Площадь (геометрия) | это... Что такое Площадь (геометрия)? (original) (raw)

Площадь (геометрия)

Пло́щадь фигуры — числовая характеристика фигуры. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Содержание

1 Об определении
2 Связанные определения
3 Комментарии
4 Площади некоторых фигур
5 См. также
6 Ссылки

Об определении

Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.

Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости, такая что:

(положительность) площадь неотрицательна;
(нормировка) квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
(аддитивность) площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.

Определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть

Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:

Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура F называется квадрируемой, если для любого $\varepsilon>0$ существует пара многоугольников P и Q, такие что $P\subset F\subset Q$ и $S(Q)-S(P)<\varepsilon$ , где S(P) обозначает площадь P.

Связанные определения

Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.

На самом деле, есть довольно неестественный и неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. На множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, т. е. не равные функции, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур на которых функционал площади определяется однозначно.

То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для объёма в евклидовом пространстве и также нельзя для площади на единичной сфере в евклидовом пространстве, (смотри соответственно парадокс Банаха — Тарского и парадокс Хаусдорфа).

Площади некоторых фигур

Площадь прямоугольника со сторонами а и b равна произведению их сторон: S = ab.

Площадь произвольного четырехугольника равна половине произведения диагоналей и синуса угла между ними.

Площадь треугольника равна половине произведения основания, умноженного на высоту.

См. также

Мера Бореля
Мера Жордана
Мера Лебега
Ориентированная площадь
Площадь поверхности
Теорема Бойяи — Гервина о равносоставленности равновеликих многоугольников.

Ссылки

В.Болтянский, О понятиях площади и объёма. Квант, № 5, 1977
Б. П. Гейдман, Площади многоугольников, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 16, (2002).
В. А. Рохлин, Площадь и объём, Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия, под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина.

Wikimedia Foundation.2010.

Полезное

Смотреть что такое "Площадь (геометрия)" в других словарях:

ГЕОМЕТРИЯ — раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В… … Энциклопедия Кольера
Геометрия — (греч. geometria, от ge Земля и metreo мерю) раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношений и формы, сходные с пространственными по своей структуре. Происхождение термина «Г. , что… … Большая советская энциклопедия
Геометрия Лобачевского — (1) евклидова геометрия; (2) геометрия Римана; (3) геометрия Лобачевского Геометрия Лобачевского (гип … Википедия
Площадь — У этого термина существуют и другие значения, см. Площадь (значения). Площадь Размерность L² Единицы измерения СИ м² … Википедия
ПЛОЩАДЬ — численная характеристика, приписываемая плоским фигурам определенного класса (напр., многоугольникам) и обладающая следующими свойствами: 1) П. неотрицательна; 2) П. аддитивна (в случае многоугольников это означает, что если фигура составлена из… … Математическая энциклопедия
Площадь фигуры — У этого термина существуют и другие значения, см. Площадь (значения). Площадь плоской фигуры аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное… … Википедия
Площадь (в геометрии) — Площадь фигуры числовая характеристика фигуры. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов. Содержание 1 Об определении 2 Связанные определения 3 Комментарии … Википедия
Площадь многоугольника — Площадь фигуры числовая характеристика фигуры. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов. Содержание 1 Об определении 2 Связанные определения 3 Комментарии … Википедия
Площадь поверхности — У этого термина существуют и другие значения, см. Площадь (значения). Площадь поверхности гиперсферы размерности x единичного радиуса в зависимости от x. Площадь поверхности аддитивная числовая характеристика поверхности … Википедия
Площадь Сан-Сеполькро — Координаты: 45°27′46.79″ с. ш. 9°11′06.35″ в. д. / 45.462997° с. ш. 9.185097° в. д. … Википедия

Площадь (геометрия) | это... Что такое Площадь (геометрия)? (original) (raw)