Promedio (original) (raw)

En el lenguaje coloquial, un promedio es un solo número tomado como representante de una lista de números. Se utilizan diferentes conceptos de promedio en distintos contextos. A menudo, "promedio" se refiere a la media aritmética: la suma de los números dividida por la cantidad de ellos. En estadística, la media, la mediana y la moda se conocen como medidas de tendencia central, y en el uso coloquial cualquiera de estas podría denominarse valor promedio.

La mayoría de las personas entienden la palabra "promedio" porque en el uso cotidiano suele referirse a números o grupos que siguen una distribución normal o curva de campana, como por ejemplo las estaturas de las personas o sus mediciones de presión arterial. Sin embargo, si la distribución de esos números no es normal, entonces lo que comúnmente consideramos "promedio" estará sesgado. Un ejemplo es el número de dedos: a algunas personas les faltan dedos, muy raramente tienen dedos de más (casi nunca más de uno adicional), lo que genera una situación en la que el número promedio real de dedos (más de 9 pero menos de 10) no es una información particularmente útil.

La media aritmética, la media geométrica y la media armónica se conocen colectivamente como las medias pitagóricas.

El tipo más común de promedio es la media aritmética. Si se tienen n números, cada uno denotado por ai (donde i = 1, 2, ..., n), la media aritmética es la suma de ai dividida por n:

AM = 1 n ∑ i = 1 n a i = a 1 + a 2 + ⋯ + a n n {\displaystyle {\text{AM}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}} {\displaystyle {\text{AM}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}}

La media aritmética, a menudo llamada simplemente "la media", de dos números (como 2 y 8) se obtiene encontrando un valor A tal que 2 + 8 = A + A. Se puede encontrar que A = (2 + 8) / 2 = 5. Cambiar el orden de 2 y 8 no modifica el valor resultante de A. La media 5 no es menor que el mínimo (2) ni mayor que el máximo (8). Si aumentamos el número de términos de la lista a 2, 8 y 11, la media aritmética se obtiene resolviendo A en la ecuación 2 + 8 + 11 = A + A + A, resultando A = (2 + 8 + 11) / 3 = 7.

La media geométrica de n números positivos se obtiene multiplicándolos todos y luego tomando la enésima raíz. En términos algebraicos, la media geométrica de _a_1, _a_2, ..., a n se define como:

GM = ∏ i = 1 n a i n = a 1 a 2 ⋯ a n n {\displaystyle {\text{GM}}={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}a_{i}}}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}} {\displaystyle {\text{GM}}={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}a_{i}}}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}}

La media geométrica puede considerarse como el antilogaritmo de la media aritmética de los logaritmos de los números.

Ejemplo: la media geométrica de 2 y 8 es GM = 2 ⋅ 8 = 4 {\displaystyle {\text{GM}}={\sqrt {2\cdot 8}}=4} {\displaystyle {\text{GM}}={\sqrt {2\cdot 8}}=4}.

La media armónica para una colección no vacía de números _a_1, _a_2, ..., a n, todos distintos de cero, se define como el recíproco de la media aritmética de los recíprocos de los a i:

HM = 1 1 n ∑ i = 1 n 1 a i = n 1 a 1 + 1 a 2 + ⋯ + 1 a n {\displaystyle {\text{HM}}={\frac {1}{{\dfrac {1}{n}}\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}}}}}={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}} {\displaystyle {\text{HM}}={\frac {1}{{\dfrac {1}{n}}\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}}}}}={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}}

Un ejemplo donde la media armónica es útil es al examinar la velocidad en varios viajes de distancia fija. Por ejemplo, si la velocidad de ida del punto A al B fue de 60 km/h y la velocidad de regreso de B a A fue de 40 km/h, entonces la velocidad media armónica es:

2 1 60 + 1 40 = 48 {\displaystyle {\frac {2}{{\frac {1}{60}}+{\frac {1}{40}}}}=48} {\displaystyle {\frac {2}{{\frac {1}{60}}+{\frac {1}{40}}}}=48}

Desigualdad entre las medias AM, GM y HM

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Una desigualdad bien conocida entre las medias aritmética, geométrica y armónica para cualquier conjunto de números positivos es:

AM ≥ GM ≥ HM {\displaystyle {\text{AM}}\geq {\text{GM}}\geq {\text{HM}}} {\displaystyle {\text{AM}}\geq {\text{GM}}\geq {\text{HM}}}

(El orden alfabético de las letras A, G y H se conserva en la desigualdad). Véase desigualdad de medias aritméticas y geométricas.

