Fermat-Zahl (original) (raw)

Eine Fermat-Zahl, benannt nach dem französischen Mathematiker Pierre de Fermat, ist eine Zahl der Form

F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{\;\!2^{n}}+1}

mit einer ganzen Zahl n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} . Die ersten Fermat-Zahlen lauten 3, 5 und 17.

Im August 1640 vermutete Fermat, dass alle Zahlen dieser Form Primzahlen seien.[1] Dies wurde jedoch 1732 von Leonhard Euler widerlegt, der zeigte, dass schon die sechste Fermatzahl _F_5 durch 641 teilbar ist.[2] Man kennt außer den ersten fünf (3, 5, 17, 257, 65537) derzeit keine weitere Fermat-Zahl, die gleichzeitig Primzahl ist, und vermutet, dass es außer diesen fünf Zahlen auch keine weitere gibt (siehe Abschnitt weiter unten).

Die ersten Fermat-Zahlen lauten F 0 = 3 , F 1 = 5 , F 2 = 17 , F 3 = 257 {\displaystyle F_{0}=3,\,F_{1}=5,\,F_{2}=17,\,F_{3}=257} und F 4 = 65537 {\displaystyle F_{4}=65537} .[3]

Eine etwas längere Liste bis F 14 {\displaystyle F_{14}} findet man in der folgenden aufklappbaren Box.

Liste der ersten 15 Fermat-Zahlen

Wegen F n + 1 ≈ F n 2 {\displaystyle F_{n+1}\approx F_{n}^{2}} hat die Fermatzahl F n + 1 {\displaystyle F_{n+1}} doppelt so viele oder um eine weniger als doppelt so viele Stellen wie ihr Vorgänger F n {\displaystyle F_{n}} .

Die Idee hinter Fermatschen Primzahlen ist der Satz, dass 2 k + 1 {\displaystyle 2^{k}+1} nur für k = 0 {\displaystyle k=0} und für k = 2 n {\displaystyle k=2^{n}} mit n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} prim sein kann:

2 k + 1 ∈ P ⇒ k = 0 ∨ ∃ n ∈ N 0 : k = 2 n {\displaystyle 2^{k}+1\in \mathbb {P} \ \Rightarrow \ k=0\lor \exists n\in \mathbb {N} _{0}\colon k=2^{n}}

Die Umkehrung dieses Satzes, dass also nicht nur (wegen 2 0 + 1 = 1 + 1 = 2 ∈ P {\displaystyle 2^{0}+1=1+1=2\in \mathbb {P} } offensichtlich) 2 0 + 1 {\displaystyle 2^{0}+1} , sondern auch jede Fermat-Zahl F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1} prim sei, ist falsch. F 0 {\displaystyle F_{0}} bis F 4 {\displaystyle F_{4}} sind sogar die einzigen bisher bekannten Fermatschen Primzahlen.

Schon Fermat zeigte, dass diese ersten fünf Fermat-Zahlen Primzahlen sind, und vermutete 1640, dass dies auf alle Fermat-Zahlen zutreffe. Diese Vermutung wurde aber schon 1732 von Leonhard Euler einfach widerlegt, indem er mit 641 einen echten Teiler von _F_5 = 4.294.967.297 fand.[4]

Man vermutet inzwischen, dass außer den ersten fünf keine weiteren Fermatschen Primzahlen existieren. Diese Vermutung beruht auf statistischen Abschätzungen: Der Primzahlsatz besagt, dass die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als x sind, näherungsweise gleich x / ln x ist. Die Primzahldichte oder Wahrscheinlichkeit dafür, dass _F_n als ungerade Zahl eine Primzahl ist, beträgt daher näherungsweise 2 / ln _F_n ≈ 3 / 2n. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Fermatzahl _F_n oder eine der folgenden Fermatzahlen eine Primzahl ist, ergibt sich durch Summation der geometrische Reihe ungefähr zu 6 / 2n.

Für verbliebene weder teilweise noch vollständig faktorisierte Fermat-Zahlen ist diese Wahrscheinlichkeit mit etwa 6 ⸱ 10−10 mittlerweile aber sehr klein geworden.

Die Zahlen _F_0 bis _F_4 sind, wie schon Fermat erkannt hat, Primzahlen:

Die Zahlen _F_5 bis _F_11 sind entgegen der Vermutung Fermats zusammengesetzt. Sie sind bereits vollständig faktorisiert:[5]

Liste der zusammengesetzten und vollständig faktorisierten Fermat-Zahlen

Ab _F_12 ist keine Fermat-Zahl mehr vollständig faktorisiert. Die ersten acht lauten:

Liste der ersten acht der nur teilweise faktorisierten Fermat-Zahlen

Von _F_12 bis _F_32 und von einigen größeren Fermat-Zahlen ist bekannt, dass sie zusammengesetzt sind – hauptsächlich, weil ein oder mehrere Faktoren gefunden wurden. Von zwei Fermat-Zahlen (_F_20 und _F_24) kennt man zwar keinen Faktor, hat aber auf andere Art gezeigt, dass sie zusammengesetzt sind.[7][8]

Für _F_14 wurde am 3. Februar 2010 ein Faktor veröffentlicht,[9] für _F_22 am 25. März 2010.[10]

Die kleinste Fermat-Zahl, von der bislang nicht bekannt ist, ob sie prim oder zusammengesetzt ist, ist _F_33. Diese Zahl hat 2.585.827.973 Stellen. Insgesamt weiß man von den ersten 50 Fermat-Zahlen nur von 10 nicht, ob sie zusammengesetzt sind oder nicht.[11]

_F_18.233.954 ist die größte Fermat-Zahl, von der ein Faktor bekannt ist, nämlich die Primzahl 7 · 218.233.956 + 1. Dieser Faktor wurde am 5. Oktober 2020 von Ryan Propper mit Computer-Programmen von Geoffrey Reynolds, Jean Penné und Jim Fougeron entdeckt und hat 5.488.969 Stellen. Die Fermat-Zahl _F_18.233.954 selbst hat allerdings mehr als 105.488.966 Stellen.[12]

Versuch einer anschaulichen Erklärung der Größe der Fermat-Zahl _F_18.233.954

Es gibt keine sinnvolle Methode, sich die Menge an Papier, die man benötigt sie aufzuschreiben – oder gar die Zahl selber – vorzustellen: Selbst mit den hypothetisch kleinsten Teilchen aufgeschrieben, ist das Universum spätestens mit _F_615 vollgeschrieben und für jeden weiteren Schritt bis _F_18233954 würde sich der Platz zum Aufschreiben jeweils verdoppeln. Nur hat man mit _F_615 ja quasi damit noch nicht mal richtig angefangen! Ein wissenschaftlicher Taschenrechner würde eine etwa 27 Kilometer lange Zeile oder alternativ eine 27 Meter mal 10 Meter große Tafel allein für das Anschreiben der Anzahl der Stellen, also von 105488966, als Dezimalzahl benötigen.

Insgesamt weiß man von 330 Fermat-Zahlen, dass sie zusammengesetzt sind. 375 Primfaktoren sind bisher bekannt (Stand: 6. Dezember 2025).[5][13]

Der folgenden Tabelle kann man entnehmen, in welchem Intervall wie viele zusammengesetzte Fermat-Zahlen bekannt sind (Stand: 6. Dezember 2025):

Anteil der Fermat-Zahlen, die nachweislich keine Primzahlen sind

Die kleinsten 25 Fermat-Primfaktoren sind die folgenden:

3, 5, 17, 257, 641, 65.537, 114.689, 274.177, 319.489, 974.849, 2.424.833, 6.700.417, 13.631.489, 26.017.793, 45.592.577, 63.766.529, 167.772.161, 825.753.601, 1.214.251.009, 6.487.031.809, 70.525.124.609, 190.274.191.361, 646.730.219.521, 2.710.954.639.361, 2.748.779.069.441, … (Folge A023394 in OEIS)

Um von einer Fermat-Zahl nachzuweisen, dass sie zusammengesetzt ist, benutzt man in der Regel den Pépin-Test und den Suyama-Test, die beide besonders auf diese Zahlen zugeschnitten und sehr schnell sind.

Die folgenden 16 Primfaktoren von Fermat-Zahlen wurden vor 1950 entdeckt.

Vor 1950 entdeckte Primfaktoren von Fermat-Zahlen (ohne Zuhilfenahme programmgesteuerter Rechenmaschinen)

(a)

Diese Zahlen waren damit vollständig faktorisiert.

Seit 1950 wurden alle weiteren Faktoren durch Einsatz von Computern gefunden.[14]

Anzahl der entdeckten Primfaktoren von Fermat-Zahlen (unter Zuhilfenahme programmgesteuerter Rechenmaschinen)

Es wurden somit bisher 359 Primfaktoren von Fermat-Zahlen mit Computern gefunden (Stand: 6. Dezember 2025).

Beispiele:

Der Teiler 641 von _F_5: 641 = 5 · 27 + 1 = 5 · 128 + 1

Der Teiler 6700417 von _F_5: 6700417 = 52347 · 27 + 1 = 52347 · 128 + 1

• Fermat-Zahlen lassen sich auf folgende Arten rekursiv berechnen:

Beweis der vier Behauptungen:

• Es gelten folgende Darstellungen von F n {\displaystyle F_{n}} :

Anders formuliert: Mit Ausnahme von F 0 = 3 {\displaystyle F_{0}=3} und F 1 = 5 {\displaystyle F_{1}=5} endet jede Fermat-Zahl im Dezimalsystem mit der Ziffer 7. Die letzten beiden Ziffern sind 17, 37, 57 oder 97.

Beweis der vier Behauptungen:

Beweis der ersten Behauptung: F n ≡ − 1 ( mod 6 ) {\displaystyle F_{n}\equiv -1{\pmod {6}}}

Der Beweis funktioniert direkt. Man startet mit einer bekannten richtigen Aussage und beweist das Gewünschte.

Eine weiter oben angegebene Eigenschaft besagt, dass F n = F 0 ⋅ F 1 ⋅ … ⋅ F n − 1 + 2 {\displaystyle F_{n}=F_{0}\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-1}+2} gilt für n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} . Somit gilt aber, weil F 0 = 3 {\displaystyle F_{0}=3} ist:

F n + 1 = F 0 ⋅ F 1 ⋅ … ⋅ F n − 1 + 3 = 3 ⋅ F 1 ⋅ … ⋅ F n − 1 + 3 = 3 ⋅ ( F 1 ⋅ … ⋅ F n − 1 + 1 ) {\displaystyle F_{n}+1=F_{0}\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-1}+3=3\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-1}+3=3\cdot (F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-1}+1)} .

