Idealtheoretische Deutung der Darstellbarkeit beliebiger natürlicher Zahlen durch quadratische Formen (original) (raw)

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Literatur

  1. Verzichtet man auf die Klassenbedingung, so wird das Problem arithmetisch wesentlich einfacher und ist als völlig gelöst zu betrachten. Man vergleiche etwa Dirichlet-Dedekind, Vorlesungen über Zahlentheorie, 4. Aufl. (1894), §§ 53–66 und § 91.
  2. Es handelt sich um § 182 aus dem XI. Supplement des in Fußnote2) genannten Buches von Dirichlet und Dedekind. Das hier allein in Frage kommende XI. Supplement wird im folgenden unter „Dedekind” kurz mit „a. a. O.” Vorlesungen über Zahlentheorie, 4. Aufl. (1894), §§ 53–66 zitiert.
  3. H. Weber, Lehrbuch der Algebra, 2. Aufl.,3 (1908), §§ 90–101. Im folgenden unter „H. Weber” mit „a.a.O.” zitiert.
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  4. Man vergleiche auch Hecke, Theorie der algebraischen Zahlen (1923), Kap. VII, § 53; Fricke, Lehrbuch der Algebra3 (1928), 2. Abschn., 3. Kap., § 6; Landau, Vorlesungen über Zahlentheorie3 (1927), XI. Teil, Kap. 3, §§ 2, 3.
  5. A. a. O. Theorie der algebraischen Zahlen (1923), Kap. VII, § 187, (14)
  6. Im „teilerfremden” Falle vereinfacht sich der Zusammenhang insofern, als dann die zweite Kategorie in der ersten steckt. Vgl. Satz 24.
  7. H. Grell, Beziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe. Math. Annalen97 (1927), S. 490–523.
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  8. Eine Diskriminante heißt Stammdiskriminante, wenn sie keinen quadratischen Teiler außer 1 hat, nach dessen Abspaltung eine Diskriminante übrigbleibt. Jede Diskriminante läßt sich eindeutig als Produkt-einer Quadratzahl mit einer Stammdiskriminante darstellen.
  9. Für das Folgende vgl. Dedekind, a. a. O. Vorlesungen über Zahlentheorie, 4. Aufl. (1894), §§ 53–66, S. 640–645.
  10. Die von Dedekind in der Arbeit „Über die Anzahl der Idealklassen in den verschiedenen Ordnungen eines endlichen Körpers” (Festschrift zur Säkularfeier des Geburtstages von Carl Friedrich Gauß, 1877), § 4 gegebene Definition umfaßt nach heutigen Begriffen nur einen Spezialfall. Vgl. Fußnote22). — Wohl aber findet sich der Idealbegriff in dem auch heute üblichen Sinne in der 3. Auflage des Buches von Dirichlet und Dedekind (1879), § 172, S. 522. (In der 4. Auflage ist dieser Paragraph fortgefallen, und nur die Fußnote*) auf S. 554 deutet noch auf den allgemeineren Idealbegriff hin.)
  11. Meine ursprüngliche Methode, zu diesem Ideal_c_ zu gelangen, war etwas umständlicher. Die hier gegebene Fassung verdanke ich einer Bemerkung von Fräulein E. Noether. Ähnliches gilt für den folgenden Rückweg von_c_ zur Darstellung.
  12. Diese Überlegung rührt inhaltlich von Fräulein E. Noether her.
  13. Eine Zahl_a_ heißt Potenzteiler einer Zahl_b_, wenn sie in einer, hinreichend hohen Potenz von_b_ aufgeht, d. h. wenn alle verschiedenen Primfaktoren von_a_ auch in_b_ enthalten sind.
  14. Daß es solche Substitutionen gibt, und zwar in unendlicher Anzahl, folgt aus der Teilerfremdheit der darstellenden Variablenwerte in (20).
  15. Darunter ist, wie bei Satz 11, gegebenenfalls auch die „Zahl” ∞ zu verstehen.
  16. Vgl. den Beweis zu Satz 5.
  17. Natürlich hat dieser Begriff nichts mit Idealklassen im gewöhnlichen Sinne zu tun.
  18. Im vorliegenden Spezialfall des quadratischen Körpers kann diese Klassen-einteilung auch charakterisiert werden als eine solche, die durch „Komplexion” aus der bekannten, in der Klassenkörpertheorie üblichen Einteilung in „Strahklassen” entsteht. Zu diesen Begriffen vgl. H. Hasse, Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper, Teil I: Klassenkörper-theorie (Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung35 (1926), S. 1–55, dort S. 5f und 41). — Ein entsprechender Satz für Körper höheren Grades besteht nicht.
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  19. Dieser nimmt allerdings (a.a.O.—, § 99).
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  1. Göttingen
    Werner Weber

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Die vorliegende Abhandlung ist bis auf geringfügige Änderungen ein Abdruck der von mir im April 1929 bei der mathematisch-naturwissenschaftlichen Fakultät der Universität Göttingen zur Erlangung der Doktorwürde eingereichten Dissertation. Ich habe Fräulein E. Noether für viele Ratschläge dabei zu danken.

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Weber, W. Idealtheoretische Deutung der Darstellbarkeit beliebiger natürlicher Zahlen durch quadratische Formen.Math. Ann. 102, 740–767 (1930). https://doi.org/10.1007/BF01782375

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