Beziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe (original) (raw)

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Literatur

1. Für die hier auftretenden Begriffe “Hauptordnung”, “Ordnung”, “primäre Komponenten” usw. siehe E. Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, Math. Annalen96 (1926), S. 26–61 (zitiert mit N). Als Ordnung eines algebraischen Zahlkörpers bezeichnet man mit Dedekind jeden darin enthaltenen Ring aus ganzen algebraischen Zahlen, der das System aller ganzen rationalen Zahlen umfaßt.
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2. R. Dedekind, Über die Discriminanten endlicher Körper, Abhandlungen der Göttinger Gesellschaft der Wissenschaften29 (1882).
3. D. Hilbert, Zahlbericht, § 38–47.
4. R. Dedekind, Zur Theorie der Ideale, Göttinger Nachrichten 1894, S. 272 ff.
5. R. Dedekind, Über die Anzahl der Idealklassen in den verschiedenen Ordnungen eines endlichen Körpers. Braunschweig 1877.
6. Nach persönlicher Mitteilung durch Manuskripte.
7. Hentzelt-Noether, Zur Theorie der Polynomideale und Resultanten, Math. Annalen88 (1922), S. 53–79.
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8. E. Noether, Eliminationstheorie und allgemeine Idealtheorie, Math. Annalen90 (1923), S. 229–261.
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9. G. Hermann, Die Frage der endlichvielen Schnitte in der Theorie der Polynomideale, Math. Annalen95 (1926), S. 736–788.
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10. Dirichlet-Dedekind, Vorlesungen über Zahlentheorie, IV. Auflage, S. 434–657 (zitiert mit Z. IV; die III. Aufl. entspr. mit Z. III).
11. Math. Annalen53 (1900), S. 371–403. Auf diese Arbeit machte mich nachträglich E. Noether aufmerksam; vgl. auch die dann noch erschienene Note von W. Krull, Axiomatische Begründung der allgemeinen Idealtheorie, Berichte der phys. med. Sozietät in Erlangen56 (1924).
12. Vgl. den 1. Abschnitt dieser Einleitung.
13. Ph. Furtwängler, Über die Führer von Zahlringen, Wiener Berichte128 (1919), S. 239–245, Satz 2.
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14. Vgl. die Fußnote zu S. 28 der in 2). zitierten Dedekindschen Arbeit.
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15. Vgl. hierzu N. Fußnote 6) Nach persönlicher Mitteilung durch Manuskripte.
16. Vgl. Steinitz, Algebr. Theorie der Körper, § 1; Journal f. Math.137 (1910), S. 167–309.
17. Die Axiome sind natürlich so gewählt, daß sie mit den Sätzen übereinstimmen, die für die in üblicher Weise aus den Elementen eines Ringes gebildeten Moduln gelten. — Unter einer_Modulgruppe_ ist im folgenden ein System_M_ von Moduln mit Gleichheitsrelationen, den beiden Verknüpfungen der Summen- und Differenzbildung sowie der Gültigkeit der beiden Axiomgruppen I und II und des ersten distributiven Gesetzes verstanden, entsprechend der in 11) Math. Annalen53 (1900), S. 371–403. erwähnten Dedekindschen Arbeit.
18. Diese Tatsache ist schon von Dedekind in der in 11) Math. Annalen53 (1900), S. 371–403. erwähnten Arbeit ausgesprochen und benutzt.
19. Diese Definition der Teilerfremdheit gibt W. Krull in der in 11) Math. Annalen53 (1900), S. 371–403. erwähnten Note.
20. Auf die Existenz eines zugehörigen Primideals läßt sich im allgemeinen nicht schließen, vgl. dazu 6.
21. E. Steinitz, Algebr. Theorie der Körper, § 3; Journal f. Math.137 (1910).
22. Ein Element heißt regulär, wenn es nicht Nullteiler ist. Soll die Gleichheit in P/G die üblichen Gesetze erfüllen, so ist die Beschränkung auf_reguläre_ Elemente als Nenner unbedingt notwendig. Beweis: Sei_a_ 1 aus_G_ nicht regulär, dann gibt es ein_a_ 2≠0 aus P, so daß_a_ 1·a 2=0 wird. Man hätte dann bei Annahme der üblichen Gleichheitsbedingungen_a_ 2=0/a 1=0, also_a_ 2=0, im Widerspruch zu_a_ 2≠0.
23. C ist also insbesondere Modulgruppe.
24. Vgl. Fußnote 17) Die Axiome sind natürlich so gewählt, daß sie mit den Sätzen übereinstimmen, die für die in üblicher Weise aus den Elementen eines Ringes gebildeten Moduln gelten. — Unter einer_Modulgruppe_ ist im folgenden ein System_M_ von Moduln mit Gleichheitsrelationen, den beiden Verknüpfungen der Summen- und Differenzbildung sowie der Gültigkeit der beiden Axiomgruppen I und II und des ersten distributiven Gesetzes verstanden, entsprechend der in 11) Math. Annalen53 (1900), S. 371–403. erwähnten Dedekindschen Arbiet. Die Tatsachen von 1. verdanke ich einer Vorlesung, die hier gegebenen einfachen Beweise einem Manuskript von E. Noether. Entsprechend dem Zweck dieser Arbeit werden nur endlich viele Komponenten in Betracht gezogen.
25. Der bei der Restklassenbildung auftretende, durch ≡ bezeichnete Kongruenzbegriff bezieht sich auf_Elemente_ (eines Ringes oder allgemeineren Modulbereichs) und wird demgemäß in dieser Arbeit nur bei diesen verwandt.
26. Vgl. hier S. 393 der in 11) Math. Annalen53 (1900), S. 371–403. zitierten Dedekindschen Arbeit.
27. Bei der Formulierung dieser beiden Sätze wurde ich von E. Noether unterstützt.
28. Offenbar bildet dieser Begriff des Führers samt seinen Darstellungsformen die genaue Verallgemeinerung dessen, was Dedekind in der in 2) R. Dedekind, Über die Discriminanten endlicher Körper, Abhandlungen der Göttinger Gesellschaft der Wissenschaften29 (1882). erwähnten Arbeit § 7 gibt.
29. Siehe E. Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Annalen83 (1921), S. 24–66.
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30. Vgl. Fußnote 5, R. Dedekind, Über die Anzahl der Idealklassen in den verschiedenen Ordnungen eines endlichen Körpers. Braunschweig 1877. § 5 der dort erwähnten Arbeit.
31. Die Vielfachen- und Produktdarstellung sind nach N § 4, 4 δ identisch.
32. Nach Satz 3 aus § 2, 1 läßt sich zunächst nur (P)≧(P)(f ′1 )+...+(P)(f ′1: ) aussagen.
33. Dieser Satz bildet zusammen mit den Resultaten des § 7 ein wesentliches Hilfsmittel, um den Prozeß der Erweiterung beliebiger Ideale aus P nach Σ oder den der Verengung beliebiger Ideale aus Σ nach P in den Zwischenringen von P und Σ genauer zu verfolgen. Unter Annahme von Endlichkeitsvoraussetzungen, die dem Doppelkettensatz ähneln, hat W. Krull mit ringtheoretischen Methoden hierher gehörige Untersuchungen durchgeführt; eine betreffende Arbeit wird bald erscheinen.
34. Vgl. Fußnote 12. Vgl. den 1. Abschnitt dieser Einleitung.

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