Der Ausdruck F 1 ⋅ … ⋅ F n − 1 {\displaystyle F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-1}} ist als Produkt von ungeraden Fermat-Zahlen selber ungerade. Addiert man 1 dazu, erhält man eine gerade Zahl. Also ist F n + 1 {\displaystyle F_{n}+1} ein Produkt aus 3 und einer geraden Zahl und somit durch 6 teilbar. Es gibt also ein m ∈ N {\displaystyle m\in \mathbb {N} } mit F n + 1 = 6 m {\displaystyle F_{n}+1=6m} . Daher ist F n {\displaystyle F_{n}} von der Form 6 m − 1 {\displaystyle 6m-1} , was zu zeigen war. ◻ {\displaystyle \Box }

Beweis der zweiten Behauptung: F n ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle F_{n}\equiv 1{\pmod {4}}}

F n = 2 2 n + 1 = ( 2 2 ) 2 n 2 + 1 = 4 2 n − 1 + 1 ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1=(2^{2})^{\frac {2^{n}}{2}}+1=4^{2^{n-1}}+1\equiv 1{\pmod {4}}} , was zu zeigen war. ◻ {\displaystyle \Box }

Beweis der dritten Behauptung: F n ≡ 2 ( mod 3 ) {\displaystyle F_{n}\equiv 2{\pmod {3}}}

Der dritte Beweis funktioniert mit vollständiger Induktion:

Induktionsanfang:

F 1 = 2 2 1 + 1 = 5 = 3 ⋅ 1 + 2 ≡ 2 ( mod 3 ) {\displaystyle F_{1}=2^{2^{1}}+1=5=3\cdot 1+2\equiv 2{\pmod {3}}}

F 2 = 2 2 2 + 1 = 17 = 3 ⋅ 5 + 2 ≡ 2 ( mod 3 ) {\displaystyle F_{2}=2^{2^{2}}+1=17=3\cdot 5+2\equiv 2{\pmod {3}}}

Induktionsvoraussetzung: F n = 3 ⋅ k + 2 {\displaystyle F_{n}=3\cdot k+2}

Induktionsschluss: zu zeigen: F n + 1 = 3 ⋅ m + 2 {\displaystyle F_{n+1}=3\cdot m+2} für ein m ∈ N {\displaystyle m\in \mathbb {N} }

F n + 1 = ( F n − 1 ) 2 + 1 (erste Behauptung weiter oben) = F n 2 − 2 F n + 1 + 1 = ( 3 k + 2 ) 2 − 2 ⋅ ( 3 k + 2 ) + 2 (Induktionsvoraussetzung) = 9 k 2 + 12 k + 4 − 6 k − 4 + 2 = 9 k 2 + 6 k + 2 = 3 ⋅ ( 3 k 2 + 2 k ) + 2 = 3 m + 2 (mit m := 3 k 2 + 2 k ) {\displaystyle {\begin{array}{rcll}F_{n+1}&=&(F_{n}-1)^{2}+1&{\text{(erste Behauptung weiter oben)}}\\&=&{\color {red}F_{n}}^{2}-2{\color {magenta}F_{n}}+1+1\\&=&({\color {red}3k+2})^{2}-2\cdot ({\color {magenta}3k+2})+2&{\text{(Induktionsvoraussetzung)}}\\&=&9k^{2}+12k+4-6k-4+2\\&=&9k^{2}+6k+2\\&=&3\cdot (3k^{2}+2k)+2\\&=&3m+2&{\text{(mit }}m:=3k^{2}+2k{\text{)}}\end{array}}}

Was zu zeigen war. ◻ {\displaystyle \Box }

Beweis der vierten Behauptung: F n ≡ 7 ( mod 10 ) {\displaystyle F_{n}\equiv 7{\pmod {10}}}

Der vierte Beweis funktioniert direkt:

Weiter oben wurde gezeigt, dass F n = F 0 ⋅ F 1 ⋅ … ⋅ F n − 1 + 2 {\displaystyle F_{n}=F_{0}\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-1}+2} für n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} gilt. Daraus kann man folgern, dass F n ≡ 2 ( mod F k ) {\displaystyle F_{n}\equiv 2{\pmod {F_{k}}}} für k = 0 , 1 , … , n − 1 {\displaystyle k=0,1,\ldots ,n-1} gilt. Im Speziellen gilt also für k = 1 {\displaystyle k=1} (also für F 1 = 5 {\displaystyle F_{1}=5} ) die Kongruenz F n ≡ 2 ( mod 5 ) {\displaystyle F_{n}\equiv 2{\pmod {5}}} und somit entweder F n ≡ 2 ( mod 10 ) {\displaystyle F_{n}\equiv 2{\pmod {10}}} oder F n ≡ 7 ( mod 10 ) {\displaystyle F_{n}\equiv 7{\pmod {10}}} . Weil aber Fermat-Zahlen immer ungerade sind, kann nur die Kongruenz F n ≡ 7 ( mod 10 ) {\displaystyle F_{n}\equiv 7{\pmod {10}}} zutreffen, was zu zeigen war.

Die Aussage, dass die letzten beiden Ziffern 17, 37, 57 oder 97 sind, kann man der Literatur entnehmen. ◻ {\displaystyle \Box }

F n ≠ p 1 + p 2 {\displaystyle F_{n}\not =p_{1}+p_{2}} für alle p 1 , p 2 ∈ P , n ≥ 2 {\displaystyle p_{1},p_{2}\in \mathbb {P} ,n\geq 2}

F n ≠ a p − b p {\displaystyle F_{n}\not =a^{p}-b^{p}} für alle p ∈ P , p ≠ 2 {\displaystyle p\in \mathbb {P} ,\,p\not =2}

Beweis der vier Behauptungen:

Beweis der ersten Behauptung: F n = x 2 − 2 y 2 {\displaystyle F_{n}=x^{2}-2y^{2}}

Der Beweis funktioniert direkt.

Die Existenz einer solchen Darstellung konnte schon weiter oben mit x := F n − 1 {\displaystyle x:=F_{n-1}} und y := F n − 2 − 1 {\displaystyle y:=F_{n-2}-1} gezeigt werden: F n = x 2 − 2 y 2 = F n − 1 2 − 2 ⋅ ( F n − 2 − 1 ) 2 {\displaystyle F_{n}=x^{2}-2y^{2}=F_{n-1}^{2}-2\cdot (F_{n-2}-1)^{2}}

Um unendlich viele solche Darstellungen zu erhalten, betrachte man folgende Identität:

( 3 x + 4 y ) 2 − 2 ⋅ ( 2 x + 3 y ) 2 = 9 x 2 + 24 x y + 16 y 2 − 2 ⋅ ( 4 x 2 + 12 x y + 9 y 2 ) = 9 x 2 + 24 x y + 16 y 2 − 8 x 2 − 24 x y − 18 y 2 = x 2 − 2 y 2 {\displaystyle {\begin{array}{rcl}(3x+4y)^{2}-2\cdot (2x+3y)^{2}&=&9x^{2}+24xy+16y^{2}-2\cdot (4x^{2}+12xy+9y^{2})\\&=&9x^{2}+24xy+16y^{2}-8x^{2}-24xy-18y^{2}\\&=&x^{2}-2y^{2}\end{array}}}

Weil x , y ∈ N {\displaystyle x,y\in \mathbb {N} } ist, gilt 3 x + 4 y > x {\displaystyle 3x+4y>x} und 2 x + 3 y > y {\displaystyle 2x+3y>y} . Somit kann man aus dem Darstellungspaar ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} für F n {\displaystyle F_{n}} ein (größeres) Darstellungspaar ( 3 x + 4 y , 2 x + 3 y ) {\displaystyle (3x+4y,2x+3y)} für F n {\displaystyle F_{n}} konstruieren. Aus diesem kann man mit obiger Identität das nächste (größere) Darstellungspaar für F n {\displaystyle F_{n}} konstruieren und so fort. Man erhält also unendlich viele Darstellungspaare für F n {\displaystyle F_{n}} und somit auch unendlich viele Darstellungen von F n {\displaystyle F_{n}} der Form F n = x 2 − 2 y 2 {\displaystyle F_{n}=x^{2}-2y^{2}} , was zu zeigen war. ◻ {\displaystyle \Box }

Beweis der zweiten Behauptung: F n = x 2 − y 2 {\displaystyle F_{n}=x^{2}-y^{2}}

Der Beweis funktioniert direkt.

Es gilt:

F n = 2 2 n + 1 = 2 2 n + 2 2 n + 1 − 2 2 n = 2 2 n + 2 ⋅ 2 2 n − 1 + 1 − 2 2 n = ( 2 2 n − 1 + 1 ) 2 − ( 2 2 n − 1 ) 2 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1=2^{2^{n}}+2^{2^{n}}+1-2^{2^{n}}=2^{2^{n}}+2\cdot 2^{2^{n}-1}+1-2^{2^{n}}=\left(2^{2^{n}-1}+1\right)^{2}-\left(2^{2^{n}-1}\right)^{2}}

Somit hat man zwei Zahlen x := 2 2 n − 1 + 1 {\displaystyle x:=2^{2^{n}-1}+1} und y := 2 2 n − 1 {\displaystyle y:=2^{2^{n}-1}} gefunden, sodass F n = x 2 − y 2 {\displaystyle F_{n}=x^{2}-y^{2}} , also die Differenz von zwei Quadratzahlen, ist, was zu zeigen war.

Die Aussage, dass es mehrere solche Darstellungsmöglichkeiten als Differenz von zwei Quadratzahlen gibt, wenn F n {\displaystyle F_{n}} zusammengesetzt ist, kann man der Literatur entnehmen. ◻ {\displaystyle \Box }

Beweis der dritten Behauptung: F n ≠ p 1 + p 2 {\displaystyle F_{n}\not =p_{1}+p_{2}}

Der Beweis funktioniert indirekt. Man startet mit einer Behauptung und zeigt, dass sie falsch ist, womit die Behauptung fallengelassen werden muss und das Gegenteil gilt.

Alle Fermat-Zahlen F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1} sind als Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl 1 immer ungerade Zahlen. Primzahlen sind, bis auf die erste Primzahl p = 2 {\displaystyle p=2} , immer ungerade. Wenn also die ungerade Zahl F n {\displaystyle F_{n}} Summe von zwei Primzahlen sein soll, so dürfen nicht beide Primzahlen ungerade sein, weil die Summe zweier ungerader Zahlen eine gerade Zahl ergibt. Eine davon muss gerade sein. Weil es nur eine gerade Primzahl gibt, muss also 2 eine der beiden Summanden sein. Der andere prime Summand ist somit F n − 2 {\displaystyle F_{n}-2} und es gilt trivialerweise F n = 2 + ( F n − 2 ) {\displaystyle F_{n}=2+(F_{n}-2)} . Es gilt aber:

F n − 2 = 2 2 n + 1 − 2 = 2 2 n − 1 = ( 2 2 n − 1 − 1 ) ⋅ ( 2 2 n − 1 + 1 ) {\displaystyle F_{n}-2=2^{2^{n}}+1-2=2^{2^{n}}-1=(2^{2^{n-1}}-1)\cdot (2^{2^{n-1}}+1)}

Somit ist aber F n − 2 {\displaystyle F_{n}-2} für n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} zusammengesetzt und keine Primzahl, weil sogar der kleinere der beiden Faktoren 2 2 n − 1 − 1 ≥ 2 2 2 − 1 − 1 = 2 2 − 1 = 3 {\displaystyle 2^{2^{n-1}}-1\geq 2^{2^{2-1}}-1=2^{2}-1=3} ist und somit eine nichttriviale Faktorisierung von F n − 2 {\displaystyle F_{n}-2} existiert. Wir erhalten einen Widerspruch. Die Annahme, dass man eine Fermat-Zahl als Summe zweier Primzahlen darstellen kann, muss fallengelassen werden, was zu zeigen war. ◻ {\displaystyle \Box }

Beweis der vierten Behauptung: F n ≠ a p − b p {\displaystyle F_{n}\not =a^{p}-b^{p}}

Der Beweis funktioniert indirekt. Man startet mit einer Behauptung und zeigt, dass sie falsch ist, womit die Behauptung fallengelassen werden muss und das Gegenteil gilt.

