完全数って何？～愛夏，数を観察してみよう #ヴイアラ #やぴなま (original) (raw)

こんにちは．Cu です．最近は数学系の修士1年生をしています．アイドルマスターシリーズでは多田李衣菜 *1，秦谷美鈴*2，灯里愛夏*3など数名のプロデューサーをしています．

今日ボケーっと灯里愛夏さんのマシュマロ配信を見ているとこんなマシュマロが読み上げられていました！

プロミで 7×4 を答えませんでしたね 7×4 は 28 で、28 は完全数っていうとっても素敵な数字なんですよ 28 を割れる数字は 1、2、4、7、14、28 で、28 以外を足すと 28 になるから面白いんですよこれで 7×4=28 を覚えましたよね？じゃあ 7×6 は？（下記動画35:31頃から）

www.youtube.com

「プロミ」というのは先日9月28日に行われた PROJECT IM@S vα-liv PRODUCER MEETING 2024 -FROM NOW ON!!!- のことです．

idolmaster-official.jp

あんまり内容を話すのは良くないのですが，簡単に話すとプロミの企画中に計算クイズが出ており (←なんで……？) その問題が 7×4 でした。詳しく確認したい方は是非アーカイブを買ってみてください．10月14日まで見れます．

それはそうと話を戻しましょう．答えが完全数ということ，私も思いました！まさかお仲間がいたとは．

しかし，このマシュマロだけで愛夏さんは完全数のことをあまり理解されておりませんでした．というわけで知っていただくためにこの私が完全数を軽く説明します．

※ちゅういじこう

この記事はできる限り優しく噛み砕いて説明を試みています．ですが，それでも難しい表現があるかもしれません．難しい場合はちょっと休憩してまた読んでみてほしいです．どうしても分からないときは私 Cu @math_ter0713 まで聞きに来てください．

この記事では実際に計算をしながら完全数の特殊性について理解を深めてもらいます．実際に手を動かして計算してほしいので，紙とペン，そして九九表を用意して読んでいただけると嬉しいです．

間違いがあったら Cu @math_ter0713 まで教えて下さい．

専門家向けの Remark
この記事では数といったら自然数を指します．

※ちゅういじこう
約数って何？
完全数って何？
- 6
- 28
- 496
そういえばなんで「完全」数なんですか？
完全数のちょっとした拡張版？
終わりに

約数って何？

まずは約数という言葉を復習しましょう．

数を割り切る数のことを約数というのでした．

例えば $10$ の場合， $10 = 2 \times 5$ なので， $2$ と $5$ は $10$ の約数となります．

練習のコーナー～実際に約数を求めてみよう

いくつか練習してみましょう．今から4つの数字を出すので各数の約数を全部書いてみましょう．

$7$
$15$
$18$
$28$

解き方のヒント

答えがその数になる掛け算を考えてみましょう．

例えば $24 = 4 \times 6$ ですから $4,6$ は $24$ の約数です．それと忘れがちですが $24 = 1 \times 24$ なので $1,24$ も約数です．

九九の表とにらめっこしましょう．おっと， $1 \times$ の形以外で1個だけ九九に載っていない掛け算がありますね．さてどれでしょうか．

直ぐ下にに答えがあるのは良くないので灯里愛夏さんの画像を載せます．

灯里愛夏

ちゃんと計算しましたか……？ズルはダメですよ．

かえだまなか

答えのコーナー

1番

$7 = 1 \times 7$ なので約数は $1,7$ です．

このように約数が $1$ とそれ自身の2数になる数を**素数**といいます．

ジョジョの奇妙な冒険でプッチ神父が落ち着くために数えていましたね．

2番

次は $15$ です．

$\displaystyle 15 = 1 \times 15 = 3 \times 5$

ですので，約数は $1,3,5,15$ となります．

3番

次は $18$ です．

\begin{aligned} 18 &= 1 \times 18\\ &= 2 \times 9\\ &= 3 \times 6 \end{aligned}

ですので，約数は $1,2,3,6,9,18$ となります．

4番

最後に $28$ です．

\begin{aligned} 28 &= 1 \times 28\\ &= 2 \times 14\\ &= 4 \times 7 \end{aligned}

ですので，約数は $1,2,4,7,14,28$ となります．

約数を足してみよう

先ほど計算した約数を足してみます．なぜ足すのか……？

数字が好きな人は暇だと数字が並んでいるのを見て足したり掛けたりしてみるのです．それはゲームが好きな人が暇なときゲームを起動するのと同じようなものです．深く考えてはいけません．数学はこうした暇人によって発展してきた側面もあります．今回はグッとこらえて暇人の遊びに付き合ってみて下さい．

さて足し算の時間です．

1番

$7$ の約数は $1,7$ でした．約数を全部足してみましょう．

$\displaystyle 1+7 = 8$

約数をすべて足したら元の数よりも大きくなりました．それもそのはず．元の数自身も約数になります．これじゃあちょっと面白味がないので，その数自身は取っ払って足してみましょう．

$\displaystyle 1$

$1$ になりました．これは元の数よりも小さいです．「小さいことの何がいいんだ！」ですって？いいですか．これは数学星人が良くやる暇つぶしなのです．変なことに注目するもんなんだなと思って一回スルーしてください．