Para el ejemplo de la media armónica anterior: AM = 50, GM ≈ 49 y HM = 48 km/h.

Medidas de posición estadística

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La moda, la mediana y el rango medio se utilizan a menudo, además de la media, como estimaciones de la tendencia central en estadística descriptiva. Todos estos pueden concebirse como minimizadores de la variación según alguna medida.

Comparación de promedios comunes de los valores {1, 2, 2, 3, 4, 7, 9}

Tipo Descripción Ejemplo Resultado
Media aritmética Suma de valores de un conjunto de datos dividida por el número de valores: x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i {\displaystyle \scriptstyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}} {\displaystyle \scriptstyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}} (1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 7 + 9) / 7 4
Mediana Valor medio que separa las mitades superior e inferior de un conjunto de datos 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 3
Moda Valor más frecuente en un conjunto de datos 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 2
Rango medio Media aritmética de los valores mayor y menor de un conjunto (1 + 9) / 2 5

Comparación de la media aritmética, la mediana y la moda de dos distribuciones log-normales con diferente asimetría.

El número más frecuente en una lista se denomina moda. Por ejemplo, la moda de la lista (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4) es 3. Puede ocurrir que dos o más números aparezcan con la misma frecuencia y esta sea mayor que la de cualquier otro número. En ese caso no existe una definición universalmente aceptada de moda: algunos autores afirman que todos son modas, mientras que otros sostienen que no hay moda.

La mediana es el número central del grupo cuando los valores están ordenados. (Si hay un número par de elementos, se toma la media de los dos valores centrales).

Para encontrar la mediana, se ordena la lista según la magnitud de sus elementos y luego se elimina repetidamente el par formado por los valores más alto y más bajo hasta que quede uno o dos valores. Si queda exactamente un valor, ese es la mediana; si quedan dos, la mediana es la media aritmética de ambos. Por ejemplo, tomando la lista 1, 7, 3, 13, se ordena como 1, 3, 7, 13. Luego se eliminan 1 y 13, quedando la lista 3, 7. Como hay dos elementos, la mediana es (3 + 7) / 2 = 5.

El rango medio es la media aritmética de los valores mayor y menor de un conjunto.

Resumen de tipos de promedios

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Nombre Ecuación o descripción
Media aritmética x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n ( x 1 + ⋯ + x n ) {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1}+\cdots +x_{n})} {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1}+\cdots +x_{n})}
Mediana Valor medio que separa la mitad superior de la mitad inferior del conjunto de datos.
Mediana geométrica Extensión invariante por rotación de la mediana para puntos en Rn.
Moda Valor más frecuente en el conjunto de datos.
Media geométrica ∏ i = 1 n x i n = x 1 ⋅ x 2 ⋯ x n n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\dotsb x_{n}}}} {\displaystyle {\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\dotsb x_{n}}}}
Media armónica n 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ + 1 x n {\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}} {\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}
Media cuadrática(o RMS) 1 n ∑ i = 1 n x i 2 = 1 n ( x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 ) {\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right)}}} {\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right)}}}
Media cúbica 1 n ∑ i = 1 n x i 3 3 = 1 n ( x 1 3 + x 2 3 + ⋯ + x n 3 ) 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{3}}}={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{n}}\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\cdots +x_{n}^{3}\right)}}} {\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{3}}}={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{n}}\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\cdots +x_{n}^{3}\right)}}}
Media generalizada 1 n ⋅ ∑ i = 1 n x i p p {\displaystyle {\sqrt[{p}]{{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}}}} {\displaystyle {\sqrt[{p}]{{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}}}}
Media ponderada ∑ i = 1 n w i x i ∑ i = 1 n w i = w 1 x 1 + w 2 x 2 + ⋯ + w n x n w 1 + w 2 + ⋯ + w n {\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}={\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}}} {\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}={\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}}}
Media truncada Media aritmética de los valores tras descartar un cierto número o proporción de los valores más altos y más bajos.
Media intercuartil Caso especial de la media truncada que utiliza el rango intercuartílico. Opera sobre cuantiles (a menudo deciles o percentiles) equidistantes y situados a ambos lados de la mediana.
Rango medio 1 2 ( max x + min x ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\max x+\min x\right)} {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\max x+\min x\right)}
Media winsorizada Similar a la media truncada, pero, en lugar de eliminar los valores extremos, se igualan a los valores más grande y más pequeño que permanecen.