Angenommen, p ∈ P {\displaystyle p\in \mathbb {P} } ist eine ungerade Primzahl und F n {\displaystyle F_{n}} kann dargestellt werden als Differenz von zwei _p_-ten Potenzen. Es sei also F n = a p − b p {\displaystyle F_{n}=a^{p}-b^{p}} . Dann gilt:

F n = a p − b p = ( a − b ) ⋅ ( a p − 1 + a p − 2 b + … + a b p − 2 + b p − 1 ) {\displaystyle F_{n}=a^{p}-b^{p}=(a-b)\cdot (a^{p-1}+a^{p-2}b+\ldots +ab^{p-2}+b^{p-1})} mit a > b {\displaystyle a>b}

Weil F n {\displaystyle F_{n}} prim ist und somit nicht zwei Teiler haben darf, muss a − b = 1 {\displaystyle a-b=1} sein. Wegen des kleinen fermatschen Satzes ist a p ≡ a ( mod p ) {\displaystyle a^{p}\equiv a{\pmod {p}}} und b p ≡ b ( mod p ) {\displaystyle b^{p}\equiv b{\pmod {p}}} und somit gilt:

F n = a p − b p ≡ a − b ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle F_{n}=a^{p}-b^{p}\equiv a-b\equiv 1{\pmod {p}}}

Somit muss p {\displaystyle p} ein Teiler von F n − 1 = 2 2 n + 1 − 1 = 2 2 n {\displaystyle F_{n}-1=2^{2^{n}}+1-1=2^{2^{n}}} sein, was aber nicht sein kann, weil 2 2 n {\displaystyle 2^{2^{n}}} nur Zweierpotenzen als Teiler hat.

Die Annahme muss also fallengelassen werden, F n {\displaystyle F_{n}} kann daher nicht dargestellt werden als Differenz von zwei _p_-ten Potenzen.

Was zu zeigen war. ◻ {\displaystyle \Box }

D ( n ) = ⌊ log 10 ⁡ ( 2 2 n + 1 ) + 1 ⌋ ≈ ⌊ log 10 ⁡ 2 2 n + 1 ⌋ = ⌊ 2 n ⋅ log 10 ⁡ 2 + 1 ⌋ {\displaystyle D(n)=\lfloor \log _{10}\left(2^{2^{n}}+1\right)+1\rfloor \approx \lfloor \log _{10}2^{2^{n}}+1\rfloor =\lfloor 2^{n}\cdot \log _{10}2+1\rfloor }

wobei mit ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } die Floor-Funktion gemeint ist (also die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x {\displaystyle x} ist)

F n {\displaystyle F_{n}} ist eine Primzahl genau dann, wenn gilt: 3 F n − 1 2 ≡ − 1 ( mod F n ) {\displaystyle 3^{\frac {F_{n}-1}{2}}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}}

Mit anderen Worten: Für n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} gilt:

F n ∈ P ⟺ 3 F n − 1 2 ≡ − 1 ( mod F n ) {\displaystyle F_{n}\in \mathbb {P} \Longleftrightarrow 3^{\frac {F_{n}-1}{2}}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}}

Dieser Satz nennt sich Pépin-Test.

• Für n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} gilt:[22]

F n F n + 1 − 1 2 ≡ 1 ( mod F n + 1 ) {\displaystyle F_{n}^{\frac {F_{n+1}-1}{2}}\equiv 1{\pmod {F_{n+1}}}}

F n F n + k − 1 2 ≡ 1 ( mod F n + k ) {\displaystyle F_{n}^{\frac {F_{n+k}-1}{2}}\equiv 1{\pmod {F_{n+k}}}}

Beweis der ersten Behauptung:

F k {\displaystyle F_{k}} teilt a F n − a {\displaystyle a^{F_{n}}-a}

• Sei H n := 2 2 n + 1 + 2 2 n + 1 {\displaystyle H_{n}:=2^{2^{n+1}}+2^{2^{n}}+1} . Dann gilt:[24]

H n = ( F n − 1 2 − 3 F n − 1 + 3 ) ⋅ H n − 1 {\displaystyle H_{n}=(F_{n-1}^{2}-3F_{n-1}+3)\cdot H_{n-1}} für alle n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1}

• Sei n n + 1 {\displaystyle n^{n}+1} eine Primzahl. Dann gilt:[25][26]

Beweis der Behauptung:

Beweis von Teil 1 durch Widerspruch: Man führt die Annahme, dass das zu Beweisende falsch sei, zu einem Widerspruch (analog zum Beweis weiter oben).

Annahme: n n + 1 {\displaystyle n^{n}+1} ist prim und die Hochzahl n {\displaystyle n} hat einen ungeraden Teiler c > 1 {\displaystyle c>1} .

Dann gilt

n n + 1 = n n c ⋅ c + 1 = ( n n c ) c + 1 c {\displaystyle n^{n}+1=n^{{\frac {n}{c}}\cdot c}+1=(n^{\frac {n}{c}})^{c}+1^{c}}

mit einer ganzen Zahl n c {\displaystyle {\frac {n}{c}}} . Nach Annahme ist c {\displaystyle c} ungerade, also ist diese Summe bekanntlich durch die Summe n n c + 1 {\displaystyle n^{\frac {n}{c}}+1} der beiden Basen teilbar:

n n + 1 = ( n n c ) c + 1 c = ( n n c + 1 ) ⋅ ∑ j = 0 c − 1 ( − 1 ) j ⋅ ( n n c ) j {\displaystyle n^{n}+1=(n^{\frac {n}{c}})^{c}+1^{c}=(n^{\frac {n}{c}}+1)\cdot \sum _{j=0}^{c-1}(-1)^{j}\cdot (n^{\frac {n}{c}})^{j}}

Weil die Zahl n n + 1 {\displaystyle n^{n}+1} prim ist, muss ihr Teiler n n c + 1 {\displaystyle n^{\frac {n}{c}}+1} gleich 1 oder gleich n n + 1 {\displaystyle n^{n}+1} sein. Aber im Widerspruch dazu ist n n c + 1 {\displaystyle n^{\frac {n}{c}}+1} (wegen n n c > 0 {\displaystyle n^{\frac {n}{c}}>0} ) größer als 1 und (wegen n c < n {\displaystyle {\frac {n}{c}}<n} ) kleiner als n n + 1 {\displaystyle n^{n}+1} . Die Annahme, dass n n + 1 {\displaystyle n^{n}+1} prim ist und n {\displaystyle n} einen ungeraden Teiler c > 1 {\displaystyle c>1} hat, muss daher fallengelassen werden: n n + 1 {\displaystyle n^{n}+1} kann nur prim sein, wenn n {\displaystyle n} eine Zweierpotenz 2 k {\displaystyle 2^{k}} mit k ≥ 0 {\displaystyle k\geq 0} ist.

Es ist also n n + 1 = ( 2 k ) 2 k + 1 = 2 k ⋅ 2 k + 1 {\displaystyle n^{n}+1=(2^{k})^{2^{k}}+1=2^{k\cdot 2^{k}}+1} und n n {\displaystyle n^{n}} ist somit eine Zweierpotenz.

Es wurde aber weiter oben gezeigt, dass eine Zahl der Form 2 t + 1 {\displaystyle 2^{t}+1} nur dann eine Primzahl ist, wenn die Hochzahl (also der Exponent) selbst eine Zweierpotenz ist. Es gibt also ein t ∈ N 0 {\displaystyle t\in \mathbb {N} _{0}} , sodass k ⋅ 2 k = 2 t {\displaystyle k\cdot 2^{k}=2^{t}} ist. Somit muss k {\displaystyle k} selbst eine Zweierpotenz (also ohne ungerade Teiler) sein, daher gibt es ein m ∈ N 0 {\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}} , sodass k = 2 m {\displaystyle k=2^{m}} ist. Es ist also n = 2 k = 2 2 m = 2 2 m + 1 − 1 = F m − 1 {\displaystyle n=2^{k}=2^{2^{m}}=2^{2^{m}}+1-1=F_{m}-1} , was als Erstes zu zeigen war.

Weiters gilt also n n + 1 = ( 2 k ) ( 2 k ) + 1 = ( 2 2 m ) ( 2 2 m ) + 1 = 2 2 m ⋅ 2 2 m + 1 = 2 2 m + 2 m + 1 = 2 2 2 m + m + 1 = F 2 m + m {\displaystyle n^{n}+1=(2^{k})^{(2^{k})}+1=(2^{2^{m}})^{(2^{2^{m}})}+1=2^{2^{m}\cdot 2^{2^{m}}}+1=2^{2^{m+2^{m}}}+1=2^{2^{2^{m}+m}}+1=F_{2^{m}+m}} , was zu zeigen war. ◻ {\displaystyle \Box }

Beispiele:

Für m = 0 {\displaystyle m=0} erhält man n n + 1 = F 2 0 + 0 = F 1 = 5 ∈ P {\displaystyle n^{n}+1=F_{2^{0}+0}=F_{1}=5\in \mathbb {P} }

Für m = 1 {\displaystyle m=1} erhält man n n + 1 = F 2 1 + 1 = F 3 = 257 ∈ P {\displaystyle n^{n}+1=F_{2^{1}+1}=F_{3}=257\in \mathbb {P} }

Für m = 2 {\displaystyle m=2} erhält man n n + 1 = F 2 2 + 2 = F 6 = 18.446.744.073.709.551.617 ∉ P {\displaystyle n^{n}+1=F_{2^{2}+2}=F_{6}=18.446.744.073.709.551.617\not \in \mathbb {P} } (eine 20-stellige Zahl)

Für m = 3 {\displaystyle m=3} erhält man n n + 1 = F 2 3 + 3 = F 11 ∉ P {\displaystyle n^{n}+1=F_{2^{3}+3}=F_{11}\not \in \mathbb {P} } (eine 617-stellige Zahl)

Für m = 4 {\displaystyle m=4} erhält man n n + 1 = F 2 4 + 4 = F 20 ∉ P {\displaystyle n^{n}+1=F_{2^{4}+4}=F_{20}\not \in \mathbb {P} } (eine 315653-stellige Zahl)

Auch für m = 5 {\displaystyle m=5} (eine 41373247568-stellige Zahl) und m = 11 {\displaystyle m=11} (die Anzahl der Stellen dieser Zahl hat 620 Stellen) erhält man keine Primzahlen. Für alle anderen m {\displaystyle m} ist noch nicht bekannt, ob es sich um Primzahlen handelt oder nicht.

Könnte man zeigen, dass es keine weiteren Primzahlen der Form n n + 1 {\displaystyle n^{n}+1} gibt, so wäre gleichzeitig auch bewiesen, dass es unendlich viele zusammengesetzte Fermat-Zahlen gibt.

• Sei n n n + 1 {\displaystyle n^{n^{n}}+1} eine Primzahl. Dann gilt:[26]
• Die Menge aller quadratischen Nichtreste einer primen Fermat-Zahl ist gleich der Menge aller ihrer Primitivwurzeln.[27]
• Zwei Fermat-Zahlen sind gleich oder teilerfremd, wie aus der letzten Aussage folgt (Goldbachs Theorem, nach Christian Goldbach, 1730). Daraus lässt sich folgern, dass es unendlich viele Primzahlen gibt (siehe auch Beweisarchiv).
• Die Summe der Kehrwerte aller Fermat-Zahlen ist eine irrationale Zahl (bewiesen von Solomon W. Golomb im Jahr 1963).[28] Es gilt:

∑ n = 0 ∞ 1 F n = ∑ n = 0 ∞ 1 2 2 n + 1 ≈ 0,596 06317211782167942379392586279 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2^{n}}+1}}\approx 0{,}59606317211782167942379392586279} (Folge A051158 in OEIS)

• Keine Fermat-Zahl ist eine perfekte Zahl. Keine Fermat-Zahl ist Teil eines Paares befreundeter Zahlen (bewiesen von Florian Luca im Jahr 2000).[29]
• Die Summe der Kehrwerte aller Primteiler von Fermat-Zahlen ist konvergent (bewiesen von Michal Křížek, Florian Luca und Lawrence Somer im Jahr 2002).[30] Mit anderen Worten:

Sei P F ⊂ P {\displaystyle P_{F}\subset \mathbb {P} } die Menge aller Primzahlen, die irgendeine Fermat-Zahl F n {\displaystyle F_{n}} teilen. Dann gilt:

∑ p ∈ P F 1 p {\displaystyle \sum _{p\in P_{F}}{\frac {1}{p}}} ist konvergent.

p ( F n ) ≥ 2 n + 2 ⋅ ( 4 n + 9 ) + 1 {\displaystyle p(F_{n})\geq 2^{n+2}\cdot (4n+9)+1}

für alle n ≥ 4 {\displaystyle n\geq 4} (bewiesen von Aleksander Grytczuk, Florian Luca und Marek Wójtowicz im Jahr 2001).

