Александр Медведь три раза становился олимпийским чемпионом по вольной борьбе (1964, 1968, 1972), причём в трёх разных весовых категориях (полутяжелой, тяжелой и абсолютной), 7 раз (1962—1963, 1966—1967, 1969—1971) становился чемпионом мира, 4 раза (1966, 1968, 1971 и 1972) — чемпионом Европы. В 1961—1970 гг 9 раз становился чемпионом СССР.
В 1962 году после своего первого чемпионства стал заслуженным мастером спорта, в 1964 году после победы на Олимпиаде награждён Орденом Ленина, с 1965 года стал членом КПСС.
После окончания спортивной карьеры работал доцентом в Минском радиотехническом институте и тренером по борьбе. В 1970 году с Федерацией борьбы республики Беларусь совместно с Комитетом по физической культуре и спорту при Совете Министров БССР учредил международный турнир по вольной борьбе на призы А В Медведя. C 1994 года турниру присвоена престижная высшая категория международных турниров- Гран-при. В 1980 году на открытии Олимпийских игр в Москве был удостоен чести прочитать Олимпийскую клятву от имени судей.
После распада СССР стал вице-президентом НОК Белоруссии и тренером олимпийской сборной Белоруссии по вольной борьбе.
В 2005 году был признан лучшим борцом вольного стиля в истории спорта и введен в Зал спортивной славы борьбы.
Семья
По словам Медведя, его дедушка с бабушкой приехали на Украину из России. Бабушку звали Медведихой (прозвище получено ещё в России), ее рост был 192 см. Дед был ещё выше.[9]
Женат, двое детей — дочь и сын Алексей (борец, обладатель Кубка мира), три внука, две правнучки.