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有理数
(
サイエンス
)
【
ゆうりすう
】
実数の内でa/b(aとbは整数)という分数で表せる数全て。例えば、は有理数ではないが(証明以下参照)、一方で1.4, 1.41, 1.414…というを近似する小数は1.4=14/10, 1.41=141/100, 1.414=1414/1000となり有理数となる。
集合論では、整数の直積からなる代数系を適当な同値類で割って構成される。有理数全体からなる集合は可算無限集合である。有理数上のコーシー列を適切な同値関係で割ることで実数体が構成される。他の方法としてデデキント切断がある。
アリストテレス『分析論前書』による が無理数であることの証明:(背理法 ※)
仮にと二つの整数による分数で書けたとする。まず、aとbに共通な素数があれば、あらかじめa/bがのままで両方をその素数で割っておけるので、初めからaとbは互いに共通な素数を含まないと仮定できる。次に、両辺を二乗し整理するととなる。この時、2はを割り、2は素数であるのでaを割る。よって、右辺は4で割りきれる。ここで、左辺には既に2があるが、は少なくとも2で割れるはずである。従って、2がを割った時と同様に2はbを割る。よって、aとbの両方が2で割れるので、最初のaとbが共通の素数で割れないという仮定に反する■(証明終わり/Q.E.D)。
※ 厳密には否定導入則というべきところである。
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