• Jede zusammengesetzte Fermat-Zahl ist eine starke Pseudoprimzahl zur Basis 2, weil für alle Fermat-Zahlen gilt:[32]

2 2 r ≡ − 1 ( mod F n ) {\displaystyle 2^{2^{r}}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}}

für mindestens ein 0 ≤ r < 2 n {\displaystyle 0\leq r<2^{n}} (im Speziellen für r = n {\displaystyle r=n} ).

• Jede zusammengesetzte Fermat-Zahl ist eine eulersche Pseudoprimzahl zur Basis 2, weil für alle Fermat-Zahlen gilt:[32]

2 F n − 1 2 = 2 2 n − 1 ≡ ± 1 ( mod F n ) {\displaystyle 2^{\frac {F_{n}-1}{2}}=2^{2^{n}-1}\equiv \pm 1{\pmod {F_{n}}}}

• Jede zusammengesetzte Fermat-Zahl F n {\displaystyle F_{n}} ist eine fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis 2. Das heißt, für alle Fermat-Zahlen gilt:

2 F n − 1 ≡ 1 ( mod F n ) {\displaystyle 2^{F_{n}-1}\equiv 1{\pmod {F_{n}}}}

• Eine prime Fermat-Zahl F n {\displaystyle F_{n}} ist niemals eine Wieferich-Primzahl.[33] Das heißt, für alle primen Fermat-Zahlen gilt:

2 F n − 1 ≢ 1 ( mod F n 2 ) {\displaystyle 2^{F_{n}-1}\not \equiv 1{\pmod {F_{n}^{2}}}}

• Ein Produkt

F a ⋅ F b ⋅ … ⋅ F s {\displaystyle F_{a}\cdot F_{b}\cdot \ldots \cdot F_{s}}

von Fermat-Zahlen mit a > b > … > s > 1 {\displaystyle a>b>\ldots >s>1} ist eine fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis 2 genau dann, wenn 2 s > a {\displaystyle 2^{s}>a} (bewiesen von Michele Cipolla im Jahr 1904).[34]

• Jede Fermat-Zahl F n {\displaystyle F_{n}} hat im Binärsystem die Form

F n = 1 000 … 000 1 {\displaystyle F_{n}=1\;\!000\ldots 000\;\!1}

mit 2 n − 1 {\displaystyle 2^{n}-1} Nullen zwischen den beiden Einsen am Anfang und Ende.[35]

Jede Fermat-Zahl ab F 2 {\displaystyle F_{2}} hat im Hexadezimalsystem die Form

F n = 1 000 … 000 1 {\displaystyle F_{n}=1\;\!000\ldots 000\;\!1}

mit 2 n − 2 − 1 {\displaystyle 2^{n-2}-1} Nullen zwischen den beiden Einsen am Anfang und Ende.

• Ist _F_n eine zusammengesetzte Zahl für alle n ≥ 5?
• Gibt es unendlich viele zusammengesetzte Fermatsche Zahlen? (Diese Behauptung ist etwas schwächer als die vorherige.)
• Gibt es unendlich viele Fermatsche Primzahlen? (Diese Behauptung steht nicht im Widerspruch zur vorherigen; es könnten beide Behauptungen gelten. Es ist allerdings äußerst unwahrscheinlich, wie der untere Abschnitt zeigt.)
• Gibt es Fermatsche Zahlen, die nicht quadratfrei sind?

Man kann heuristisch annehmen, dass F 4 = 65537 {\displaystyle F_{4}=65537} die letzte (und somit auch die größte) Fermat-Primzahl ist. Die Überlegungen dafür sind die folgenden:

Der Primzahlsatz gibt an, dass eine zufällige ganze Zahl in einem geeigneten Intervall um n {\displaystyle n} mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 1 ln ⁡ n {\displaystyle {\tfrac {1}{\ln n}}} eine Primzahl ist. Wenn man nun heuristisch davon ausgeht, dass diese Aussage auch für Fermat-Primzahlen gilt, gepaart mit der Tatsache, dass die Fermat-Zahlen F 5 , … F 32 {\displaystyle F_{5},\ldots F_{32}} alle zusammengesetzt sind, kommt man für größere Fermat-Primzahlen zu folgendem Ergebnis:[36]

Die Wahrscheinlichkeit, dass F n {\displaystyle F_{n}} eine Fermat-Primzahl ist, beträgt höchstens 4 2 n {\displaystyle {\tfrac {4}{2^{n}}}} .

Für eine neue, noch unbekannte Fermat-Primzahl F n {\displaystyle F_{n}} muss n ≥ 33 {\displaystyle n\geq 33} sein. Somit beträgt die erwartete Anzahl an neuen, noch unbekannten Fermat-Primzahlen höchstens

4 2 33 + 4 2 34 + 4 2 35 + … = 4 2 32 = 1 2 30 < 1 10 9 {\displaystyle {\frac {4}{2^{33}}}+{\frac {4}{2^{34}}}+{\frac {4}{2^{35}}}+\ldots ={\frac {4}{2^{32}}}={\frac {1}{2^{30}}}<{\frac {1}{10^{9}}}}

Die Wahrscheinlichkeit, dass es noch eine weitere Fermat-Primzahl F n > F 4 {\displaystyle F_{n}>F_{4}} gibt, beträgt also weniger als 1 zu einer Milliarde, weswegen man davon ausgehen kann, dass es wahrscheinlich keine weiteren gibt.

Anzahl der Seiten bekannter konstruierbarer Polygone.
Rot: Seitenzahlen der 31 bekannten regulären Polygone mit ungerader Seitenzahl (Lesart von oben nach unten: Gleichseitiges Dreieck – regelmäßiges Fünfeck – regelmäßiges Fünfzehneck - … – 4294967295-Eck)
Schwarz: Seitenzahlen der (unendlich vielen) bekannten Polygone mit gerader Seitenzahl

Carl Friedrich Gauß zeigte (in seinem Lehrbuch Disquisitiones Arithmeticae), dass es einen Zusammenhang zwischen der Konstruktion von regelmäßigen Polygonen und den Fermatschen Primzahlen gibt:

Ein regelmäßiges Polygon mit n Seiten kann dann und nur dann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden, wenn n

• eine Potenz von 2 oder
• eine Potenz von 2 multipliziert mit paarweise verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist.[37]

Mit anderen Worten:

Ein n {\displaystyle n} -seitiges regelmäßiges Polygon kann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden ⟺ {\displaystyle \qquad \Longleftrightarrow }

n = 2 k ⋅ p 1 ⋅ p 2 ⋅ … ⋅ p s {\displaystyle n=2^{k}\cdot p_{1}\cdot p_{2}\cdot \dotso \cdot p_{s}} mit k ∈ N 0 {\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}} und paarweise verschiedenen Fermatschen Primzahlen p 1 , p 2 , … , p s {\displaystyle p_{1},p_{2},\dotsc ,p_{s}}

Konkret zeigte Gauß die Konstruierbarkeit des regelmäßigen Siebzehnecks.

Die nach der obigen Formel konstruierbaren regelmäßigen Polygone lassen sich in zwei Gruppen unterteilen: solche mit ungerader Seitenzahl und solche mit gerader Seitenzahl. Alle Polygone, in denen k > 0 {\displaystyle k>0} ist, sind offensichtlich solche mit gerader Seitenzahl (durch 2 teilbar). Alle Polygone mit k = 0 {\displaystyle k=0} sind solche mit ungerader Seitenzahl (ein Produkt von Primzahlen größer als 2 ist immer eine ungerade Zahl). Da nur endlich viele Fermatsche Primzahlen bekannt sind, ist auch die Anzahl der bekannten, mit Zirkel und Lineal konstruierbaren, regulären Polygone mit ungerader Seitenzahl begrenzt. Unter diesen ist das 4294967295-Eck ( ∏ i = 1 5 p i {\displaystyle \scriptstyle \prod _{i=1}^{5}p_{i}} ) dasjenige mit der größten Eckenzahl.

Eine Zahl der Form b 2 n + a 2 n {\displaystyle b^{2^{n}}+a^{2^{n}}} mit zwei teilerfremden natürlichen Zahlen a > 0 und b > 0 heißt verallgemeinerte Fermatsche Zahl. Ist eine solche Zahl prim, dann heißt sie verallgemeinerte Fermatsche Primzahl.

Insgesamt sind schon über 11719 Faktoren von verallgemeinerten zusammengesetzten Fermat-Zahlen bekannt (Stand: 13. August 2018).[38][39] Davon wurden alleine über 5100 von Anders Björn und Hans Riesel vor 1998 entdeckt.

Ist a = 1, so werden die so erhaltenen verallgemeinerten Fermatschen Zahlen üblicherweise mit

F n ( b ) = b 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}(b)=b^{2^{n}}+1}

bezeichnet. Die Zahl b nennt man Basis.

Ist a = 1 und b = 2, so handelt es sich um die schon weiter oben erwähnten Fermat-Zahlen

F n ( 2 ) = F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}(2)=F_{n}=2^{2^{n}}+1} .

Es folgt eine Auflistung der ersten verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen der Form F n ( b , a ) = b 2 n + a 2 n ggT ⁡ ( b + a , 2 ) {\displaystyle F_{n}(b,a)={\frac {b^{2^{n}}+a^{2^{n}}}{\operatorname {ggT} (b+a,2)}}} . Die beiden Basen b {\displaystyle b} und a {\displaystyle a} müssen, damit F n ( b , a ) {\displaystyle F_{n}(b,a)} prim sein kann, teilerfremd sein. Außerdem ist es auch notwendig, dass man F n ( b , a ) {\displaystyle F_{n}(b,a)} durch den größten gemeinsamen Teiler ggT ⁡ ( b + a , 2 ) {\displaystyle {\operatorname {ggT} (b+a,2)}} dividiert, da die Zahl b 2 n + a 2 n {\displaystyle b^{2^{n}}+a^{2^{n}}} bei ungeradem b {\displaystyle b} und a {\displaystyle a} immer eine gerade Zahl wäre und somit niemals eine Primzahl sein könnte. Weiters kann man ohne Einschränkung annehmen, dass a < b {\displaystyle a<b} sein muss, da man bei F n ( b , a ) {\displaystyle F_{n}(b,a)} das a {\displaystyle a} bedenkenlos mit b {\displaystyle b} vertauschen kann und somit zum Beispiel F n ( 5 , 9 ) = F n ( 9 , 5 ) {\displaystyle F_{n}(5,9)=F_{n}(9,5)} ist. Der Fall a = b {\displaystyle a=b} führt niemals zu Primzahlen, da dann F n ( b , a ) = F n ( b , b ) = b 2 n + b 2 n ggT ⁡ ( b + b , 2 ) = 2 b 2 n 2 = b 2 n {\displaystyle F_{n}(b,a)=F_{n}(b,b)={\frac {b^{2^{n}}+b^{2^{n}}}{\operatorname {ggT} (b+b,2)}}={\frac {2b^{2^{n}}}{2}}=b^{2^{n}}} wäre und sicher nicht prim ist (es wären in diesem Fall auch die beiden Basen b {\displaystyle b} und b {\displaystyle b} nicht wie vorausgesetzt teilerfremd).

