Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe (original) (raw)

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References

Für_auflösbare_ Gleichungen läßt sich die Parameterdarstellung der Koeffizienten ersetzen durch diejenige der Wurzeln. Hier hat neuerdings F. Mertens für gewiese Gruppen 8. Grades allgemeinate Wurzeldarstellungen gegeben: „Gleichungen 8ten Grades mit Quaternionengruppen”, Sitzb. d. Ak. d. Wiss., Wien, Abt. II a, Bd. 125, S. 735. Wie ich dieser Note entnehme, hat schon vorher G. Bucht für stets herstellbare Normalformen der Gleichungen 3. und 4. Grades und der Gleichungen 8. Grades mit den erwähnten Gruppen die allgemeinsten Wurzelausdrücke angegeben: „Über einige algebraische Körper achten Grades”, Arkiv for Math., Astron. och Physik, Bd. 6, Nr. 30; [Zusatz bei der Korrektur.]
Die Gesamtheit der kubischen und biquadratischen Gleichungen mit Affekt bei beliebigem Rationalitätsbereich. Erlangen 1916.
Vgl. Teil 2. der vorläufigen Mitteilung über „Rationale Funktionenkörper”, Jahresb. d. d. Math. Vereinig., Bd. 22, 1913.
Z. B. treten, wie F. Seidelmann a. a. O. gezeigt hat, nur bei der_alternierenden_ Gruppe der Gleichungen 3. und 4. Grades solche — singulären Wertsystemen entsprechende — Gleichungen auf, und zwar nur für solche Zahlkörper, Ω*, die den Körper der dritten Einheitswurzeln enthalten. Es läßt sich hier jedesmal eine einfache Ergänzungsdarstellung angeben.
J. Lüroth: Beweis eines Satzes über rationale Kurven, Math. Ann. 9 (1875); G. Castelnuovo: Sulla razionalità delle involuzioni piane, Math. Ann. 44 (1893). Daß für Körper von mehr als zwei Unbestimmten keine Minimalbasis zu existieren braucht, hat F. Enriques an einem Gegenbeispiel gezeigt, Rend. Acc. Linc., Vol. 21, 21. Jan. 1912.
Vgl. Weber Algebra (kleine Ausgabe), §93, Formel (12).
E. Fischer: Die Isomorphie der Invariantenkörper der endlichen Abelschen Gruppen linearer Transformationen. Gött. Nachr. 1915, und Zur Theorie der endlichen Abelschen Gruppen. Math. Ann. 77 (1915).

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