La tabla de símbolos matemáticos explica los símbolos utilizados en este artículo.

Otros promedios más sofisticados son el trimedia, la trimediana y la media normalizada, junto con sus generalizaciones.[1]

Se puede construir una métrica propia usando la _f_-media generalizada:

y = f − 1 ( 1 n [ f ( x 1 ) + f ( x 2 ) + ⋯ + f ( x n ) ] ) {\displaystyle y=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\left[f(x_{1})+f(x_{2})+\cdots +f(x_{n})\right]\right)} {\displaystyle y=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\left[f(x_{1})+f(x_{2})+\cdots +f(x_{n})\right]\right)}

donde f es cualquier función invertible. La media armónica es un ejemplo usando f(x) = 1/x, y la media geométrica es otro usando f(x) = log x.

Sin embargo, este método de generar medias no es suficientemente general para abarcar todos los promedios. Un método más general para definir un promedio toma cualquier función g(_x_1, _x_2, ..., x n) que sea continua, estrictamente creciente en cada argumento y simétrica (invariante bajo permutación de los argumentos). El promedio y es el valor que, al reemplazar cada miembro de la lista, produce el mismo valor de función: g(y, y, ..., y) = g(_x_1, _x_2, ..., x n). Esta definición más general aún captura la propiedad importante de que el promedio de una lista de elementos idénticos es ese mismo elemento. La función g(_x_1, _x_2, ..., x n) = _x_1 + _x_2 + ··· + x n proporciona la media aritmética. La función g(_x_1, _x_2, ..., x n) = x_1_x_2···_x n (con elementos de la lista positivos) da la media geométrica. La función g(_x_1, _x_2, ..., x n) = −(1/_x_1 + 1/_x_2 + ··· + 1/x n) (también con elementos positivos) proporciona la media armónica.[2]

Porcentaje de retorno promedio y CAGR

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Un tipo de promedio utilizado en finanzas es el rendimiento porcentual promedio. Es un ejemplo de media geométrica. Cuando los rendimientos son anuales, se denomina tasa de crecimiento anual compuesta (CAGR, del inglés Compound Annual Growth Rate). Por ejemplo, considerando un período de dos años, si el rendimiento en el primer año es −10% y en el segundo es +60%, el rendimiento porcentual promedio (CAGR) R se obtiene resolviendo la ecuación: (1 − 0.10) × (1 + 0.60) = (1 + R) × (1 + R). El valor de R que satisface la ecuación es 0.2, es decir, 20%. Esto significa que el rendimiento total durante el período de dos años es equivalente a un crecimiento del 20% cada año. El orden de los años no altera el resultado: el rendimiento promedio de +60% y −10% es el mismo que el de −10% y +60%.

Este método puede generalizarse a períodos de diferente duración. Por ejemplo, considérese un período de medio año con un rendimiento del −23% y un período de dos años y medio con un rendimiento del +13%. El rendimiento porcentual promedio para el período combinado es el rendimiento anual R que satisface: (1 − 0.23)0.5 × (1 + 0.13)2.5 = (1 + R)0.5+2.5, lo que da un rendimiento promedio R = 0.0600 (6.00%).

Dada una serie temporal, como los precios diarios del mercado de valores o las temperaturas anuales, a menudo se desea generar una serie más uniforme.[3] Esto ayuda a identificar tendencias subyacentes o posibles comportamientos periódicos. Un método sencillo es la media móvil: se elige un número n y se crea una nueva serie tomando la media aritmética de los primeros n valores, luego se avanza un paso (descartando el valor más antiguo e incorporando uno nuevo al final de la lista) y se repite el proceso. Esta es la forma más simple de media móvil. Existen formas más complejas que emplean un promedio ponderado. La ponderación puede usarse para realzar o suprimir ciertos comportamientos periódicos, y existe un extenso análisis sobre qué ponderaciones utilizar en la literatura de filtrado. En procesamiento digital de señales, el término "media móvil" se emplea incluso cuando la suma de los pesos no es igual a 1 (por lo que la serie de salida es una versión escalada de los promedios).[4] La razón es que el analista suele estar interesado principalmente en la tendencia o el comportamiento periódico.