Liste der verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen der Form F n ( b , a ) = b 2 n + a 2 n ggT ⁡ ( b + a , 2 ) {\displaystyle F_{n}(b,a)={\frac {b^{2^{n}}+a^{2^{n}}}{\operatorname {ggT} (b+a,2)}}} mit konstantem b ≤ 16 {\displaystyle b\leq 16} und a < b {\displaystyle a<b}

ba F n ( b , a ) {\displaystyle F_{n}(b,a)} n {\displaystyle n} , für das F n ( b , a ) {\displaystyle F_{n}(b,a)} prim ist 2 1 2 2 n + 1 2 n {\displaystyle 2^{2^{n}}+1^{2^{n}}} 0, 1, 2, 3, 4, … 3 1 3 2 n + 1 2 n 2 {\displaystyle {\frac {3^{2^{n}}+1^{2^{n}}}{2}}} 0, 1, 2, 4, 5, 6, … 3 2 3 2 n + 2 2 n {\displaystyle 3^{2^{n}}+2^{2^{n}}} 0, 1, 2, … 4 1 4 2 n + 1 2 n {\displaystyle 4^{2^{n}}+1^{2^{n}}} 0, 1, 2, 3, … 4 3 4 2 n + 3 2 n {\displaystyle 4^{2^{n}}+3^{2^{n}}} 0, 2, 4, … 5 1 5 2 n + 1 2 n 2 {\displaystyle {\frac {5^{2^{n}}+1^{2^{n}}}{2}}} 0, 1, 2 … 5 2 5 2 n + 2 2 n {\displaystyle 5^{2^{n}}+2^{2^{n}}} 0, 1, 2, … 5 3 5 2 n + 3 2 n 2 {\displaystyle {\frac {5^{2^{n}}+3^{2^{n}}}{2}}} 1, 2, 3, … 5 4 5 2 n + 4 2 n {\displaystyle 5^{2^{n}}+4^{2^{n}}} 1, 2, … 6 1 6 2 n + 1 2 n {\displaystyle 6^{2^{n}}+1^{2^{n}}} 0, 1, 2, … 6 5 6 2 n + 5 2 n {\displaystyle 6^{2^{n}}+5^{2^{n}}} 0, 1, 3, 4, … 7 1 7 2 n + 1 2 n 2 {\displaystyle {\frac {7^{2^{n}}+1^{2^{n}}}{2}}} 2, … 7 2 7 2 n + 2 2 n {\displaystyle 7^{2^{n}}+2^{2^{n}}} 1, 2, … 7 3 7 2 n + 3 2 n 2 {\displaystyle {\frac {7^{2^{n}}+3^{2^{n}}}{2}}} 0, 1, 8, … 7 4 7 2 n + 4 2 n {\displaystyle 7^{2^{n}}+4^{2^{n}}} 0, 2, … 7 5 7 2 n + 5 2 n 2 {\displaystyle {\frac {7^{2^{n}}+5^{2^{n}}}{2}}} 1, 4, … 7 6 7 2 n + 6 2 n {\displaystyle 7^{2^{n}}+6^{2^{n}}} 0, 2, 4, … 8 1 8 2 n + 1 2 n {\displaystyle 8^{2^{n}}+1^{2^{n}}} es gibt keine Prim­zahlen dieser Form 8 3 8 2 n + 3 2 n {\displaystyle 8^{2^{n}}+3^{2^{n}}} 0, 1, 2, … 8 5 8 2 n + 5 2 n {\displaystyle 8^{2^{n}}+5^{2^{n}}} 0, 1, 2, …	ba F n ( b , a ) {\displaystyle F_{n}(b,a)} n {\displaystyle n} , für das F n ( b , a ) {\displaystyle F_{n}(b,a)} prim ist 8 7 8 2 n + 7 2 n {\displaystyle 8^{2^{n}}+7^{2^{n}}} 1, 4, … 9 1 9 2 n + 1 2 n 2 {\displaystyle {\frac {9^{2^{n}}+1^{2^{n}}}{2}}} 0, 1, 3, 4, 5, … 9 2 9 2 n + 2 2 n {\displaystyle 9^{2^{n}}+2^{2^{n}}} 0, 2, … 9 4 9 2 n + 4 2 n {\displaystyle 9^{2^{n}}+4^{2^{n}}} 0, 1, … 9 5 9 2 n + 5 2 n 2 {\displaystyle {\frac {9^{2^{n}}+5^{2^{n}}}{2}}} 0, 1, 2, … 9 7 9 2 n + 7 2 n 2 {\displaystyle {\frac {9^{2^{n}}+7^{2^{n}}}{2}}} 2, … 9 8 9 2 n + 8 2 n {\displaystyle 9^{2^{n}}+8^{2^{n}}} 0, 2, 5, … 10 1 10 2 n + 1 2 n {\displaystyle 10^{2^{n}}+1^{2^{n}}} 0, 1, … 10 3 10 2 n + 3 2 n {\displaystyle 10^{2^{n}}+3^{2^{n}}} 0, 1, 3, … 10 7 10 2 n + 7 2 n {\displaystyle 10^{2^{n}}+7^{2^{n}}} 0, 1, 2, … 10 9 10 2 n + 9 2 n {\displaystyle 10^{2^{n}}+9^{2^{n}}} 0, 1, 2, … 11 1 11 2 n + 1 2 n 2 {\displaystyle {\frac {11^{2^{n}}+1^{2^{n}}}{2}}} 1, 2, … 11 2 11 2 n + 2 2 n {\displaystyle 11^{2^{n}}+2^{2^{n}}} 0, 2, … 11 3 11 2 n + 3 2 n 2 {\displaystyle {\frac {11^{2^{n}}+3^{2^{n}}}{2}}} 0, 3, … 11 4 11 2 n + 4 2 n {\displaystyle 11^{2^{n}}+4^{2^{n}}} 1, 2, … 11 5 11 2 n + 5 2 n 2 {\displaystyle {\frac {11^{2^{n}}+5^{2^{n}}}{2}}} 1, … 11 6 11 2 n + 6 2 n {\displaystyle 11^{2^{n}}+6^{2^{n}}} 0, 1, 2, … 11 7 11 2 n + 7 2 n 2 {\displaystyle {\frac {11^{2^{n}}+7^{2^{n}}}{2}}} 2, 4, 5, … 11 8 11 2 n + 8 2 n {\displaystyle 11^{2^{n}}+8^{2^{n}}} 0, 6, … 11 9 11 2 n + 9 2 n 2 {\displaystyle {\frac {11^{2^{n}}+9^{2^{n}}}{2}}} 1, 2, …	ba F n ( b , a ) {\displaystyle F_{n}(b,a)} n {\displaystyle n} , für das F n ( b , a ) {\displaystyle F_{n}(b,a)} prim ist 11 10 11 2 n + 10 2 n {\displaystyle 11^{2^{n}}+10^{2^{n}}} 5, … 12 1 12 2 n + 1 2 n {\displaystyle 12^{2^{n}}+1^{2^{n}}} 0, … 12 5 12 2 n + 5 2 n {\displaystyle 12^{2^{n}}+5^{2^{n}}} 0, 4, … 12 7 12 2 n + 7 2 n {\displaystyle 12^{2^{n}}+7^{2^{n}}} 0, 1, 3, … 12 11 12 2 n + 11 2 n {\displaystyle 12^{2^{n}}+11^{2^{n}}} 0, … 13 1 13 2 n + 1 2 n 2 {\displaystyle {\frac {13^{2^{n}}+1^{2^{n}}}{2}}} 0, 2, 3, … 13 2 13 2 n + 2 2 n {\displaystyle 13^{2^{n}}+2^{2^{n}}} 1, 3, 9, … 13 3 13 2 n + 3 2 n 2 {\displaystyle {\frac {13^{2^{n}}+3^{2^{n}}}{2}}} 1, 2, … 13 4 13 2 n + 4 2 n {\displaystyle 13^{2^{n}}+4^{2^{n}}} 0, 2, … 13 5 13 2 n + 5 2 n 2 {\displaystyle {\frac {13^{2^{n}}+5^{2^{n}}}{2}}} 1, 2, 4, … 13 6 13 2 n + 6 2 n {\displaystyle 13^{2^{n}}+6^{2^{n}}} 0, 6, … 13 7 13 2 n + 7 2 n 2 {\displaystyle {\frac {13^{2^{n}}+7^{2^{n}}}{2}}} 1, … 13 8 13 2 n + 8 2 n {\displaystyle 13^{2^{n}}+8^{2^{n}}} 1, 3, 4, … 13 9 13 2 n + 9 2 n 2 {\displaystyle {\frac {13^{2^{n}}+9^{2^{n}}}{2}}} 0, 3, … 13 10 13 2 n + 10 2 n {\displaystyle 13^{2^{n}}+10^{2^{n}}} 0, 1, 2, 4, … 13 11 13 2 n + 11 2 n 2 {\displaystyle {\frac {13^{2^{n}}+11^{2^{n}}}{2}}} 2, … 13 12 13 2 n + 12 2 n {\displaystyle 13^{2^{n}}+12^{2^{n}}} 1, 2, 5, … 14 1 14 2 n + 1 2 n {\displaystyle 14^{2^{n}}+1^{2^{n}}} 1, … 14 3 14 2 n + 3 2 n {\displaystyle 14^{2^{n}}+3^{2^{n}}} 0, 3, … 14 5 14 2 n + 5 2 n {\displaystyle 14^{2^{n}}+5^{2^{n}}} 0, 2, 4, 8, …	ba F n ( b , a ) {\displaystyle F_{n}(b,a)} n {\displaystyle n} , für das F n ( b , a ) {\displaystyle F_{n}(b,a)} prim ist 14 9 14 2 n + 9 2 n {\displaystyle 14^{2^{n}}+9^{2^{n}}} 0, 1, 8, … 14 11 14 2 n + 11 2 n {\displaystyle 14^{2^{n}}+11^{2^{n}}} 1, … 14 13 14 2 n + 13 2 n {\displaystyle 14^{2^{n}}+13^{2^{n}}} 2, … 15 1 15 2 n + 1 2 n 2 {\displaystyle {\frac {15^{2^{n}}+1^{2^{n}}}{2}}} 1, … 15 2 15 2 n + 2 2 n {\displaystyle 15^{2^{n}}+2^{2^{n}}} 0, 1, … 15 4 15 2 n + 4 2 n {\displaystyle 15^{2^{n}}+4^{2^{n}}} 0, 1, … 15 7 15 2 n + 7 2 n 2 {\displaystyle {\frac {15^{2^{n}}+7^{2^{n}}}{2}}} 0, 1, 2, … 15 8 15 2 n + 8 2 n {\displaystyle 15^{2^{n}}+8^{2^{n}}} 0, 2, 3, … 15 11 15 2 n + 11 2 n 2 {\displaystyle {\frac {15^{2^{n}}+11^{2^{n}}}{2}}} 0, 1, 2, … 15 13 15 2 n + 13 2 n 2 {\displaystyle {\frac {15^{2^{n}}+13^{2^{n}}}{2}}} 1, 4, … 15 14 15 2 n + 14 2 n {\displaystyle 15^{2^{n}}+14^{2^{n}}} 0, 1, 2, 4, … 16 1 16 2 n + 1 2 n {\displaystyle 16^{2^{n}}+1^{2^{n}}} 0, 1, 2, … 16 3 16 2 n + 3 2 n {\displaystyle 16^{2^{n}}+3^{2^{n}}} 0, 2, 8, … 16 5 16 2 n + 5 2 n {\displaystyle 16^{2^{n}}+5^{2^{n}}} 1, 2, … 16 7 16 2 n + 7 2 n {\displaystyle 16^{2^{n}}+7^{2^{n}}} 0, 6, … 16 9 16 2 n + 9 2 n {\displaystyle 16^{2^{n}}+9^{2^{n}}} 1, 3, … 16 11 16 2 n + 11 2 n {\displaystyle 16^{2^{n}}+11^{2^{n}}} 2, 4, … 16 13 16 2 n + 13 2 n {\displaystyle 16^{2^{n}}+13^{2^{n}}} 0, 3, … 16 15 16 2 n + 15 2 n {\displaystyle 16^{2^{n}}+15^{2^{n}}} 0, …

Fast alle verallgemeinerten Fermatschen Zahlen sind wahrscheinlich zusammengesetzt. Bewiesen ist diese Aussage aber nicht, denn schon für b = 2 {\displaystyle b=2} und a = 1 {\displaystyle a=1} (das sind die ursprünglichen Fermat-Zahlen) wurde weiter oben im Kapitel Ungelöste Probleme erwähnt, dass man noch nicht weiß, ob ab n ≥ 5 {\displaystyle n\geq 5} alle weiteren F n {\displaystyle F_{n}} zusammengesetzt sind oder nicht. Ähnlich verhält es sich mit anderen Basen und Hochzahlen. Und obwohl schon über 11000 Faktoren von verallgemeinerten Fermatschen Zahlen bekannt sind (siehe weiter oben), ist es schwierig, solche Faktoren zu finden, zumal F n ( b , a ) {\displaystyle F_{n}(b,a)} sehr schnell sehr groß wird. Zum Teil weiß man zwar, dass diese Zahlen zusammengesetzt sein müssen, aber Primteiler kennt man von den wenigsten. Bekannt ist, dass solche Primteiler die Form k ⋅ 2 m + 1 {\displaystyle k\cdot 2^{m}+1} haben müssen. Es folgt eine Auflistung von Primfaktoren kleinerer verallgemeinerter Fermatschen Zahlen inklusive zweier etwas höherer Zahlenbeispiele, anhand derer man erkennen kann, wie schnell die Zahlen sehr hoch werden.

