Бикубическая интерполяция | это... Что такое Бикубическая интерполяция? (original) (raw)

Результат бикубической интерполяции функции заданной на сетке $[0,3] \times [0,3]$ . Данную сетку можно рассматривать как состоящую из 9 единичных квадратов. Черными точками обозначены известные значения функции до интерполяции. Цветом обозначены интерполированные значения в каждой точке полученного изображения.

Бикубическая интерполяция — в вычислительной математике расширение кубической интерполяции на случай функции двух переменных, значения которой заданы на двумерной регулярной сетке. Поверхность, полученная в результате бикубической интерполяции является гладкой функцией, в отличие от поверхностей, полученных в результате билинейной интерполяции или интерполяции методом ближайшего соседа. Также бикубическая интерполяция часто используется в обработке изображений, давая более качественное изображение по сравнению с билинейной интерполяцией. В случае бикубической интерполяции значение функции в искомой точке вычисляется через ее значения в 16-ти соседних точках. При использовании приведённых ниже формул для программной реализации бикубической интерполяции следует помнить, что значения и являются относительными, а не абсолютными. Например, для пикселя с координатами (100.3, 100.8) x = 0.3, y = 0.8 . Для получения относительных значений координат необходимо округлить вещественные координаты вниз, и вычесть полученные числа из вещественных координат.

$f(y, x) = b_{1} f(0, 0) + b_{2} f(0, 1) + b_{3} f(1, 0) + b_{4} f(1, 1) + b_{5} f(0, -1) + b_{6} f(-1, 0) + b_{7} f(1, -1) + b_{8} f(-1, 1) +$

$b_{9} f(0, 2) + b_{10} f(2, 0) + b_{11} f(-1,-1) + b_{12} f(1, 2) + b_{13} f(2, 1) + b_{14} f(-1, 2) + b_{15} f(2,-1) + b_{16} f(2, 2)$ , где

$b_{1} = \frac{1}{4}(x - 1)(x - 2)(x + 1)(y - 1)(y - 2)(y + 1)$ ,

$b_{2} = - \frac{1}{4}x(x + 1)(x - 2)(y - 1)(y - 2)(y + 1)$ ,

$b_{3} = - \frac{1}{4}y(x - 1)(x - 2)(x + 1)(y + 1)(y - 2)$ ,

$b_{4} = \frac{1}{4}xy(x + 1)(x - 2)(y + 1)(y - 2)$ ,

$b_{5} = - \frac{1}{12}x(x - 1)(x - 2)(y - 1)(y - 2)(y + 1)$ ,

$b_{6} = - \frac{1}{12}y(x - 1)(x - 2)(x + 1)(y - 1)(y - 2)$ ,

$b_{7} = \frac{1}{12}xy(x - 1)(x - 2)(y + 1)(y - 2)$ ,

$b_{8} = \frac{1}{12}xy(x + 1)(x - 2)(y - 1)(y - 2)$ ,

$b_{9} = \frac{1}{12}x(x - 1)(x + 1)(y - 1)(y - 2)(y + 1)$ ,

$b_{10} = \frac{1}{12}y(x - 1)(x - 2)(x + 1)(y - 1)(y + 1)$ ,

$b_{11} = \frac{1}{36}xy(x - 1)(x - 2)(y - 1)(y - 2)$ ,

$b_{12} = - \frac{1}{12}xy(x - 1)(x + 1)(y + 1)(y - 2)$ ,

$b_{13} = - \frac{1}{12}xy(x + 1)(x - 2)(y - 1)(y + 1)$ ,

$b_{14} = - \frac{1}{36}xy(x - 1)(x + 1)(y - 1)(y - 2)$ ,

$b_{15} = - \frac{1}{36}xy(x - 1)(x - 2)(y - 1)(y + 1)$ ,

$b_{16} = \frac{1}{36}xy(x - 1)(x + 1)(y - 1)(y + 1)$ ,

Подобным образом можно использовать и другие виды интерполяции, вычисляя значения функции по соседним 4k^2 точкам, но качество этих формул хуже чем бикубической интерполяции.

