ��� ����� ����������� ������������ ��� ������������ ��������, �� ���������� �� ����� ������ �����, �� ���� "������������" �� ����� ���� ������ �����. � ������� ������������ ������� "���������" ����������� ��������� �� ����� - ������������ �����, ����� ���� ������������, ���������� 6, 28, 120, 496, ... �����. ��� �� ��������� ����� - 6, 28 � 496 - �������� ��� �����������, ��������� ������ �� ��� ����� ����� ���� ����� ���������, �������� �� ������ �����. ��������, 6=1+2+3. ����������, ���������� �� ���������� ����� ����������� �����, � ����� ���������� �� ���� ���� �������� ����������� �����. ��������� � ����������� ������ ����� ��������� �� ������.
�������� ���������, ����������� ��������� ������������ � ������������ � ��������� ������� ����� ������������. ������ �������� ����� �� ��� ����� �������� ����, ���������� ������ ������ ��� �������� �������� � ����� ��� ������.
�������� ����� ����� ���������� ���������� ������� �� ������� �� ��� � �����, ��� ������� ������� ����, ��� ��������� - �������. � ��� ����������� ������� ����� ������������ ������� Mod, ��������� ����������� �� ���� ������ ����������������. ���� �� ��� ���� ���������������, � ������� ��� ���� ���������� �������, �� ������� �� http://www.informika.ru/text/inftech/edu/edujava/mathematics/Pascal/Pascal.html � ������� ��� �����, �������� ����������� ������� ������� � ������ ��������.
��� �� ���� ������ �� �������� ��� �� ����� Java, ������ ����������� � �������� �� ������ ����������. ��������� ���������� ����� �� �������� � ����� "�������������" ����������� �������, � ������, �� ����� �� ��� ����, ��� "����������� �����������", ������ ����������� "����� �����������". �������� ��������� ��� ������, ������ �� "��������� ����" � ����������� ������������ � ���� ����� � ��������� ���� ����� ���������� ��������� ���������� � ������������. ������� ������� ��� ��������.
� ����� ���������� ���������� ������� �������� �����, ��� ��� � 1905 ���� �� ��������� �������������� ��������� � ������� ������������ ������: "������� ������� �� 9 ������ (��� ��� ���� ��������-������) � ����������� ������� �����. ����� ������ �� ���������� 8 ��������� ������� �� 9 ������, ����������� ������� ����� � ��������� ����������� �����������. ����� ������, � �������� ��������� ������� ���������� ������". ��� ��� - ���������� ������ � ���� ���� ����������� - ������� ��������� �������, ��� �� ��� ����� � �����. ���������� ����� �������� � ��������� ���� ����������� - ������������� � ������������ ����������� �������� ������ � ���������� ����������� ���������.
�� ������ ����� ��� �� �������� ���������� � ����� ����������� ��������������, ����� � ������� ����������� � ��� �����. ������� �� �� ����� ������, � �������� ��������� ���������� �������? � ��� ��������� ���������� ���� �������?
������ ��������� http://chaos.h1.ru/ChaosAndFractals/1/ ���������� ����� ������� ����������� ������� �������� ��� �� �������, � ������ ��� ��������� �� �������: ����� ���� ����� ��� ���� ������ ���� ���� (�� ����, ����� ���� ������ ��� ���� �������� ����� ������ �����), � ����� ���� � ������� ���� ������� (��� ����� ������� ����� � ��������). ���� ����� �������� ������� ����� ������ ������� �����������, � ��� ���������� ��� "����������" ������� �� ����� ����������� � ������������ �� �������� ������������� �����, � � ���, ��� ������� Mod �� ������� �����, ������������ ��� Double �������� ������. ��� ������ ���������� ��������� ���������� ������������ ����������� ��� ��������� ������ (��� �� � ���� � ���������) � ������������ ��� ���� ��� ������������� ��������� ���������, ��� �� � ���������� � ������ �� ���� ����� (�� ������), ������, �� ����������� ���� �������������.
�������� ����� - ������� ��������� �� ��������, � ������� �� ������� �� ������ �����, � ������ ��� ���������� ������������� ����� ������������. ������� ��������� �����, �������, ��� ��� ������� �����, ������� �� ������� �� ���������, �������, ���������� �������� ��������� � ���� ���������� ��������������� (���������� ������ 3, 5, 7, 11, 13, 17....), � ��� ������� �� ��������� ����� �������� �����������, ��������, �������, ��������� � �������������� � ����������� ������. ������, ��� ������ ��������� ����� ����������� ����� (��������, 12 ������� ��2, �� 3, 4 � 6), ��� ����� "��������" ���������� ����.
����������� �����������, ����������� "������������" ����� 7, �� ����, �����, �� ��������� �� 7 ��� �������, ���������� ������ ������, ��������� - �����, � ���������� ������� ��������������.
