Gennemsnit (original) (raw)
Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gennemsnittet eller aritmetisk gennemsnit (også kaldet middeltallet eller middelværdien) er summen af værdierne i et datasæt divideret med antallet af værdier. Matematisk formuleres gennemsnittet således:
A = x ¯ = 1 n ⋅ ∑ i = 1 n x i = x 1 + x 2 + ⋯ + x n n {\displaystyle {A}={\bar {x}}={1 \over n}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}}{n}}}
Eksempeltvist er gennemsnittet af datasættet {1,2,2,2,3,5,6,7,8} lig 36/9 = 4 (summen af værdierne er 36 og der er 9 værdier).
Der findes endvidere geometrisk gennemsnit, kvadratisk gennemsnit og harmonisk gennemsnit. Det geometriske gennemsnit regnes som den n'te rod af produktet af værdierne (hvor n angiver antallet af værdier). Her kræves det dog at x-værdierne er :
G = ( ∏ i = 1 n x i ) 1 / n = x 1 ⋅ x 2 ⋯ x n n {\displaystyle {G}={\bigg (}\prod _{i=1}^{n}x_{i}{\bigg )}^{1/n}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\dotsb x_{n}}}}
![{\displaystyle {G}={\bigg (}\prod _{i=1}^{n}x_{i}{\bigg )}^{1/n}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\dotsb x_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f619b058bdb381454633b8e17cef50d3f27984e5)
Det kvadratiske gennemsnit er kvadratroden af gennemsnittet af værdierne løftet op i anden potens. Dermed trækker negative værdier ikke det kvadratiske gennemsnittet ned. Yderligere vægtes store værdier mere end små. Det regnes således:
Q = 1 n ∑ i = 1 n x i 2 = x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 n {\displaystyle {Q}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{n}}}}
Det harmoniske gennemsnit regnes således:
H = n ∑ i = 1 n 1 x i = n 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ + 1 x n {\displaystyle {H}={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}
For positive x-værdier gælder der: H ≤ G ≤ A ≤ Q {\displaystyle {H}\leq {G}\leq {A}\leq {Q}} 