Метрическое пространство | это... Что такое Метрическое пространство? (original) (raw)

У этого термина существуют и другие значения, см. Пространство.

Метри́ческим простра́нством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.

Содержание

1 Определение
2 Обозначения
3 Примеры
4 Конструкции
5 Связанные определения
6 Свойства
7 Вариации и обобщения
8 История
9 Примечания
10 См. также
11 Литература

Определение

Метрическое пространство есть множество точек с фиксированной функцией расстояния (также называется метрикой) $d\colon M\times M\to\R$ , где $\R$ обозначает множество вещественных чисел. Для любых точек $x,\;y,\;z$ из эта функция должна удовлетворять следующим условиям:

$d(x,\;y)=0\Leftrightarrow x=y$ (аксиома тождества).
$d(x,\;y)=d(y,\;x)$ (аксиома симметрии).
$d(x,\;z)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;z)$ (аксиома треугольника или неравенство треугольника).

Эти аксиомы отражают интуитивное понятие расстояния. Например, расстояние должно быть неотрицательно, то есть $d(x,\;y)\geqslant 0$ (это вытекает из аксиомы треугольника при z=x ) и расстояние от до такое же, как и от до .

Неравенство треугольника означает, что пройти от до можно короче, или хотя бы не длиннее, чем сначала пройти от до , а потом от до .

Обозначения

Обычно расстояние между точками и в метрическом пространстве обозначается $d(x,\;y)$ или $\rho(x,\;y)$ .

Примеры

Сходимость отображений по этой метрике равнозначна их равномерной сходимости на всём пространстве .

В частном случае, когда — компактное пространство, — числовая прямая, получается пространство C(X) всех непрерывных функций на пространстве X с метрикой равномерной сходимости.

Для того, чтобы эта функция стала метрикой, в первых двух пространствах необходимо отождествить функции, отличающиеся на множестве меры 0. В противном случае эта функция будет всего лишь полуметрикой. (В пространстве функций, непрерывных на отрезке, функции, отличающиеся на множестве меры 0, и так совпадают.)

где d_0 — метрика равномерной сходимости на $C[a,\;b]$ (см. выше).

Любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния
.
- Конечномерные пространства такого типа называются пространством Минковского;
- в случае если размерность равна двум то плоскостью Минковского.

$D(x,\;y)=\inf\{r\mid\forall x\in X\;\exist y\in Y\colon d(x,\;y)<r,\;\forall y\in Y\;\exists x\in X\colon d(x,\;y)<r\}.$

Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорфа.

Конструкции

Эти метрики эквивалентны друг другу.

Связанные определения

$B(x;\;r)=\{y\in M\mid d(x,\;y)<r\},$

где есть точка в и — положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество является открытым, если для любой точки $x\in O$ найдётся положительное число , такое, что множество точек на расстоянии меньше от принадлежит .

$d(x,\;S)=\inf\{d(x,\;s)\mid s\in S\}.$

Тогда $d(x,\;S)=0$ , только если принадлежит замыканию .

Свойства

Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (секвенциальная компактность).
Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.
- Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.
- Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).

Вариации и обобщения

То есть, в отличие от метрики, различные точки в могут находиться на нулевом расстоянии. Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве $M/\!\sim$ , где $x\sim y\Leftrightarrow d(x,\;y)=0$ .

Также, для любой точки такого пространства, множество точек находящихся от неё на конечном расстоянии образует обычное метрическое пространство. В частности любое пространство с $\infty$ -метрикой можно рассматривать как набор обычных метрических пространств с и определить расстояние между любой парой точек в разных пространствах равным $\infty$ .

История

Морис Фреше впервые ввёл понятие метрического пространства[1] в связи с рассмотрением функциональных пространств.

Примечания

↑ Fréchet M. Sur quelques points du calcul fonctionnel. — Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. — 1906. — 22. — pp. 1—74.

См. также

Индуцированная метрика

Литература

Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии
Васильев Н. Метрические пространства. — Квант. — 1990. — № 1.
Васильев Н. Метрические пространства. — Квант. — 1970. — № 10.
Скворцов В. А. Примеры метрических пространств // Библиотека «Математическое просвещение». — 2001. — Выпуск 9.
Шрейдер Ю. А. Что такое расстояние? // «Популярные лекции по математике». — М.: Физматгиз, 1963 г. — Выпуск 38. — 76 с.