Liste von ausgewählten Primfaktoren von verallgemeinerten Fermatschen Zahlen der Form F n ( b , a ) = b 2 n + a 2 n ggT ⁡ ( b + a , 2 ) {\displaystyle F_{n}(b,a)={\frac {b^{2^{n}}+a^{2^{n}}}{\operatorname {ggT} (b+a,2)}}}

Ist b eine gerade Zahl, so kann _F_n(b) sowohl zusammengesetzt als auch prim sein.

Beispiel 1:

b = 8, n = 3 ergibt die zusammengesetzte Zahl

F 3 ( 8 ) = 8 2 3 + 1 = 8 8 + 1 = 16.777.217 = 97 ⋅ 257 ⋅ 673 {\displaystyle F_{3}(8)=8^{2^{3}}+1=8^{8}+1=16.777.217=97\cdot 257\cdot 673} .

Beispiel 2:

b = 6, n = 2 ergibt die Primzahl

F 2 ( 6 ) = 6 2 2 + 1 = 6 4 + 1 = 1297 {\displaystyle F_{2}(6)=6^{2^{2}}+1=6^{4}+1=1297} .

Beispiel 3:

b = 30, n = 5 ergibt die 48-stellige Primzahl

F 5 ( 30 ) = 30 2 5 + 1 = 30 32 + 1 = 185.302.018.885.184.100.000.000.000.000.000.000.000.000.000.001 {\displaystyle F_{5}(30)=30^{2^{5}}+1=30^{32}+1=185.302.018.885.184.100.000.000.000.000.000.000.000.000.000.001}

und ist gleichzeitig die kleinste verallgemeinerte Fermatsche Primzahl mit n > 4 {\displaystyle n>4} .

Ist b eine ungerade Zahl, so ist _F_n(b) als Summe einer Potenz einer ungeraden Zahl (die selbst wieder ungerade ist) und 1 immer eine gerade Zahl, somit durch 2 teilbar und deshalb für b > 1 keine Primzahl, sondern zusammengesetzt. In diesem Fall wird häufig die Zahl

F n ( b ) 2 = b 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {F_{n}(b)}{2}}={\frac {b^{2^{n}}+1}{2}}}

auf ihre Primalität untersucht. Diese Zahlen werden auch halbe verallgemeinerte Fermatsche Zahlen genannt.

Beispiel 4:

b = 3, n = 2 ergibt die gerade und somit zusammengesetzte Zahl

F 2 ( 3 ) = 3 2 2 + 1 = 3 4 + 1 = 81 + 1 = 82 = 2 ⋅ 41 {\displaystyle F_{2}(3)=3^{2^{2}}+1=3^{4}+1=81+1=82=2\cdot 41} .

Es ist aber

F 2 ( 3 ) 2 = 3 2 2 + 1 2 = 82 2 = 41 {\displaystyle {\frac {F_{2}(3)}{2}}={\frac {3^{2^{2}}+1}{2}}={\frac {82}{2}}=41}

eine Primzahl.

Beispiel 5:

b = 5, n = 3 ergibt die gerade und somit zusammengesetzte Zahl

F 3 ( 5 ) = 5 2 3 + 1 = 5 8 + 1 = 390625 + 1 = 390626 = 2 ⋅ 17 ⋅ 11489. {\displaystyle F_{3}(5)=5^{2^{3}}+1=5^{8}+1=390625+1=390626=2\cdot 17\cdot 11489.}

Es ist aber

F 3 ( 5 ) 2 = 5 2 3 + 1 2 = 390626 2 = 195313 = 17 ⋅ 11489 {\displaystyle {\frac {F_{3}(5)}{2}}={\frac {5^{2^{3}}+1}{2}}={\frac {390626}{2}}=195313=17\cdot 11489}

eine zusammengesetzte Zahl.

Verallgemeinerte Fermatsche Zahlen der Form F n ( b ) = b 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}(b)=b^{2^{n}}+1} (für gerade b {\displaystyle b} ) bzw. der Form F n ( b ) 2 = b 2 n + 1 2 {\displaystyle {\tfrac {F_{n}(b)}{2}}={\tfrac {b^{2^{n}}+1}{2}}} (für ungerade b {\displaystyle b} ) sind in den meisten Fällen zusammengesetzt. Weil diese Zahlen sehr schnell sehr groß werden, sind nicht besonders viele Primzahlen dieser Art bekannt. Es folgt eine Auflistung von Primzahlen der Form F n ( b ) {\displaystyle F_{n}(b)} mit konstantem b ≤ 60 {\displaystyle b\leq 60} :

Liste der verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen der Form F n ( b ) = b 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}(b)=b^{2^{n}}+1} bzw. der Form F n ( b ) 2 = b 2 n + 1 2 {\displaystyle {\tfrac {F_{n}(b)}{2}}={\tfrac {b^{2^{n}}+1}{2}}} mit konstantem b ≤ 60 {\displaystyle b\leq 60}

b F n ( b ) {\displaystyle F_{n}(b)} bzw. F n ( b ) 2 {\displaystyle {\tfrac {F_{n}(b)}{2}}} n {\displaystyle n} , für die F n ( b ) {\displaystyle F_{n}(b)} bzw. F n ( b ) 2 {\displaystyle {\tfrac {F_{n}(b)}{2}}} prim ist 0 0 2 n + 1 = 1 {\displaystyle 0^{2^{n}}+1=1} es gibt keine Primzahlen dieser Form 1 1 2 n + 1 2 = 1 {\displaystyle {\frac {1^{2^{n}}+1}{2}}=1} es gibt keine Primzahlen dieser Form 2 2 2 n + 1 {\displaystyle 2^{2^{n}}+1} 0, 1, 2, 3, 4, … 3 3 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {3^{2^{n}}+1}{2}}} 0, 1, 2, 4, 5, 6, … 4 4 2 n + 1 {\displaystyle 4^{2^{n}}+1} 0, 1, 2, 3, … 5 5 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {5^{2^{n}}+1}{2}}} 0, 1, 2, … 6 6 2 n + 1 {\displaystyle 6^{2^{n}}+1} 0, 1, 2, … 7 7 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {7^{2^{n}}+1}{2}}} 2, … 8 8 2 n + 1 {\displaystyle 8^{2^{n}}+1} es gibt keine Primzahlen dieser Form 9 9 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {9^{2^{n}}+1}{2}}} 0, 1, 3, 4, 5, … 10 10 2 n + 1 {\displaystyle 10^{2^{n}}+1} 0, 1, … 11 11 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {11^{2^{n}}+1}{2}}} 1, 2, … 12 12 2 n + 1 {\displaystyle 12^{2^{n}}+1} 0, … 13 13 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {13^{2^{n}}+1}{2}}} 0, 2, 3, … 14 14 2 n + 1 {\displaystyle 14^{2^{n}}+1} 1, … 15 15 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {15^{2^{n}}+1}{2}}} 1, …	b F n ( b ) {\displaystyle F_{n}(b)} bzw. F n ( b ) 2 {\displaystyle {\frac {F_{n}(b)}{2}}} n {\displaystyle n} , für die F n ( b ) {\displaystyle F_{n}(b)} bzw. F n ( b ) 2 {\displaystyle {\frac {F_{n}(b)}{2}}} prim ist 16 16 2 n + 1 {\displaystyle 16^{2^{n}}+1} 0, 1, 2, … 17 17 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {17^{2^{n}}+1}{2}}} 2, … 18 18 2 n + 1 {\displaystyle 18^{2^{n}}+1} 0, … 19 19 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {19^{2^{n}}+1}{2}}} 1, … 20 20 2 n + 1 {\displaystyle 20^{2^{n}}+1} 1, 2, … 21 21 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {21^{2^{n}}+1}{2}}} 0, 2, 5, … 22 22 2 n + 1 {\displaystyle 22^{2^{n}}+1} 0, … 23 23 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {23^{2^{n}}+1}{2}}} 2, … 24 24 2 n + 1 {\displaystyle 24^{2^{n}}+1} 1, 2, … 25 25 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {25^{2^{n}}+1}{2}}} 0, 1, … 26 26 2 n + 1 {\displaystyle 26^{2^{n}}+1} 1, … 27 27 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {27^{2^{n}}+1}{2}}} es gibt keine Primzahlen dieser Form 28 28 2 n + 1 {\displaystyle 28^{2^{n}}+1} 0, 2, … 29 29 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {29^{2^{n}}+1}{2}}} 1, 2, 4, … 30 30 2 n + 1 {\displaystyle 30^{2^{n}}+1} 0, 5, …	b F n ( b ) {\displaystyle F_{n}(b)} bzw. F n ( b ) 2 {\displaystyle {\tfrac {F_{n}(b)}{2}}} n {\displaystyle n} , für die F n ( b ) {\displaystyle F_{n}(b)} bzw. F n ( b ) 2 {\displaystyle {\tfrac {F_{n}(b)}{2}}} prim ist 31 31 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {31^{2^{n}}+1}{2}}} noch keine bekannt 32 32 2 n + 1 {\displaystyle 32^{2^{n}}+1} es gibt keine Primzahlen dieser Form 33 33 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {33^{2^{n}}+1}{2}}} 0, 3, … 34 34 2 n + 1 {\displaystyle 34^{2^{n}}+1} 2, … 35 35 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {35^{2^{n}}+1}{2}}} 1, 2, 6, … 36 36 2 n + 1 {\displaystyle 36^{2^{n}}+1} 0, 1, … 37 37 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {37^{2^{n}}+1}{2}}} 0, … 38 38 2 n + 1 {\displaystyle 38^{2^{n}}+1} noch keine bekannt 39 39 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {39^{2^{n}}+1}{2}}} 1, 2, … 40 40 2 n + 1 {\displaystyle 40^{2^{n}}+1} 0, 1, … 41 41 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {41^{2^{n}}+1}{2}}} 4, … 42 42 2 n + 1 {\displaystyle 42^{2^{n}}+1} 0, … 43 43 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {43^{2^{n}}+1}{2}}} 3, … 44 44 2 n + 1 {\displaystyle 44^{2^{n}}+1} 4, … 45 45 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {45^{2^{n}}+1}{2}}} 0, 1, …	b F n ( b ) {\displaystyle F_{n}(b)} bzw. F n ( b ) 2 {\displaystyle {\tfrac {F_{n}(b)}{2}}} n {\displaystyle n} , für die F n ( b ) {\displaystyle F_{n}(b)} bzw. F n ( b ) 2 {\displaystyle {\tfrac {F_{n}(b)}{2}}} prim ist 46 46 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {46^{2^{n}}+1}{2}}} 0, 2, 9, … 47 47 2 n + 1 {\displaystyle 47^{2^{n}}+1} 3, … 48 48 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {48^{2^{n}}+1}{2}}} 2, … 49 49 2 n + 1 {\displaystyle 49^{2^{n}}+1} 1, … 50 50 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {50^{2^{n}}+1}{2}}} noch keine bekannt 51 51 2 n + 1 {\displaystyle 51^{2^{n}}+1} 1, 3, 6, … 52 52 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {52^{2^{n}}+1}{2}}} 0, … 53 53 2 n + 1 {\displaystyle 53^{2^{n}}+1} 3, … 54 54 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {54^{2^{n}}+1}{2}}} 1, 2, 5, … 55 55 2 n + 1 {\displaystyle 55^{2^{n}}+1} noch keine bekannt 56 56 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {56^{2^{n}}+1}{2}}} 1, 2, … 57 57 2 n + 1 {\displaystyle 57^{2^{n}}+1} 0, 2, … 58 58 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {58^{2^{n}}+1}{2}}} 0, … 59 59 2 n + 1 {\displaystyle 59^{2^{n}}+1} 1, … 60 60 2 n + 1 2 {\displaystyle {\frac {60^{2^{n}}+1}{2}}} 0, …

