Собственные векторы, значения и пространства | это... Что такое Собственные векторы, значения и пространства? (original) (raw)

Синим цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от красного, при деформации(преобразовании) не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению \lambda=1. Любой вектор, параллельный синему вектору, также будет собственным, соответствующим тому же собственному значению. Множество всех таких векторов (вместе с нулевым) образует собственное подпространство.

Содержание

Определения собственного числа, собственного и корневого векторов линейного оператора

Пусть L — линейное пространство над полем K , A\colon L \to L — линейное преобразование.

Собственным вектором линейного преобразования A называется такой ненулевой вектор x \in L , что для некоторого \lambda \in K

\ A x = \lambda x

Собственным значением линейного преобразования A называется такое число \lambda \in K , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение A x = \lambda x имеет ненулевое решение x \in L .

Упрощённо говоря, собственный вектор — любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный \lambda x, а соответствующий скаляр \lambda называется собственным значением оператора.

Собственным подпространством линейного преобразования A для данного собственного числа \lambda \in K (или отвечающим этому числу) называется множество всех собственных векторов x \in L , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его E_{\lambda} . По определению,

E_{\lambda}=\ker(A-\lambda \cdot E)

где E — единичный оператор.

Корневым вектором линейного преобразования A для данного собственного значения \lambda \in K называется такой ненулевой вектор x \in L , что для некоторого натурального числа m

(A-\lambda \cdot E)^m x =0

Если m является наименьшим из таких натуральных чисел (то есть (A-\lambda \cdot E)^{m-1} x \neq 0 ), то m называется высотой корневого вектора x .

Корневым подпространством линейного преобразования A для данного собственного числа \lambda \in K называется множество всех корневых векторов x \in L , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его V_{\lambda} . По определению,

V_{\lambda}=\bigcup_{m=1}^{\infty}\ker(A-\lambda \cdot E)^m = \bigcup_{m=1}^{\infty}V_{m,\lambda},

где V_{m,\lambda}= \ker(A-\lambda \cdot E)^m

Свойства собственных значений, собственных и корневых векторов и пространств

Общий случай

Подпространство V \subset L называется инвариантным подпространством линейного преобразования A ( A-инвариантным подпространством), если

AV \subseteq V.

A= \begin{pmatrix} 1& 1\\ 0&1\end{pmatrix}

(A-E)^2=0 , и все векторы являются корневыми, соответствующими собственному числу 1, но A имеет единственный собственный вектор (с точностью до умножения на число).

V_{\lambda} \bigcap V_{\mu}=\{0\} если \lambda \neq \mu .

Конечномерные линейные пространства

Выбрав базис в n-мерном линейном пространстве L , можно сопоставить линейному преобразованию A\colon L \to L квадратную n\times n матрицу и определить для неё характеристический многочлен матрицы

P_A(\lambda)=\det (A-\lambda \cdot E) = \sum\limits_{k=0}^{n}a_k \lambda^k.

Пусть числовое поле алгебраически замкнуто (например, является полем комплексных чисел). Тогда характеристический многочлен разлагается в произведение n линейных множителей

P_A(\lambda)=(-1)^n \prod_{i=1}^n (\lambda - \lambda_i)

где \lambda_i \; (i=1,\ldots,n ) — собственные значения; некоторые из \lambda_i могут быть равны. Кратность собственного значения \lambda_i — это число множителей равных \lambda - \lambda_i в разложении характеристического многочлена на линейные множители (называется также алгебраическая кратность собственного значения).

L=\bigoplus_{\lambda_i}V_{\lambda_i}

где суммирование производится по всем \lambda_i — собственным числам A.

Гильбертовы пространства над полем комплексных чисел и нормальные операторы

Наличие скалярного произведения позволяет выделить важные классы операторов, собственные значения и собственные векторы которых обладают рядом дополнительных полезных свойств.

Нормальным оператором называется оператор A, коммутирующий со своим сопряжённым A^*:

A A^*=A^* A.

Частными классами нормальных операторов являются самосопряжённые (эрмитовы) операторы ( A =A^*), антиэрмитовы операторы ( A =-A^*) и унитарные операторы (A^{-1} =A^*), а также их вещественные варианты: симметричные операторы, антисимметричные операторы и ортогональные преобразования.

L=\bigoplus_{\lambda_i}E_{\lambda_i},

где суммирование производится по всем \lambda_i — собственным числам A, а E_{\lambda_i} взаимно ортогональны для различных \lambda_i.

Положительные матрицы

Квадратная вещественная n \times n матрица A=(a_{ij}) называется положительной, если все её элементы положительны: a_{ij} > 0.

Теорема Перрона (частный случай теоремы Перрона-Фробениуса): Положительная квадратная матрица A имеет положительное собственное значение r, которое имеет алгебраическую кратность 1 и строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Собственному значению r соответствует собственный вектор e_r, все координаты которого строго положительны. Вектор e_r — единственный собственный вектор A (с точностью до умножения на число), имеющий неотрицательные координаты.

Собственный вектор e_r может быть вычислен посредством прямых итераций: выберем произвольный начальный вектор v_0 с положительными координатами. Положим:

v_{k+1} = \frac{A v_{k}}{\|A v_{k}\|}

Последовательность v_{k} сходится к нормированному собственному вектору e_r / \|e_r\|.

Другая область применения метода прямых итераций — поиск собственных векторов положительно определённых симметричных операторов.

Литература