Unió (original) (raw)

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

Unió de dos conjunts A i B

La unió és una operació entre conjunts. Aquesta operació crea el conjunt, anomenat conjunt unió o conjunt reunió, format pels elements que pertanyen almenys a un dels conjunts que s'uneixen. S'expressa amb el símbol ∪ {\displaystyle \cup } {\displaystyle \cup }.[1][2][3]

Per exemple:

Donat A = { a , e , i , s } {\displaystyle A=\{a,e,i,s\}} {\displaystyle A=\{a,e,i,s\}} i B = { a , e , f , h } {\displaystyle B=\{a,e,f,h\}} {\displaystyle B=\{a,e,f,h\}}, si definim C = A ∪ B {\displaystyle C=A\cup B} {\displaystyle C=A\cup B}, llavors C = { a , e , i , s , f , h } {\displaystyle C=\{a,e,i,s,f,h\}} {\displaystyle C=\{a,e,i,s,f,h\}}. C = A ∪ B {\displaystyle C=A\cup B} {\displaystyle C=A\cup B} es llegeix: el conjunt C és igual a la unió dels conjunts A i B. També es pot llegir: C és el conjunt unió dels conjunts A i B.

Quan unim un conjunt amb si mateix, el conjunt unió és el mateix conjunt.[4]

A ∪ A = A {\displaystyle A\cup A=A} {\displaystyle A\cup A=A}

El conjunt buit ∅ {\displaystyle \emptyset } {\displaystyle \emptyset } és l'element neutre de la unió.

A ∪ ∅ = A {\displaystyle A\cup \emptyset =A} {\displaystyle A\cup \emptyset =A}

El conjunt unió resultant és indiferent a l'ordre amb què s'uneixen els conjunts.[5]

A ∪ B = B ∪ A {\displaystyle A\cup B=B\cup A} {\displaystyle A\cup B=B\cup A}

El conjunt unió resultant quan unim més de dos conjunts, és indiferent a la jerarquia amb què es facin les unions.

A ∪ B ∪ C = ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) {\displaystyle A\cup B\cup C=(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)} {\displaystyle A\cup B\cup C=(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)}

Si tenim un conjunt A {\displaystyle A} {\displaystyle A} i el seu complementari A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} {\displaystyle {\overline {A}}}, respecte d'un conjunt R {\displaystyle R} {\displaystyle R}, R {\displaystyle R} {\displaystyle R} és el conjunt unió de A {\displaystyle A} {\displaystyle A} i A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} {\displaystyle {\overline {A}}}.

A ∪ A ¯ = R {\displaystyle A\cup {\overline {A}}=R} {\displaystyle A\cup {\overline {A}}=R}

Si unim un conjunt A amb un subconjunt B, el conjunt unió és A.

Si tenim els conjunts A i B tal que A ⊃ B {\displaystyle A\supset B} {\displaystyle A\supset B} (A inclou B), llavors A ∪ B = A {\displaystyle A\cup B=A} {\displaystyle A\cup B=A}

Relacions entre la unió i la intersecció: propietat distributiva

[modifica]

La unió i la intersecció es poden relacionar mitjançant la propietat distributiva. Existeixen dues possibles versions d'aquesta propietat.

A ∪ ( B ∩ C ∩ D . . . ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) ∩ ( A ∪ D ) {\displaystyle A\cup (B\cap C\cap D...)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\cap (A\cup D)} {\displaystyle A\cup (B\cap C\cap D...)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\cap (A\cup D)} ...

A ∩ ( B ∪ C ∪ D . . . ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ∪ ( A ∩ D ) {\displaystyle A\cap (B\cup C\cup D...)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\cup (A\cap D)} {\displaystyle A\cap (B\cup C\cup D...)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\cup (A\cap D)} ...

  1. ↑ «Union Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)». [Consulta: 18 gener 2022].
  2. ↑ «Union». [Consulta: 18 gener 2022].
  3. ↑ pensante, El. «Operación de Unión (Álgebra de conjuntos) – El pensante» (en castellà). [Consulta: 18 gener 2022].
  4. ↑ «Union of sets – Definition and Examples» (en anglès americà). [Consulta: 18 gener 2022].
  5. ↑ «What Is a Union in Mathematics?» (en anglès). [Consulta: 18 gener 2022].

Viccionari