El primer uso registrado de la media aritmética extendida de 2 a n casos con fines de estimación data del siglo XVI. Desde finales de ese siglo en adelante, se convirtió gradualmente en un método común para reducir errores de medición en diversas áreas.[5][6] En esa época, los astrónomos buscaban determinar un valor real a partir de mediciones ruidosas, como la posición de un planeta o el diámetro de la Luna. Al promediar varios valores medidos, los científicos asumían que los errores se compensarían parcialmente, resultando en un número pequeño en comparación con la suma total. El método de tomar la media para reducir errores de observación fue desarrollado principalmente en astronomía.[7] Un posible precursor de la media aritmética es el rango medio (promedio de los dos valores extremos), utilizado, por ejemplo, en astronomía árabe de los siglos IX al XI, así como en metalurgia y navegación.

Sin embargo, existen referencias más antiguas, aunque vagas, al uso de la media aritmética relacionadas con nuestra definición moderna. En un texto del siglo IV se escribió (el texto entre corchetes es una posible laguna que aclararía el significado):[8]

En primer lugar, debemos disponer en una fila la secuencia de números de la mónada al nueve: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Luego debemos sumar todos ellos y, dado que la fila contiene nueve términos, debemos buscar la novena parte del total para ver si ya está presente naturalmente entre los números de la fila; y encontraremos que la propiedad de ser [un] noveno [de la suma] solo pertenece al medio [aritmético] en sí mismo...

Existen referencias potencialmente aún más antiguas. Hay registros de que, aproximadamente desde el año 700 a. C., comerciantes y navieros acordaban que los daños a la carga y al barco (su "contribución" en caso de siniestros marítimos) debían compartirse equitativamente entre ellos.[7] Esto podría haberse calculado mediante un promedio, aunque no parece haber un registro directo del cálculo.

La raíz se encuentra en el árabe عوار ʻawār, que significa "defecto" o cualquier cosa defectuosa o dañada, incluyendo mercancía parcialmente estropeada; y عواري ʻawārī (también عوارة ʻawāra) = "relativo a ʻawār, un estado de daño parcial". En las lenguas occidentales, la historia de la palabra comienza en el comercio marítimo medieval del Mediterráneo. El latín avaria, originario de Génova en los siglos XII y XIII, significaba "daños, pérdidas y gastos no ordinarios derivados de un viaje marítimo mercante". El mismo significado para avaria se encuentra en Marsella en 1210, Barcelona en 1258 y Florencia a finales del XIII. El francés avarie del XV tenía el mismo significado, y dio origen al inglés "averay" (1491) y "average" (1502) con el mismo sentido. Hoy en día, el italiano avaria, el catalán avaria y el francés avarie conservan el significado principal de "daño".

La gran transformación del significado en inglés comenzó con la práctica en los contratos de derecho marítimo mercante occidental, según la cual si un barco enfrentaba una tormenta violenta y parte de la mercancía debía arrojarse al mar para aligerarlo y hacerlo más seguro, entonces todos los comerciantes con bienes a bordo sufrían proporcionalmente (no solo aquellos cuya mercancía se arrojaba). En general, se requería una distribución proporcional de cualquier avaria. A partir de ahí, los aseguradores, acreedores y comerciantes británicos adoptaron la palabra para referirse a las pérdidas repartidas en toda su cartera de activos, obteniendo así una proporción media. El significado actual se desarrolló a partir de este uso, comenzó a mediados del siglo XVIII y se consolidó en inglés.[9]

El daño marítimo se clasifica como promedio particular, asumido solo por el propietario de la propiedad dañada, o promedio general, donde el propietario puede reclamar una contribución proporcional de todas las partes involucradas en la empresa marítima. El tipo de cálculos empleados en el ajuste del promedio general llevó a usar "promedio" para significar "media aritmética".

Un segundo uso en inglés, documentado ya en 1674 y a veces escrito "averión", se refiere al residuo y segundo crecimiento de los cultivos en el campo, considerado adecuado para el consumo de animales de tiro ("avers").[10]

Existe otro uso no relacionado (al menos desde el siglo XI) de la palabra. Parece ser un antiguo término legal para la obligación laboral de un inquilino con un alguacil, probablemente del inglés "avera", que se encuentra en el Libro Domesday (1085).