Die kleinsten n {\displaystyle n} (ab b = 2 {\displaystyle b=2} ), für die F n ( b ) {\displaystyle F_{n}(b)} bzw. F n ( b ) 2 {\displaystyle {\tfrac {F_{n}(b)}{2}}} erstmals eine Primzahl ergibt, kann man der obigen Tabelle entnehmen, was für alle b ≤ 1500 {\displaystyle b\leq 1500} die folgende Liste ergibt (der Wert −1 bedeutet „nicht existent“ bzw. „noch keine bekannt“):

0, 0, 0, 0, 0, 2, −1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 0, 2, 1, 0, 1, −1, 0, 1, 0, −1, −1, 0, 2, 1, 0, 0, −1, 1, 0, 4, 0, 3, 4, 0, 0, 3, 2, 1, −1, 1, 0, 3, 1, −1, 1, 0, 0, 1, 0, … (Folge A253242 in OEIS)

Mehr Informationen für gerade b {\displaystyle b} bis zur Basis b = 1000 {\displaystyle b=1000} findet man im Internet.[40]

Nun folgt eine Auflistung von Primzahlen der Form F n ( b ) {\displaystyle F_{n}(b)} mit konstantem n {\displaystyle n} :

Liste der verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen der Form F n ( b ) = b 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}(b)=b^{2^{n}}+1} mit konstantem n {\displaystyle n}