2番

$15$ の約数は $1,3,5,15$ でした．前も言った通り，元の数も足すのはちょっとしょうもないので， $15$ を除いた約数を足してみます．

$\displaystyle 1+3+5 = 9$

ちょっと増えましたね．しかし以前として（元の数を除いた）約数の和は元の数より小さくなりました．

3番

$18$ の約数は $1,2,3,6,9,18$ でした．元の数を除いた約数を足すと

$\displaystyle 1+2+3+6+9 =21$

になります．なんと元の数より大きくなりました！おめでとう！頑張ったね！

ここから元の数を除いた約数を全部足すと元の数より小さかったり大きかったりすることが分かります．他にもいろいろな例を見ていきましょう．

あれ～～～？全然元の数と一緒にならないですね．もしかすると元の数と一致するのはレアケースなんじゃないか……？ と数学星人は気付くのです．

4番そういえば $28$ のことを忘れていました．ごめんね． $28$ の約数は $1,2,4,7,14,28$ です．元の数を除いた約数の和を取ると

\begin{aligned} 1+2+4+7+14 &= 3 + 4+7+14\\ &= 7+7+14\\ &= 14+14\\ &= 28 \end{aligned}

あっ！元の数と一緒になりました！すごい！

完全数って何？

これまでの計算を通して，約数を（元の数を除いて）全部足すと滅多なことがない限り元とは違う数になることが分かりました．というわけで次のように完全数を定義します．

定義数について，それ自身を除く約数を全部足したとき，元の数と一致するようなものを完全数という．

それでは愛らしい完全数たちを紹介していきましょう．

6

$6$ の約数は $1,2,3,6$ です．このうち元の数 $6$ を除いた約数を足してみます．

$\displaystyle 1+2+3 = 6$

元の数と一緒になりました！

ところでこの $6$ ，灯里愛夏のプロデューサー，つまりは灯され隊の皆様にはなじみ深い数字のはずです．

ち、知力6……？！！
#ヴイアラ https://t.co/Fug7t9bWi4

— 灯里愛夏❤️‍🔥ヴイアラ (@TomoriManaka) 2023年7月6日

そう，ヴイアラ第1回中間審査での愛夏の知力スコアです！え，~~低すぎない？~~ どうでしょう．感動しましたか？え……いいえ……？

28

先ほども紹介しました． $28$ も完全数です．

一部の数学ファンは 6月28日を完全数の日と称して楽しんでいるようです．

余談ですが，この $28$ は小川洋子による名作『博士の愛した数式』にも頻繁に登場します．

ちなみに私が4番目くらいに好きな数字です．

496

3番目の完全数はグッと遠のきます． $496$ の約数は

$\displaystyle 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496$

で， $496$ 以外の約数の和は

\begin{align} &1+2+4+8+16+31+62+124+248\\ &= 3+4+8+16+31+62+124+248\\ &= 7+8+16+31+62+124+248\\ &= 15+16+31+62+124+248\\ &= 31+31+62+124+248\\ &= 62+62+124+248\\ &= 124+124+248\\ &= 248+248\\ &= 496 \end{align}

となります．わぁ！元に戻った！

8128

4番目はさらに彼方へ……．計算チェックは大変なのでしません．

しばしば数学星人のスマホのパスコードに採用されます．事実，私も昔これにしてました．

それ以降

これ以外にも沢山発見されています．この先は $33550336$ ， $8589869056$ ， $37438691328$ と続きます．次のサイトから完全数のリストが見られます．

oeis.org

完全数が無限に存在するかどうかは分かっていません．ご存じの方がいましたらご連絡ください．また，奇数の完全数は現在見つかっていません．見つけた方はご一報ください．

完全数の身体測定

完全数の身体測定……というわけでちょっとした美しい性質を紹介します．まずはここまで見てきた4つの完全数を良く見てみます．

\begin{aligned} 6 &= 2 \times 3\\ &= 2 \times (4 - 1)\\ &= 2 \times (2 \times 2 - 1) \end{aligned}

\begin{aligned} 28 &= 4 \times 7\\ &= 4 \times (8-1)\\ &= 4 \times (2 \times 4 -1) \end{aligned}

\begin{aligned} 496 &= 16 \times 31\\ &= 16 \times (32-1)\\ &= 16 \times (2 \times 16-1) \end{aligned}

\begin{aligned} 8128 &= 64 \times 127\\ &= 64 \times (128-1)\\ &= 64 \times (2 \times 64-1) \end{aligned}

なんかめっちゃ形似てませんか？これを更に調べてみますと驚きの事実が見つかります．

最初の掛け算の左側 $2,4,16,64$ は $2$ を何回も掛けた数になります．

\begin{aligned} 2 &= 2\\ 4 &= 2 \times 2\\ 16 &= 2 \times 8\\ &= 2 \times 2 \times 4\\ &= 2 \times 2 \times 2 \times 2\\ 64 &= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \end{aligned}

