Аффинное преобразование | это... Что такое Аффинное преобразование? (original) (raw)

красный тругольник переходит в синий при афинном преобразовании $(x,y)\mapsto (y-100,2\cdot x+y-100)$

Аффи́нное преобразование — отображение $f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n}$ , которое можно записать в виде

$f(x) = M \cdot x + v,$

где — обратимая матрица и $v\in \mathbb{R}^{n}$ .

Иначе говоря, преобразование называется аффинным, если его можно получить следующим образом:

Выбрать «новый» базис пространства с «новым» началом координат ;
Каждой точке пространства поставить в соответствие точку , имеющую те же координаты относительно «новой» системы координат, что и в «старой».

Свойства

При аффинном преобразовании прямая переходит в прямую.
- Если размерность пространства ${n}\ge 2$ [источник не указан 103 дня], то любое преобразование пространства (то есть биекция пространства на себя), которое переводит прямые в прямые, является аффинным. Это определение используется в аксиоматическом построении аффинной геометрии
Аффинные преобразования образуют группу относительно композиции.
Любые три точки, не лежащие на одной прямой и их образы соответственно (не лежащие на одной прямой) однозначно задают аффинное преобразование плоскости.

Примеры

Частным случаем аффинных преобразований являются движения и преобразования подобия.

Типы аффинных преобразований

Эквиаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее площадь (также, сохраняется аффинная длина).
Центроаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее начало координат.

Матричное представление

Как и другие проективные преобразования, аффинное преобразование $f(x) = M \cdot x + v$ можно записать как матрицу перехода в однородных координатах:

$\begin{pmatrix} f(x) \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} M & v \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix}$

Матричное представление используется, в частности, для записи аффинных преобразований в компьютерной графике. Указанная выше форма используется в OpenGL [1]; в DirectX (где координаты представляются в виде матриц 1×4) она транспонирована [2].

Вариации и обобщения

См. также

Способ «резинового листа»

Примечания

↑ OpenGL Transformation (англ.). Архивировано из первоисточника 23 августа 2011. Проверено 4 августа 2010.
↑ Transforms (Direct3D 9) (англ.). Архивировано из первоисточника 23 августа 2011. Проверено 4 августа 2010.

Ссылки

Аффинное преобразование плоскости и его матричное представление