n	_F_n(b)	b, für die _F_n(b) prim ist	OEIS-Folge
0	b + 1 {\displaystyle b+1}	1, 2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, 156, 162, 166, 172, 178, 180, 190, 192, 196, 198, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 250, 256, 262, 268, 270, … (alle Primzahlen minus 1)	(Folge A006093 in OEIS)
1	b 2 + 1 {\displaystyle b^{2}+1}	1, 2, 4, 6, 10, 14, 16, 20, 24, 26, 36, 40, 54, 56, 66, 74, 84, 90, 94, 110, 116, 120, 124, 126, 130, 134, 146, 150, 156, 160, 170, 176, 180, 184, 204, 206, 210, 224, 230, 236, 240, 250, 256, 260, 264, 270, 280, 284, 300, 306, 314, 326, 340, 350, 384, 386, 396, …	(Folge A005574 in OEIS)
2	b 4 + 1 {\displaystyle b^{4}+1}	1, 2, 4, 6, 16, 20, 24, 28, 34, 46, 48, 54, 56, 74, 80, 82, 88, 90, 106, 118, 132, 140, 142, 154, 160, 164, 174, 180, 194, 198, 204, 210, 220, 228, 238, 242, 248, 254, 266, 272, 276, 278, 288, 296, 312, 320, 328, 334, 340, 352, 364, 374, 414, 430, 436, 442, 466, …	(Folge A000068 in OEIS)
3	b 8 + 1 {\displaystyle b^{8}+1}	1, 2, 4, 118, 132, 140, 152, 208, 240, 242, 288, 290, 306, 378, 392, 426, 434, 442, 508, 510, 540, 542, 562, 596, 610, 664, 680, 682, 732, 782, 800, 808, 866, 876, 884, 892, 916, 918, 934, 956, 990, 1022, 1028, 1054, 1106, 1120, 1174, 1224, 1232, 1256, 1284, …	(Folge A006314 in OEIS)
4	b 16 + 1 {\displaystyle b^{16}+1}	1, 2, 44, 74, 76, 94, 156, 158, 176, 188, 198, 248, 288, 306, 318, 330, 348, 370, 382, 396, 452, 456, 470, 474, 476, 478, 560, 568, 598, 642, 686, 688, 690, 736, 774, 776, 778, 790, 830, 832, 834, 846, 900, 916, 946, 956, 972, 982, 984, 1018, 1044, 1078, …	(Folge A006313 in OEIS)
5	b 32 + 1 {\displaystyle b^{32}+1}	1, 30, 54, 96, 112, 114, 132, 156, 332, 342, 360, 376, 428, 430, 432, 448, 562, 588, 726, 738, 804, 850, 884, 1068, 1142, 1198, 1306, 1540, 1568, 1596, 1678, 1714, 1754, 1812, 1818, 1878, 1906, 1960, 1962, 2046, 2098, 2118, 2142, 2330, 2418, 2434, 2654, 2668, …	(Folge A006315 in OEIS)
6	b 64 + 1 {\displaystyle b^{64}+1}	1, 102, 162, 274, 300, 412, 562, 592, 728, 1084, 1094, 1108, 1120, 1200, 1558, 1566, 1630, 1804, 1876, 2094, 2162, 2164, 2238, 2336, 2388, 2420, 2494, 2524, 2614, 2784, 3024, 3104, 3140, 3164, 3254, 3278, 3628, 3694, 3738, 3750, 4000, 4030, 4058, 4166, …	(Folge A006316 in OEIS)
7	b 128 + 1 {\displaystyle b^{128}+1}	1, 120, 190, 234, 506, 532, 548, 960, 1738, 1786, 2884, 3000, 3420, 3476, 3658, 4258, 5788, 6080, 6562, 6750, 7692, 8296, 9108, 9356, 9582, 9706, 10238, 10994, 11338, 11432, 11466, 11554, 11778, 12704, 12766, 13082, 13478, 13700, …	(Folge A056994 in OEIS)
8	b 256 + 1 {\displaystyle b^{256}+1}	1, 278, 614, 892, 898, 1348, 1494, 1574, 1938, 2116, 2122, 2278, 2762, 3434, 4094, 4204, 4728, 5712, 5744, 6066, 6508, 6930, 7022, 7332, 8524, 8644, 8762, 8808, 9024, 9142, 9412, 10892, 12206, 13220, 13222, 13246, 13370, 13738, 14114, 14930, …	(Folge A056995 in OEIS)
9	b 512 + 1 {\displaystyle b^{512}+1}	1, 46, 1036, 1318, 1342, 2472, 2926, 3154, 3878, 4386, 4464, 4474, 4482, 4616, 4688, 5374, 5698, 5716, 5770, 6268, 6386, 6682, 7388, 7992, 8678, 8792, 9448, 9452, 9972, 10086, 10448, 10926, 11468, 12754, 13198, 13776, 14734, 16826, 16914, 18334, …	(Folge A057465 in OEIS)
10	b 1024 + 1 {\displaystyle b^{1024}+1}	1, 824, 1476, 1632, 2462, 2484, 2520, 3064, 3402, 3820, 4026, 6640, 7026, 7158, 9070, 12202, 12548, 12994, 13042, 15358, 17646, 17670, 18336, 19564, 20624, 22500, 24126, 26132, 26188, 26240, 29074, 29658, 30778, 31126, 32244, 33044, 34016, …	(Folge A057002 in OEIS)
11	b 2048 + 1 {\displaystyle b^{2048}+1}	1, 150, 2558, 4650, 4772, 11272, 13236, 15048, 23302, 26946, 29504, 31614, 33308, 35054, 36702, 37062, 39020, 39056, 43738, 44174, 45654, 46502, 47348, 49190, 49204, 49544, 54514, 57210, 59770, 61184, 66894, 68194, 70574, 72446, 82642, …	(Folge A088361 in OEIS)
12	b 4096 + 1 {\displaystyle b^{4096}+1}	1, 1534, 7316, 17582, 18224, 28234, 34954, 41336, 48824, 51558, 51914, 57394, 61686, 62060, 89762, 96632, 98242, 100540, 101578, 109696, 110540, 114690, 125440, 125442, 127596, 138068, 144362, 154908, 157310, 161822, 161900, 166224, …	(Folge A088362 in OEIS)
13	b 8192 + 1 {\displaystyle b^{8192}+1}	1, 30406, 71852, 85654, 111850, 126308, 134492, 144642, 147942, 150152, 165894, 176206, 180924, 201170, 212724, 222764, 225174, 241600, 241860, 248744, 268032, 270674, 302368, 316970, 326260, 347962, 350830, 397468, 410938, 416010, 441238, 443718, 458520, 462678, 463012, 475158, 481750, …, 352666770, …	(Folge A226528 in OEIS)
14	b 16384 + 1 {\displaystyle b^{16384}+1}	1, 67234, 101830, 114024, 133858, 162192, 165306, 210714, 216968, 229310, 232798, 422666, 426690, 449732, 462470, 468144, 498904, 506664, 509622, 528614, 572934, 581424, 638980, 641762, 656210, 698480, 704930, 730352, 795810, 840796, 908086, 975248, 976914, 990908, 1007874, 1037748, 1039970, 1067896, 1082054, 1097352, 1102754, 1132526, 1162996, 1171010, 1177808, 1181388, …, 10841645805132531666786792405311319418846637043199917731311876, …	(Folge A226529 in OEIS)
15	b 32768 + 1 {\displaystyle b^{32768}+1}	1, 70906, 167176, 204462, 249830, 321164, 330716, 332554, 429370, 499310, 524552, 553602, 743788, 825324, 831648, 855124, 999236, 1041870, 1074542, 1096382, 1113768, 1161054, 1167528, 1169486, 1171824, 1210354, 1217284, 1277444, 1519380, 1755378, 1909372, 1922592, 1986700, 2034902, 2147196, 2167350, …, 3292665455999520712131951642528, …[41]	(Folge A226530 in OEIS)
16	b 65536 + 1 {\displaystyle b^{65536}+1}	1, 48594, 108368, 141146, 189590, 255694, 291726, 292550, 357868, 440846, 544118, 549868, 671600, 843832, 857678, 1024390, 1057476, 1087540, 1266062, 1361846, 1374038, 1478036, 1483076, 1540550, 1828502, 1874512, 1927034, 1966374, 2019300, 2041898, 2056292, 2162068, 2177038, 2187182, 2251082, 2313394, …, 1814570322984178, …[42]	(Folge A251597 in OEIS)
17	b 131072 + 1 {\displaystyle b^{131072}+1}	1, 62722, 130816, 228188, 386892, 572186, 689186, 909548, 1063730, 1176694, 1361244, 1372930, 1560730, 1660830, 1717162, 1722230, 1766192, 1955556, 2194180, 2280466, 2639850, 3450080, 3615210, 3814944, 4085818, 4329134, 4893072, 4974408, 5326454, 5400728, 5471814, 5586416, 5734100, 5877582, 6391936, 6403134, 6705932, 7379442, 7832704, 7858180, 7926326, 8150484, 8704114, 8770526, 9240606, 9419976, 9785844, 9907326, 10037266, 10368632, 10453790, 10765720, 10921162, 10962066, 10994460, 11036888, 11195602, 11267296, 11292782, 11778792, 11876066, 12343130, 12357518, 12512992, 12661786, 12687374, 12851074, 12961862, 12978952, 13083418, 13433028, 13613070, 13800346, 14020004, 14217182, 14613898, 14790404, 15091270, 15147290, 15237960, 15342502, 15567144, 15667716, 15731520, 16329572, 16741226, 16985784, 17025822, 17052490, 17119936, 17138628, 17141888, 17643330, 17814792, 17958952, 18298534, 18309468, 18501600, 18509226, 18608780, 18813106, 18968126, 19216648, 19464034, 20185276, 20227142, 20234282, 20674450, 20968936, 21517658, 21582550, 21757066, 21869554, 21917442, 22007146, 22705306, 22718284, 22808110, 22901508, 22980158, 23011666, 23045178, 23363426, 24297936, 24486806, 24522386, 24641166, 24642712, 24644826, 24734116, 25124378, 25128150, 26172278, 26500832, 26599558, 26757382, 26896670, 27022768, 27408050, 27544748, 27557876, 27758510, 27822108, 28175634, 28294666, 28398204, 28497098, 29169314, 29505368, 29607314, 29959190, 30022816, 30059800, 30225714, 30300414, 30315072, 30318724, 30819256, 30844300, 31044982, 31145080, 31469984, 31768014, 31821360, 32055422, 32096608, 32137342, 32200644, 32286660, 32348894, 32417420, 32430486, 32608738, 32704348, 32792696, 32869172, 33191418, 33395198, 33474284, 33732746, 34087952, 34530386, 34585314, 34763644, 34871942, 34957136, 35047222, 35139782, 35141602, 35282096, 35327718, 35372304, 35391288, 35957420, 35997532, 36038176, 36416848, 36422846, 36531196, 37909914, 38152876, 38196496, 38310998, 38734748, 38824296, 39100746, 39324372, 39502358, 39597790, 39746366, 40151896, 40463598, 40550398, 41001148, 41007562, 41102236, 41237116, 41364744, 41688706, 42168978, 42230406, 42243204, 42254832, 42414020, 42550702, 42654182, 43163894, 43165206, 44049878, 44085096, 44330870, 44438760, 44919410, 45315256, 45570624, 46077492, 46371508, 46385310, 46413358, 46730280, 46736070, 46776558, 47090246, 47179704, 48273828, 48370248, 48643706, 49038514, 49090656, 49225986, 49243622, 49331672, 49397682, 49530004, 49817700, 50055102, 50110436, 50217306, 50495632, 50844724, 50963598, 51269192, 51567684, 51570250, 51580416, 51872628, 51954384, 52043532, 52412612, 52712138, 53078434, 53161266, 53659976, 54032538, 54161106, 54206254, 54212352, 54334044, 54361742, 54548788, 55015050, 55184170, 55268442, 55579418, 55645700, 56307420, 56383242, 56459558, 56584816, 56735576, 56917336, 57438404, 57594734, 57694224, 57704312, 58247118, 58447642, 58447816, 58523466, 58589880, 59161754, 59210784, 59305348, 59362002, 59405420, 59515830, 59692546, 59720358, 60133106, 60455792, 60540024, 60642326, 61030988, 61267078, 61837354, 62146946, 62276102, 63112418, 63165756, 63168480, 63823568, 64024604, 64476916, 64506894, 64568930, 64791668, 64911056, 65200798, 65305572, 65569854, 65791182, 66131722, 66272848, 66901180, 66982940, 67371416, 67725850, 67894288, 68275006, 68372810, 68536972, 68811158, 68918852, 68924112, 68999820, 69534788, 69565722, 69622572, 69689592, 69742382, 69915032, 70022042, 70050828, 70421038, 70658696, 70893680, 70934282, 70948704, 70960658, 71450224, 71679108, 71732900, 72070092, 72602370, 73099962, 73132228, 73160610, 73404316, 73690464, 73839292, 74325990, 74363146, 74381296, 74396818, 74817490, 74833516, 75521414, 75647276, 75861530, 76018874, 76026988, 76416048, 77281404, 77469882, 77918854, 77924964, 78089172, 78240016, 78439440, 78714954, 78851276, 78880690, 78910032, 79201682, 79383608, 79428414, 79485098, 79789806, 79801426, 79912550, 80146408, 80284312, 81096098, 81444036, 81477176, 81976506, 82003030, 82008736, 83003850, 83328182, 83364886, 84149050, 84384358, 84445014, 84679936, 84715930, 84723284, 84757790, 84765338, 84817722, 84924212, 85115888, 86060696, 86295564, 86347638, 86413544, 86829162, 87039658, 87116452, 87192538, 87268788, 87352356, 87370574, 87454694, 87547832, 87920992, 88068088, 88166868, 88243020, 88760062, 89113896, 89285798, 89790434, 89977312, 90006846, 90382348, 90857490, 90938686, 90942952, 91033554, 91049202, 91069366, 91655310, 91685784, 91689894, 91707732, 91767880, 92198216, 92460588, 93035888, 93514592, 93773904, 93886318, 93950924, 94978760, 95308284, 95596816, 95635202, 95940796, 96111850, 96475576, 96734274, 96821302, 97046574, 97512766, 98137862, 98200338, 98240694, 98518362, 98557818, 98652282, 98922946, 98978354, 99189780, 99351950, 99557826, 99650934, 99665972, 100010426, …, 271643232, …, 314187728, …, 399866798, …[43]	(Folge A253854 in OEIS)
18	b 262144 + 1 {\displaystyle b^{262144}+1}	1, 24518, 40734, 145310, 361658, 525094, 676754, 773620, 1415198, 1488256, 1615588, 1828858, 2042774, 2514168, 2611294, 2676404, 3060772, 3547726, 3596074, 3673932, 3853792, 3933508, 4246258, 4489246, 5152128, 5205422, 5828034, 6287774, 6291332, 8521794, 8883864, 9125820, 9450844, 9750938, 9812766, 10578478, 10627360, 10793312, 10829576, 10979776, 11081688, 12189878, 12304152, 12529818, 12582496, 12959788, 13039868, 13553882, 13640376, 13911580, 14103144, 14399216, 14741470, 15417192, 15859176, 15913772, 16048460, 16769618, 19322744, 19527922, 19859450, 20105956, 20543682, 20710506, 20866766, 22470828, 22479752, 22480000, 22790808, 22984886, 23479122, 23591460, 24429706, 24678636, 25333402, 25461468, 25635940, 25690360, 25875054, 26128000, 26640150, 27615064, 27789002, 28004468, 28259150, 28342134, 29097000, 29333122, 29353924, 29445800, 29614286, 29645358, 30941436, 31371484, 32067848, 32171198, 32497152, 33061466, 33491530, 33798406, 34443124, 35196086, 36210400, 36717890, 36748386, 36778106, 37047448, 37349040, 37689944, 37700936, 37787006, 37986650, 38108804, 38214850, 38738332, 38786700, 38786786, 39164812, 39896728, 40460760, 42006214, 42474318, 42781592, 43330794, 44030166, 44144624, 44666524, 44819108, 45007104, 45073202, 46378776, 46831458, 47255958, 47281922, 47351862, 47707672, 48055302, 49209090, 49235348, 49536902, 50121532, 50366208, 50449664, 50454356, 51125138, 51283286, 51714136, 51852794, 51992174, 52592976, 52599274, 52648144, 53008094, 53311612, 53616962, 53750036, 53903472, 54044092, 54528918, 54852328, 55007338, 55169618, 55695224, 55702322, 55892864, 55952434, 56295176, 56303352, 57429230, 57478518, 57594478, 57643582, 58288282, 58333324, 58846688, 58870004, 58936230, 59145944, 61238184, 62136706, 62152830, 62199610, 62311952, 62747994, 62767176, 63286690, 63448958, 63558122, 63784742, 63833640, 64010198, 64074894, 64989720, 65136498, 66266188, 66342922, 66498472, 67062340, 67141518, 67167678, 67433562, 67535128, 67673558, 67886950, 68000464, 68717884, 69170386, 69290228, 69810332, 69844790, 70349734, 70520422, 71107798, 71380700, 71737620, 72071732, 72718062, 72752758, 72862906, 73116844, 73465436, 73589294, …[44]	(Folge A244150 in OEIS)
19	b 524288 + 1 {\displaystyle b^{524288}+1}	1, 75898, 341112, 356926, 475856, 1880370, 2061748, 2312092, 2733014, 2788032, 2877652, 2985036, 3214654, 3638450, 4896418, 6339004, 8630170, 9332124, 10913140, 11937916, 12693488, 12900356, 13427472, 13520762, 15852200, 15958750, 16211276, 17177670, 17445908, 17502532, 17544674, …[45]	(Folge A243959 in OEIS)
20	b 1048576 + 1 {\displaystyle b^{1048576}+1}	1, 919444, 1059094, 1951734, 1963736, 3843236, 5336284, …[46]	(Folge A321323 in OEIS)
21	b 2097152 + 1 {\displaystyle b^{2097152}+1}	1, 2524190, …[47]

Stand: 30. November 2025

Die kleinsten b {\displaystyle b} (mit b ≥ 2 {\displaystyle b\geq 2} ), für die F n ( b ) {\displaystyle F_{n}(b)} erstmals eine Primzahl ergibt, kann man der obigen Tabelle entnehmen, was die folgende Liste ergibt:

2, 2, 2, 2, 2, 30, 102, 120, 278, 46, 824, 150, 1534, 30406, 67234, 70906, 48594, 62722, 24518, 75898, 919444, … (Folge A056993 in OEIS)

Der folgenden Liste kann man die 10 größten bekannten verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen entnehmen. Sämtliche Entdecker dieser Primzahlen sind Teilnehmer des PrimeGrid-Projektes. In der zweiten Spalte steht, die wievieltgrößte bekannte Primzahl diese Fermatsche Primzahl im Moment ist.

Die 10 größten bekannten verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen

Die meisten der oben genannten Ergebnisse konnten natürlich nur mit Hilfe von Computern gefunden werden.

• Mersenne-Primzahl

• Prothsche Primzahl

• 257-Eck

• 4294967295-Eck

• Solomon W. Golomb: On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities. In: Canad. J. Math., Vol. 15, 1963, S. 475–478.

• Florian Luca: The Anti-Social Fermat Number. In: American Mathematical Monthly, Vol. 107, Nr. 2, Februar 2000, S. 171–173.

• Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: On the Convergence of Series of Reciprocals of Primes Related to the Fermat Numbers. In: Journal of Number Theory, Vol. 97, Nr. 1 (Nov. 2002), S. 95–112.

• Aleksander Grytczuk, Florian Luca, Marek Wójtowicz: Another note on the greatest prime factors of Fermat numbers. In: Southeast Asian Bulletin of Mathematics, Vol. 25, Nr. 1 (Juli 2001), S. 111–115.

• Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry. In: Canad. J. Math., S. 132–138.

• Fredrick Kennard: Unsolved Problems in Mathematics. Lulu.com, Morrisville (NC) 2015. ISBN 978-1312938113. S. 56.

• Distributed Search for Fermat Number Divisors.

• Eric W. Weisstein: Fermat Number. In: MathWorld (englisch).

• Factors of generalized Fermat numbers found by Björn & Riesel.

• Factors of generalized Fermat numbers found after Björn & Riesel.

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19. 1 2 Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Theorem 3.9. Hrsg.: Canadian Mathematical Society. S. 29 (google.at).
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29. 1 2 Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Theorem 12.16. Hrsg.: Canadian Mathematical Society. S. 138 (google.at).
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