El Oxford English Dictionary señala que las derivaciones del alemán Hafen (puerto) y del árabe ʻawâr (daño) han sido "descartadas", y que la palabra tiene un origen romance.[11]

  1. ↑ Merigo, Jose M.; Cananovas, Montserrat (2009). «The Generalized Hybrid Averaging Operator and its Application in Decision Making». Journal of Quantitative Methods for Economics and Business Administration 9: 69-84. ISSN 1886-516X.
  2. ↑ Bibby, John (1974). «Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences». Glasgow Mathematical Journal 15: 63-65. doi:10.1017/s0017089500002135.
  3. ↑ Box, George E.P.; Jenkins, Gwilym M. (1976). Time Series Analysis: Forecasting and Control (revised edición). Holden-Day. ISBN 0816211043.
  4. ↑ Haykin, Simon (1986). Adaptive Filter Theory. Prentice-Hall. ISBN 0130040525.
  5. ↑ Plackett, R. L. (1958). «Studies in the History of Probability and Statistics: VII. The Principle of the Arithmetic Mean». Biometrika 45 (1/2): 130-135. doi:10.2307/2333051.
  6. ↑ Eisenhart, Churchill. "The development of the concept of the best mean of a set of measurements from antiquity to the present day." Unpublished presidential address, American Statistical Association, 131st Annual Meeting, Fort Collins, Colorado. 1971.
  7. 1 2 Bakker, Arthur. "The early history of average values and implications for education." Journal of Statistics Education 11.1 (2003): 17-26.
  8. ↑ «Waterfield, Robin. "The theology of arithmetic." On the Mystical, mathematical and Cosmological Symbolism of the First Ten Number (1988). page 70.». Archivado desde el original el 4 de marzo de 2016. Consultado el 27 de noviembre de 2018.
  9. ↑ The Arabic origin of avaria was first reported by Reinhart Dozy in the 19th century. Dozy's original summary is in his 1869 book Glossaire. Summary information about the word's early records in Italian-Latin, Italian, Catalan, and French is at avarie @ CNRTL.fr. The seaport of Genoa is the location of the earliest-known record in European languages, year 1157. A set of medieval Latin records of avaria at Genoa is in the downloadable lexicon Vocabolario Ligure, by Sergio Aprosio, year 2001, avaria in Volume 1 pages 115-116. Many more records in medieval Latin at Genoa are at StoriaPatriaGenova.it, usually in the plurals avariis and avarias. At the port of Marseille in the 1st half of the 13th century notarized commercial contracts have dozens of instances of Latin avariis (ablative plural of avaria), as published in Blancard year 1884. Some information about the English word over the centuries is at NED (year 1888). See also the definition of English "average" in English dictionaries published in the early 18th century, i.e., in the time period just before the big transformation of the meaning: Kersey-Phillips' dictionary (1706), Blount's dictionary (1707 edition), Hatton's dictionary (1712), Bailey's dictionary (1726), Martin's dictionary (1749). Some complexities surrounding the English word's history are discussed in Hensleigh Wedgwood year 1882 page 11 and Walter Skeat year 1888 page 781. Today there is consensus that: (#1) today's English "average" descends from medieval Italian avaria, Catalan avaria, and (#2) among the Latins the word avaria started in the 12th century and it started as a term of Mediterranean sea-commerce, and (#3) there is no root for avaria to be found in Latin, and (#4) a substantial number of Arabic words entered Italian, Catalan and Provençal in the 12th and 13th centuries starting as terms of Mediterranean sea-commerce, and (#5) the Arabic ʻawār | ʻawārī is phonetically a good match for avaria, as conversion of w to v was regular in Latin and Italian, and -ia is a suffix in Italian, and the Western word's earliest records are in Italian-speaking locales (writing in Latin). And most commentators agree that (#6) the Arabic ʻawār | ʻawārī = "damage | relating to damage" is semantically a good match for avaria = "damage or damage expenses". A minority of commentators have been dubious about this on the grounds that the early records of Italian-Latin avaria have, in some cases, a meaning of "an expense" in a more general sense – see TLIO (in Italian). The majority view is that the meaning of "an expense" was an expansion from "damage and damage expense", and the chronological order of the meanings in the records supports this view, and the broad meaning "an expense" was never the most commonly used meaning. On the basis of the above points, the inferential step is made that the Latinate word came or probably came from the Arabic word.
  10. ↑ Ray, John (1674). A Collection of English Words Not Generally Used. London: H. Bruges. Consultado el 18 de mayo de 2015.
  11. ↑ "average, n.2". OED Online. September 2019. Oxford University Press. https://www.oed.com/view/Entry/13681 (accessed September 05, 2019).