�������� ���������� � ����� �������������, ������ ����������� � ������������ ������� ����������� ������ ������� ��.������ "����������� � ����������" �� ������� � ���� �����. (Scientific American. ������� �� ������� �����). � 9 1988, ������������� �� http://grokhovs2.chat.ru/arith/arith.html, � �� ���� �������� ����� ������� - ��������� ���������� ����������� �������. ��� ����� �������� ��� ���������� (r,g,b), �������������, ��������������, �� �������, ������� � ����� ������������ ��������� ������ � �������� �� �������� (������������ ����� ���� ������ 255) � �������� ��������� �� ������ �����. � ����������� �������� ��������� ������� ���� �������, ��-��������, �� �������� �����, ������� - �� ��������� ��� �� 9, � ����� - �� ��������� �� 11. �������������� �������� ������������� �������� ����������� ��� �����������, �� ������ �� "�������" ��� ��������� ���� "����������� �����" � �� �������� �������.
� ��� ��������� ������ ���������. �� ������ �� �������? ����� ������� ����������� "���� �����������", �������, ������������ �� ������� ������ �� �������, ���� ������ ����, � � ������ ��������� �� ������� �� 11 ���� ��������� �������. ����� �� ��� ������� ���������� �������� ����� ����� ��� ����� ���� �� ����, �� �� ������������ �������, �������� ��������, ����� ������� ����� �����, ��������, � � ������ �������. � ��� ��� ���� ������� ���������, ����������� �� ���������
r = a(x, y) / 3 Mod 255 g = a(x, y) / 2 Mod 255 b = a(x, y) / 4 Mod 255
����������� ��������, ����������� ������� �� � ����������, � ��� �����, ����������� ���� �������. � ������ http://www.webbyawards.ru/pcworld/2001/07/130_print.htm ������������ ������������ ��� ���������� ������������ ������� ��������. ��� ����� ��������, � ��������� ��� ���������� ��� ����������������, ����� ���������� �� http://arbuz.ferghana.ru/z\_vetki.htm . �� ��������� http://hcinsu.chat.ru/algoritm/mathem/binom.html � http://dkws.narod.ru/math/tpas.html �� ������� ��������� ��� ����������� ������������ �������, � �� �������� http://galibin.chat.ru/Java/Pascal/index.html ��� � �����, �������� ��� �� ������, ������, �� ������ ��� � ��� �� ���������, �� ��� ��������� ����� ���������� ��� �� ����� ����.
� ������������ ������� ���� ��� ������� ������ �������� ������� �������������� ���������������� "������������ ������" �. ����������� �� http://www.kv.by/index2002151201.htm. �� �������� ������������ ������������ ������� � ��������� ��������, ��� � ��������. �� ���������, ����������� ������������, �������� ����� ������� ���� "������� � ����������". � �����, ����������� ��������� ��������� ����� (http://golovolomka.hobby.ru/books/gik/05.shtml) ����� �������� ������������ �������, ����� ������ ��������� �������� ������ ��������� �������� ������� ���������� ����������� �������. (�������� ���������� ���� ����, � ������� ������ ������������ ������� �������� ��������� � ���� ��������������� �������� �����.) � ����� � ����� ����� � ���, ��� ���������� ��������� ��������� ������ ��� ���������� ������� ���� ����������� �������������� ������������ �������! �������� ���������, ��� ����� � ��������� ���������. � ����������� ��� � ����� ���������.
� ����� ��������� ������, ��������� ������������ � ������������� ������� � � ���������. ���� ����� ����� ���� �����, ������� ���� ������-���� ����? ����������� ����, ������� ������ ��� �����, � ������� �������� 1, 3, 7, 15, 31,... �� ���� �������� ������� ���������, ����� ������� ������� ��������������: ����� ���� ����� ��� n ����� ����� 2n-1. � ������ ����� �������? �� ������������� ������� ����� ������ ��������� ������ ����� �������, ������� ��� ��������. ����� �� ������ ��������� �������� �������� �� ������ ������� ����� ���� ��������� �����, �� ������ - ���, �� ������ - ������, � ��� ��������� ���������, �� 64-�� ��������, �� ����� ���� �������� ������� ����������� �������� �������. ����� �� ��� �������-���������� ��������� �������� ����������, �� ���������, ��� ���� ������ ����� ���� �� �������� ��� ����� �� ������, ��� ������� ������, ��� ���� � ����� ������� �� ���� ������� ������������. (������, ����� ��������� ������ ���� �����, ��������� ������� ��������, ��������, 1 ��3, �������� �� 264, ���������� ������ 1 � ��������� �� ������� ������ �����������.) ��� ��� - �� ������ ������ ����� ������ (��) ���������� �����, ������ ����� ����� � ��������������� ������ ������������ �������, � ����� ���� �������� �� ������ n ������� ��������� (��) ����� ����� �� ���� n ������� ����� ���������� ������������. �� ���� ���������� �������� � �������� ��� ������������.