Kula (original) (raw)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Definicja intuicyjna
Kula to zbiór punktów oddalonych nie bardziej niż pewna zadana odległość (promień kuli) od wybranego punktu (środek kuli)[1].

Kula – uogólnienie pojęcia koła na więcej wymiarów, zdefiniowane dla wszystkich przestrzeni metrycznych.

Kula w danej przestrzeni metrycznej ( X , ρ ) {\displaystyle (X,\rho )} {\displaystyle (X,\rho )} – zbiór elementów tej przestrzeni, zdefiniowany jako:

K ¯ c , r = { p : ρ ( p , c ) ⩽ r } {\displaystyle {\overline {K}}_{c,r}=\{p:\rho (p,c)\leqslant r\}} {\displaystyle {\overline {K}}_{c,r}=\{p:\rho (p,c)\leqslant r\}}

dla pewnych c ∈ X , r > 0 , {\displaystyle c\in X,\ r>0,} {\displaystyle c\in X,\ r>0,} które nazywamy odpowiednio środkiem i promieniem kuli.

W wielu źródłach[2][3][4] tak zdefiniowany zbiór nazywany jest kulą domkniętą dla odróżnienia od zbioru określanego jako kula otwarta (inaczej kula bez brzegu) i definiowanego następująco:

K c , r = { p : ρ ( p , c ) < r } . {\displaystyle K_{c,r}=\{p:\rho (p,c)<r\}.} {\displaystyle K_{c,r}=\{p:\rho (p,c)<r\}.}

Kula w przestrzeni euklidesowej

Kula o środku P ( 2 ; 1 , 5 ) {\displaystyle P(2;1{,}5)} {\displaystyle P(2;1{,}5)} i promieniu r = 1 {\displaystyle r=1} {\displaystyle r=1} w metryce Manhattan na zbiorze R 2 . {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.} {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}

Intuicyjnie rozumiana kula – w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej dla metryki euklidesowej – jest to część przestrzeni, ograniczona sferą (sfera jest powierzchnią (brzegiem) kuli i również się w niej zawiera).

Taką kulę można wówczas opisać wzorem jako zbiór punktów, których współrzędne ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} {\displaystyle (x,y,z)} spełniają nierówność:

( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 ⩽ r 2 , {\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}\leqslant r^{2},} {\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}\leqslant r^{2},}

gdzie ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})} {\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})} są współrzędnymi środka kuli, a r {\displaystyle r} {\displaystyle r} oznacza jej promień, natomiast w układzie współrzędnych sferycznych, dla środka znajdującego się w środku układu współrzędnych:

r ( α , β ) ⩽ r {\displaystyle r(\alpha ,\beta )\leqslant r\;{}} {\displaystyle r(\alpha ,\beta )\leqslant r\;{}} dla α ∈ [ − π , π ) , β ∈ [ − π 2 , π 2 ] . {\displaystyle {}\,\alpha \in [-\pi ,\pi ),\beta \in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right].} ![{\displaystyle {},\alpha \in -\pi ,\pi ),\beta \in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right].}

W n {\displaystyle n} {\displaystyle n}-wymiarowej przestrzeni euklidesowej wzór ten ma natychmiastowe uogólnienie – kula o środku w punkcie ( s 1 , s 2 , … , s n ) {\displaystyle (s_{1},s_{2},\dots ,s_{n})} {\displaystyle (s_{1},s_{2},\dots ,s_{n})} i promieniu r {\displaystyle r} {\displaystyle r} to zbiór punktów x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) , {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),} {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),} których współrzędne spełniają nierówność:

( x 1 − s 1 ) 2 + ( x 2 − s 2 ) 2 + … + ( x n − s n ) 2 ⩽ r 2 . {\displaystyle (x_{1}-s_{1})^{2}+(x_{2}-s_{2})^{2}+\ldots +(x_{n}-s_{n})^{2}\leqslant r^{2}.} {\displaystyle (x_{1}-s_{1})^{2}+(x_{2}-s_{2})^{2}+\ldots +(x_{n}-s_{n})^{2}\leqslant r^{2}.}

Nietrudno zauważyć, że w dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej kulą jest koło, zaś w jednowymiarowej – odcinek.

