Интеграл Лебега | это... Что такое Интеграл Лебега? (original) (raw)

Сверху интегрирование по Риману, снизу по Лебегу

Интеграл Лебе́га — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций. Все функции, определённые на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако, существует большой класс функций, определённых на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных множествах.

Идея построения интеграла Лебега состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.

Содержание

1 Определение
2 Пример
3 Замечания
4 Свойства
- 4.1 Сходимость интегралов Лебега от последовательностей функций
5 Литература

Определение

Интеграл Лебега определяют индуктивно, переходя от более простых функций к сложным. Будем считать, что дано пространство с мерой $(X,\mathcal{F},\mu)$ , и на нем определена измеримая функция $f:(X,\mathcal{F}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ .

Определение 1. Пусть $\,f$ — индикатор некоторого измеримого множества, то есть $f(x) = \mathbf{1}_A(x)$ , где $A \in \mathcal{F}$ . Тогда интеграл Лебега функции $\,f$ по определению:

$\int\limits_X f(x)\, \mu(dx) \equiv \int\limits_X f\, d\mu = \mu( A ).$

Определение 2. Пусть $\,f$ — простая функция, то есть $f(x) = \sum\limits_{i=1}^n f_i\, \mathbf{1}_{F_i}(x)$ , где $\{f_i\}_{i=1}^n \subset \mathbb{R}$ , а $\{F_i\}_{i=1}^n \subset \mathcal{F}$ — конечное разбиение $\,X$ на измеримые множества. Тогда

$\int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \sum\limits_{i=1}^n f_i\, \mu(F_i)$ .

Определение 3. Пусть теперь $\,f$ — неотрицательная функция, то есть $f(x) \geqslant 0\; \forall x\in X$ . Рассмотрим все простые функции $\,\{f_s\}$ , такие что $f_s(x) \leqslant f(x)\; \forall x\in X$ . Обозначим это семейство $\mathcal{P}_f$ . Для каждой функции из этого семейства уже определён интеграл Лебега. Тогда интеграл от задаётся формулой:

$\int\limits_X f(x)\,\mu(dx) = \sup\left\{\int\limits_X f_s(x)\,\mu(dx)\; \vert\; f_s \in \mathcal{P}_f \right\}$

Наконец, если функция произвольного знака, то её можно представить в виде разности двух неотрицательных функций. Действительно, легко видеть, что:

$\,f(x) = f^+(x) - f^-(x),$

где

$f^+(x) = \max(f(x),0),\; f^-(x) = - \min( 0, f(x))$ .

Определение 4. Пусть $\,f$ — произвольная измеримая функция. Тогда ее интеграл задаётся формулой:

$\int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X f^+(x)\, \mu(dx) - \int\limits_X f^-(x)\, \mu(dx)$ .

Определение 5. Пусть наконец $A \in \mathcal{F}$ произвольное измеримое множество. Тогда по определению

$\int\limits_A f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X f(x)\, \mathbf{1}_A(x)\, \mu(dx)$ ,

где $\mathbf{1}_A(x)$ — индикатор-функция множества .

Пример

Рассмотрим функцию Дирихле $f(x) \equiv \mathbf{1}_{\mathbb{Q}_{[0,1]}}(x)$ , заданную на $([0,1],\mathcal{B}([0,1]),m)$ , где $\mathcal{B}([0,1])$ — борелевская σ-алгебра на $\,[0,1]$ , а $\,m$ — мера Лебега. Эта функция принимает значение $\,1$ в рациональных точках и $\,0$ в иррациональных. Легко увидеть, что $\,f$ не интегрируема в смысле Римана. Однако, она является простой функцией на пространстве с конечной мерой, ибо принимает только два значения, а потому её интеграл Лебега определён и равняется:

$\int\limits_{[0,1]}f(x)\, m(dx) = 1 \cdot m(\mathbb{Q}_{[0,1]}) + 0 \cdot m( [0,1] \setminus \mathbb{Q}_{[0,1]} ) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0.$

Действительно, мера отрезка [0,1] равна 1, и так как множество рациональных чисел счётно, то его мера равна 0, а значит мера иррациональных чисел равна 1-0=1 .

Замечания

Свойства

Интеграл Лебега линеен, то есть
$\int\limits_X[af(x)+bg(x)]\, \mu(dx) = a \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) + b\int\limits_X g(x)\, \mu(dx)$ ,

где $a,b\in \mathbb{R}$ — произвольные константы;

Сходимость интегралов Лебега от последовательностей функций

Литература

Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.