Бикубическая интерполяция сплайнами

Допустим, что необходимо интерполировать значение функции f(x,y) в точке P(x,y) , лежащей внутри квадрата $[0,1]\times[0,1]$ , и известно значение функции в шестнадцати соседних точках $(i,j), i=-1\ldots2, j=-1\ldots2$ . Тогда общий вид функции, задающей интерполированную поверхность, может быть записан следующим образом: $p(x,y) = \sum_{i=0}^3 \sum_{j=0}^3 a_{i j} x^i y^j.$

Для нахождения коэффициентов $a_{i j}$ необходимо подставить в вышеприведенное уравнение значения функции в известных шестнадцати точках. Например:

$\begin{align} f(-1, 0) &= a_{0 0} &- &a_{1 0} &+ &a_{2 0} &- &a_{3 0} \\ f(0, 0) &= a_{0 0} \\ f(1, 0) &= a_{0 0} &+ &a_{1 0} &+ &a_{2 0} &+ &a_{3 0} \\ f(2, 0) &= a_{0 0} &+ &2 a_{1 0} &+ &4 a_{2 0} &+ &8 a_{3 0} \\ \end{align}$ .

Полностью в матричном виде:

$M \alpha^T = \gamma^T$ ,

где

$\alpha=\left[\begin{smallmatrix} a_{0 0} & a_{0 1} & a_{0 2} & a_{0 3} & a_{1 0} & a_{1 1} & a_{1 2} & a_{1 3} & a_{2 0} & a_{2 1} & a_{2 2} & a_{2 3} & a_{3 0} & a_{3 1} & a_{3 2} & a_{3 3} \end{smallmatrix}\right]$ ,

$\gamma=\left[\begin{smallmatrix} f(-1, -1) & f(0, -1) & f(1, -1) & f(2, -1) & f(-1, 0) & f(0, 0) & f(1, 0) & f(2, 0) & f(-1, 1) & f(0, 1) & f(1, 1) & f(2, 1) & f(-1, 2) & f(0, 2) & f(1, 2) & f(2, 2) \end{smallmatrix}\right]$ ,

$M=\left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 2 & -2 & 2 & -2 & 4 & -4 & 4 & -4 & 8 & -8 & 8 & -8 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 8 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 4 & 4 & 4 & 4 & 8 & 8 & 8 & 8 \\ 1 & 2 & 4 & 8 & -1 & -2 & -4 & -8 & 1 & 2 & 4 & 8 & -1 & -2 & -4 & -8 \\ 1 & 2 & 4 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 8 & 1 & 2 & 4 & 8 & 1 & 2 & 4 & 8 & 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 2 & 4 & 8 & 2 & 4 & 8 & 16 & 4 & 8 & 16 & 32 & 8 & 16 & 32 & 64 \end{smallmatrix}\right]$ .

Решая получившуюся систему линейных алгебраических уравнений, можно найти значения $a_{i j}$ в явном виде:

$\alpha^T = \frac{1}{36}\left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 36 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -12 & 0 & 0 & 0 & -18 & 0 & 0 & 0 & 36 & 0 & 0 & 0 & -6 & 0 & 0 \\ 0 & 18 & 0 & 0 & 0 & -36 & 0 & 0 & 0 & 18 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & 0 & 0 & 0 & 18 & 0 & 0 & 0 & -18 & 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -12 & -18 & 36 & -6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 6 & -12 & 2 & 6 & 9 & -18 & 3 & -12 & -18 & 36 & -6 & 2 & 3 & -6 & 1 \\ -6 & -9 & 18 & -3 & 12 & 18 & -36 & 6 & -6 & -9 & 18 & -3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -6 & 1 & -6 & -9 & 18 & -3 & 6 & 9 & -18 & 3 & -2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 18 & -36 & 18 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -6 & 12 & -6 & 0 & -9 & 18 & -9 & 0 & 18 & -36 & 18 & 0 & -3 & 6 & -3 & 0 \\ 9 & -18 & 9 & 0 & -18 & 36 & -18 & 0 & 9 & -18 & 9 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -3 & 6 & -3 & 0 & 9 & -18 & 9 & 0 & -9 & 18 & -9 & 0 & 3 & -6 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -6 & 18 & -18 & 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & -6 & 6 & -2 & 3 & -9 & 9 & -3 & -6 & 18 & -18 & 6 & 1 & -3 & 3 & -1 \\ -3 & 9 & -9 & 3 & 6 & -18 & 18 & -6 & -3 & 9 & -9 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -3 & 3 & -1 & -3 & 9 & -9 & 3 & 3 & -9 & 9 & -3 & -1 & 3 & -3 & 1 \\ \end{smallmatrix}\right]\gamma^T$ .

