Функционал | это... Что такое Функционал? (original) (raw)

Функциона́л — это отображение, заданное на произвольном множестве и имеющее числовую область значений: обычно множество вещественных чисел \R или комплексных чисел \mathbb{C}[1].

Содержание

Определения

Область определения функционала может быть любым множеством. Если область определения является топологическим пространством, можно определить непрерывный функционал; если область определения является линейным пространством над \R или над \mathbb{C}, можно определить линейный функционал; если область определения является упорядоченным множеством, можно определить монотонныйи функционал.

В более широком смысле функционалом называется любое отображение из произвольного множества в произвольное (не обязательно числовое) Кольцо|кольцо.

Функционал, заданный на линейном пространстве, и сохраняющий сложение и умножение на константу, называется линейным функционалом. (Отображение линейного пространства в линейное пространство называют оператором).

Довольно часто в роли линейного пространства выступает то или иное пространство функций (непрерывные функции на отрезке, интегрируемые функции на плоскости и т. д.). Поэтому, в прикладных областях, под функционалом понимают функцию от функций, отображение, переводящее функцию в число (действительное или комплексное).

Пожалуй, самый простой функционал — проекция (сопоставление вектору одной из его координат).

Отображение, переводящее вектор в его норму, является выпуклым положительно определённым функционалом, это один из самых распространённых функционалов. В физике часто используется действие — тоже функционал.

Задачи оптимизации формулируются на языке функционалов: найти решение (уравнения, системы уравнений, системы ограничений, системы неравенств, системы включений и т. п.), доставляющее экстремум (минимум или максимум) заданному функционалу. Функционалы также рассматриваются в вариационном анализе.

Функционал называется непрерывным на линии (в точке) x0, если для любого ε>0 существует δ(ε) такое, что для любых дельта-близких ||x-x0||<ε ||y(x)-y(x0)||<δ.

Функционал в линейном пространстве

Позднее от понятия традиционного функционала отделилось понятие функционала в линейном пространстве, как функции, отображающей элементы линейного пространства в его пространство скаляров. Зачастую (например, когда пространство функций является линейным пространством) эти две разновидности понятия «функционал» совпадают, в то же время они не тождественны и не поглощают друг друга.

Особенно важной разновидностью функционалов являются линейные функционалы.

Виды функционалов

Выделяют следующие специальные виды функционалов:

I[x] =\int\limits_{t_0}^{t_1}\!L(t,x,x')\,dt

F[x] =\psi(x(t_0),x(t_1))

B[x] = I[x] + F[x]

Примеры

См. также

Примечания

  1. ↑ Математическая Энциклопедия, 1984, с. 692

Литература

Ссылки