Касательная | это... Что такое Касательная? (original) (raw)

Касательная

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Содержание

1 Определение
2 Замечание
3 Касательная как предельное положение секущей
4 Касательная к окружности
- 4.1 Свойства
5 Вариации и обобщения
- 5.1 Односторонние полукасательные
6 См. также

Определение

Замечание

Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку (_x_0,f(_x_0)). Угол α между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению

$\operatorname{tg}\,\alpha = f'(x_0)= k,$

где $\operatorname{tg}$ обозначает тангенс, а $\operatorname {k}$ — коэффициент наклона касательной. Производная в точке _x_0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Касательная как предельное положение секущей

Пусть $f\colon U(x_0) \to \R$ и $x_1 \in U(x_0).$ Тогда прямая линия, проходящая через точки (_x_0,f(_x_0)) и (_x_1,f(_x_1)) задаётся уравнением

$y = f(x_0) + \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}(x-x_0).$

Эта прямая проходит через точку (_x_0,f(_x_0)) для любого $x_1\in U(x_0),$ и её угол наклона α(_x_1) удовлетворяет уравнению

$\operatorname{tg}\,\alpha(x_1) = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}.$

В силу существования производной функции f в точке _x_0, переходя к пределу при $x_1 \to x_0,$ получаем, что существует предел

$\lim\limits_{x_1 \to x_0} \operatorname{tg}\,\alpha(x_1) = f'(x_0),$

а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол

$\alpha = \operatorname{arctg}\,f'(x_0).$

Прямая, проходящая через точку (_x_0,f(_x_0)) и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий $\operatorname{tg}\,\alpha = f'(x_0),$ задаётся уравнением касательной:

y = f(_x_0) + f'(_x_0)(x − _x_0).

Касательная к окружности

Отрезки касательных

Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.

Свойства

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с радиусом, является тангенсом угла между этим радиусом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от лат. tangens — «касательная».

Вариации и обобщения

Односторонние полукасательные

Если существует правая производная $f'_+(x_0) < \infty,$ то пра́вой полукаса́тельной к графику функции f в точке _x_0 называется луч

$y = f(x_0) + f'_+(x_0)(x - x_0),\quad x \geqslant x_0.$

Если существует левая производная $f'_-(x_0) < \infty,$ то ле́вой полукаса́тельной к графику функции f в точке _x_0 называется луч

$y = f(x_0) + f'_-(x_0)(x - x_0),\quad x \leqslant x_0.$

Если существует бесконечная правая производная $f'_+(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ то правой полукасательной к графику функции f в точке _x_0 называется луч

$x = x_0, \; y \geqslant f(x_0)\; (y \leqslant f(x_0)).$

Если существует бесконечная левая производная $f'_-(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ то правой полукасательной к графику функции f в точке _x_0 называется луч

$x = x_0, \; y \leqslant f(x_0)\; (y \geqslant f(x_0)).$

См. также

Wikimedia Foundation.2010.

Полезное

Смотреть что такое "Касательная" в других словарях:

Касательная — Касательная. КАСАТЕЛЬНАЯ прямая к кривой l в точке M, предельное положение MT, к которому стремится секущая MM' при приближении точки M' к точке M. … Иллюстрированный энциклопедический словарь
КАСАТЕЛЬНАЯ — прямая к кривой L в точке M предельное положение (на рисунке MT), к которому стремится секущая ММ? при приближении точки М? к точке М … Большой Энциклопедический словарь
КАСАТЕЛЬНАЯ — КАСАТЕЛЬНАЯ, касательной, жен. (мат.). Прямая линия, имеющая одну общую точку с кривой. Провести касательную к кругу. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
касательная — КАСАТЕЛЬНЫЙ, ая, ое. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
Касательная — прямая, с которою стремится совпасть секущая,проведенная через две точки на произвольной кривой, по мере сближенияэтих точек. Математическая теория К. имеет весьма важное значение.Точка, через которую к кривой линии проведена К., называется… … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона
касательная — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN tangent … Справочник технического переводчика
Касательная — к кривой линии, предельное положение секущей. К. определяется так. Пусть М точка кривой L (рис. 1). Выберем на L вторую точку M и проведём прямую MM . Будем считать М неподвижной, а точку M приближать к М по кривой L. Если при… … Большая советская энциклопедия
касательная — ой; ж. Матем. Прямая, имеющая общую точку с кривой, но не пересекающая её. Провести касательную к окружности. * * * касательная прямая к кривой L в точке М, предельное положение (на рисунке МТ), к которому стремится секущая ММ при приближении… … Энциклопедический словарь
КАСАТЕЛЬНАЯ — прямая к кривой в точке М предельное положение (на рис. МТ), к к рому стремится секушая ММ при приближении точки М к точке М. К ст. Касательная … Большой энциклопедический политехнический словарь
КАСАТЕЛЬНАЯ — прямая к кривой L в точке М; предельное положение (на рис. МТ), к к рому стремится секущая ММ при приближении точки М к точке М … Естествознание. Энциклопедический словарь