一方で掛け算の右側 $3,7,31,127$ はどうなっているでしょうか？彼らの約数を調べると……

となります．確かに $31$ って九九表に出てきませんでしたね～！こういう「約数が $1$ か元の数だけ」である数のことを素数と呼ぶのでした．（約数のパートで登場しましたね）

このように元々の定義とは無関係に規則性が見つかることを数学星人は大変喜びありがたがってそれを定理と名付けます．

ちょっと表現が難しいかもしれませんが，次のような定理が得られます．

定理 [tex:2n-1] が素数であれば [tex:2^{n-1} \times (2n-1)] は完全数になる．逆に偶数の完全数はこの形で尽くされる．

証明自体は高校生数学レベルでできます．Wikipedia に完全なものが乗っているので気になる人は参照してください．

ja.wikipedia.org

そういえばなんで「完全」数なんですか？

Wikipedia にも載っていて，私自身色々な人から聞いたことがある説を紹介します．

創世記にて，神は6日で世界を作り7日目にはお休みをしたと記されていることは有名ですね．また月の満ち欠けは28日周期です．6と28が同じ性質を満たす……と思ったときに，古に数学者はそれぞれ地上と天界の完全性の象徴だと思った……という説があります．ちなみに名付け親は三平方の定理でも知られるピタゴラスだそうです．

ただし！天地創生お休み含めた7日間なので完全な数は7であり，6は不完全であると言われることもあるらしいです．……？？？？？？

それはそうと約数という掛け算の産物を足し合わせたら元の数に還ってくる様は得も言われぬ整い方をしているように思えます．こうした不思議に整った様を人は古来から「完全である」と称してきたのですから，由来はどうあれ完全数というネーミングは素敵だと思いませんか？

完全数のちょっとした拡張版？

友愛数

約数の足し算をすることについてちょっとしたおもしろ数字のペアがあるので紹介します．

$220$ の約数は

$1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220$

です．元の数 $220$ を除いた約数を足してみると

$1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284$

となります．お次は $284$ の約数を調べましょう．

$1, 2, 4, 71, 142, 284$

同じように元の数 $284$ を除いた約数を足してみます．

$1+2+4+71+142=220$

おっと！戻ってきました！このようなペアのことを**友愛数**といいます．

この他にも友愛数はいくつか発見されていますが，これが無限にあるかどうかは未解決です．ちなみにどのペアも偶数同士もしくは奇数同士となっています．さらに偶数と奇数のペアからなる友愛数は見つかっていません．おもしろいですね．

社交数

友愛数は2つの組でしたね．これのもっとたくさんの数バージョンを社交数といいます．

例えば $12496, 14288, 15472, 14536, 14264$ が知られています．

婚約数

数も結婚を試みます．

$48$ の約数は $1,2,3,4,6,8,12,16,24,48$ です．完全数/友愛数のときとはちょっと変えてみて $1$ と元の $48$ を除いた約数を足してみましょう．

$2+3+4+6+8+12+16+24 = 75$

$75$ でも同じことをしてみます．約数は $1,3,5,15,25,75$ で $1$ と元の $75$ を除いた約数を足すと

$3+5+15+25 = 48$

となります！このようなペアのことを婚約数といいます．婚約数が無限にあるかどうかもまた未解決です．また現在見つかっている婚約数のペアはどれも偶数と奇数から成ります．偶奇が一致する婚約数のペアが存在するかどうかも未解決です．

終わりに

ここまで読んでくださってありがとうございます．いかがでしたか？

今回は約数に注目して完全数といった興味深い数に触れてきました．これでちょっとは数のことが好きになってくれましたか？え，数学はやっぱり嫌い？そっかぁ……．ちょっとずつ好きになってくれたら嬉しいです．

これ以外にも色々な数学のお話を知りたい方はこういうサイトがあるので読んでみるといいかもしれません．

manabitimes.jp

ついでに私の所属している東大アイマス研も紹介します．

note.com

最後になりましたが，この記事を書くきっかけになった灯里愛夏さんのダイマをします．

idollist.idolmaster-official.jp

灯里愛夏（ともりまなか）さんは，"アイマス"発ライバーアイドル育成プロジェクト「vα-liv（ヴイアライヴ）」の赤色担当です．やはり赤色ポジション，相当な元気さが売りの1つ．そのパッションは

やっぴー！あなたの心、灯します灯里愛夏です！

という口上からもうかがえます．ファン・プロデューサーの呼び名は「灯され隊」というこれまた愛くるしいお名前です．ちなみに「やっぴー！」は灯され隊における挨拶になっています．Hello も Good bye もやっぴーで済ませます．便利ですね．

出身は福岡，実は私も福岡出身で，同郷であることへのシンパシーと短髪美少女であることから応援することを決めました．上京して原宿のオシャレさに圧倒，シティーガールへの道を決意して邁進していますが，ふるさとの福岡ことは依然大好きな模様です．ちょくちょく博多弁が出たりラーメン愛を熱弁したりします．去年シンデレラガールズのライブが福岡で開催されたとき，福岡ここ行っとき動画を出しています．この動画のおかげで今後「福岡行くけど，どこ行けばいい？」と聞かれたときにすごく楽になったものです．