Единожды найденные коэффициенты $a_{i j}$ теперь могут быть использованы для многократного вычисления интерполированного значения функции в произвольных точках квадрата $[0,1]\times[0,1]$ .

Последовательная кубическая интерполяция

Другая интерпретация метода заключается в том, что для нахождения интерполированного значения можно сначала произвести кубическую интерполяцию в одном направлении, а затем в другом.

Для функции f(x) с известными значениями f(-1) , f(0) , f(1) , f(2) можно построить кубический сплайн: $p(x) = \textstyle \sum_{i=0}^3 b_i x^i$ , или в матричном виде

$p(x) = \left[\begin{smallmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 \end{smallmatrix} \right] \left[\begin{smallmatrix} b_0 \\ b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{smallmatrix}\right]$ ,

где

$\left[\begin{smallmatrix} b_0 \\ b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{smallmatrix}\right] = A \left[\begin{smallmatrix} f(-1) \\ f(0) \\ f(1) \\ f(2) \end{smallmatrix}\right]$ ,

$A = \frac{1}{6} \left[\begin{smallmatrix} 0 & 6 & 0 & 0\\ -2 & -3 & 6 & -1\\ 3 & -6 & 3 & 0\\ -1 & 3 & -3 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

Таким образом, для нахождения интерполированного значения p(x,y) в квадрате $[0,1]\times[0,1]$ можно сначала рассчитать четыре значения p(x,-1) , p(x,0) , p(x,1) , p(x,2) для зафиксированного , затем через полученные четыре точки построить кубический сплайн, и этим завершить вычисление p(x,y) :

![p(x, y) = \left[\begin{smallmatrix} 1 & y & y^2 & y^3 \end{smallmatrix}\right] A \left( \left[\begin{smallmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 \end{smallmatrix}\right] A \left[\begin{smallmatrix} & f(-1, -1) & f(0, -1) & f(1, -1) & f(2, -1) \ & f(-1, 0) & f(0, 0) & f(1, 0) & f(2, 0) \ & f(-1, 1) & f(0, 1) & f(1, 1) & f(2, 1) \ & f(-1, 2) & f(0, 2) & f(1, 2) & f(2, 2) \ \end{smallmatrix}\right] \right)^T

=](http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/83fdaa459b58bbd27adab3ee6cf3bd6a.png)

![=

\left[\begin{smallmatrix} 1 & y & y^2 & y^3 \end{smallmatrix}\right] A \left[\begin{smallmatrix} f(-1, -1) & f(-1, 0) & f(-1, 1) & f(-1, 2) \ f(0, -1) & f(0, 0) & f(0, 1) & f(0, 2) \ f(1, -1) & f(1, 0) & f(1, 1) & f(1, 2) \ f(2, -1) & f(2, 0) & f(2, 1) & f(2, 2) \end{smallmatrix}\right] A^T \left[\begin{smallmatrix}
1 \ x \ x^2 \ x^3 \end{smallmatrix}\right] ](http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/4e771c066bad65ab0cea2e575f7d836e.png)

Бикубическая интерполяция | это... Что такое Бикубическая интерполяция? (original) (raw)

Бикубическая интерполяция сплайнами

Последовательная кубическая интерполяция

См. также