Dla innych metryk kula wyglądać będzie inaczej. Przykładowo, w przestrzeni R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} o metryce Manhattan do kuli należą punkty, spełniające nierówność:

| x 1 − x 2 | + | y 1 − y 2 | ⩽ r . {\displaystyle \left|x_{1}-x_{2}\right|+\left|y_{1}-y_{2}\right|\leqslant r.} {\displaystyle \left|x_{1}-x_{2}\right|+\left|y_{1}-y_{2}\right|\leqslant r.}

Natomiast w przestrzeni liter alfabetu łacińskiego, gdzie metryką byłaby odległość między poszczególnymi literami w szyku alfabetu, kulą jest np. zbiór { G , H , I } {\displaystyle \{G,H,I\}} {\displaystyle \{G,H,I\}} – promień tej kuli wynosi 1, a jej środkiem jest H . {\displaystyle H.} {\displaystyle H.}

Cięciwa kuli to odcinek o końcach na brzegu kuli.

Średnica kuli to cięciwa przechodząca przez środek kuli. Termin ten oznacza również długość tej cięciwy – równą podwojonej długości promienia kuli. Termin ten został uogólniony na wszelkie zbiory w przestrzeni metrycznej (zobacz średnica zbioru).

Koło wielkie kuli to koło o promieniu tej kuli, o środku w środku kuli.

W powyższych wzorach π ≈ 3,141 59265 {\displaystyle \pi \approx 3{,}14159265} {\displaystyle \pi \approx 3{,}14159265} jest jedną z najsłynniejszych stałych matematycznych, szerzej opisaną w artykule Pi, zaś Γ {\displaystyle \Gamma } {\displaystyle \Gamma } oznacza funkcję gamma. Pomimo że funkcja gamma jest niezdefiniowana dla niedodatnich liczb całkowitych, uogólnione objętości i powierzchnie n {\displaystyle n} {\displaystyle n}-wymiarowych hiperkul to funkcje holomorficzne wymiaru zespolonego n ∈ C {\displaystyle n\in \mathbb {C} } {\displaystyle n\in \mathbb {C} }. Są one zatem zdefiniowane w każdym wymiarze[6][7].

Uwaga: Brzegiem n {\displaystyle n} {\displaystyle n}-wymiarowej kuli jest ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} {\displaystyle (n-1)}-wymiarowa sfera.

W topologii kulę definiujemy jako rozmaitość topologiczną, homeomorficzną z kulą geometryczną, zdefiniowaną jak powyżej.

  1. ↑ kula, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-05-19] .
  2. ↑ Encyklopedia dla wszystkich. Matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2000, s. 149. ISBN 83-204-2334-1.
  3. ↑ Krzysztof Maurin: Analiza. Cz. I Elementy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, s. 34, 38, seria: Biblioteka Matematyczna Tom 38.
  4. ↑ Witold Kołodziej: Wybrane rozdziały analizy matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1982, s. 20, 21, seria: Biblioteka Matematyczna Tom 36.
  5. ↑ a b Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 14, ISBN 978-83-940902-1-0 .
  6. ↑ SzymonS. Łukaszyk SzymonS., Novel Recurrence Relations for Volumes and Surfaces of n-Balls, Regular n-Simplices, and n-Orthoplices in Real Dimensions, t. 10, Mathematics, 2022, s. 2212, DOI: 10.3390/math10132212 .
  7. ↑ SzymonS. Łukaszyk SzymonS., Omnidimensional Convex Polytopes, t. 15, Symmetry, 2023, s. 755, DOI: 10.3390/sym15030755 .