Barisan Fibonacci (original) (raw)

Pengubinan dengan persegi-persegi yang panjang sisi-sisinya adalah beberapa suku pertama barisan Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 dan 21.

Dalam matematika, barisan Fibonacci adalah barisan yang setiap sukunya merupakan penjumlahan dari dua suku sebelumnya. Bilangan yang menjadi bagian dari barisan Fibonacci dikenal sebagai bilangan Fibonacci, umumnya dinotasikan sebagai Fn . Barisan ini umumnya dimulai dari 0 dan 1, walau beberapa penulis memulainya dari 1 dan 1, atau terkadang (seperti Fibonacci sendiri) dari 1 dan 2. Memulai dari 0 dan 1, beberapa suku pertama barisan ini adalah[1]

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ....

Bilangan Fibonacci pertama kali dideskripsikan dalam matematika India setidaknya sejak tahun 200 SM, dalam karya oleh Pingala terkait menghitung banyaknya pola puisi Sanskerta yang dibentuk dari dua suku kata.[2][3][4] Barisan ini diberi nama dengan nama matematikawan Italia Leonardo da Pisa, juga dikenal sebagai Fibonacci, yang memperkenalkannya ke dunia matematika Eropa Barat lewat bukunya _Liber Abaci tahun 1202.[5]

Bilangan Fibonacci sering muncul secara tak diduga dalam matematika, sampai ada jurnal tersendiri yang didedikasikan untuk mempelajarinya, Fibonacci Quarterly. Beberapa penerapan barisan Fibonacci diantaranya meliputi algoritma komputer teknik pencarian Fibonacci dan struktur data heap Fibonacci. Barisan Fibonacci juga muncul sebagai pola di alam, seperti percabangan di pohon, susunan daun pada batang, tunas buah nanas, pembungaan di tanaman articok, dan susunan dedaunan pohon cemara (meskipun tidak terjadi pada semua spesies).

Spiral Fibonacci: hampiran spiral emas yang dibuat dengan menggambar busur lingkaran menghubungkan sudut persegi yang berseberanga pada pengubinan Fibonacci.

Barisan Fibonacci dapat didefinisikan oleh relasi perulangan[6] F 0 = 0 , F 1 = 1 , {\displaystyle F_{0}=0,\quad F_{1}=1,} dan F n = F n − 1 + F n − 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}} untuk n > 1. {\displaystyle n>1.}

Jika menggunakan beberapa definisi lama, nilai F 0 = 0 {\displaystyle F_{0}=0} dihilangkan, jadi barisan dimulai dengan F 1 = F 2 = 1 , {\displaystyle F_{1}=F_{2}=1,} dan perulangan F n = F n − 1 + F n − 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}} valid untuk n > 2.[7][8] Dua puluh bilangan Fn Fibonacci pertama adalah:[1]

Tiga belas (_F_7) cara menyusun suku kata panjang dan singkat dalam baris dengan panjang enam. Dari total cara itu, delapan (_F_6) diantaranya berakhir dengan suku kata singkat, dan lima (_F_5) berakhir dengan suku kata panjang.

Barisan Fibonacci muncul dalam matematika India, dalam hubungannya dengan ilmu irama Veda.[9][3][10] Dalam tradisi puisi Sanskerta, ada ketertarikan dalam menyusun semua pola dengan suku kata panjang [P] dengan dua satuan durasi, berseling dengan suku kata singkat [S] dengan satu satuan durasi. Menghitung banyaknya pola berbeda dari gabungan [P] dan [S], dengan suatu total satuan durasi yang ditetapkan, menghasilkan suatu bilangan Fibonacci: banyaknya pola dengan m {\displaystyle m} satuan durasi adalah F m + 1 . {\displaystyle F_{m+1}.} [11]

Pemahaman terkait barisan Fibonacci disampaikan pertama kali setidaknya oleh Pingala (ca. 450 SM–200 SM). Singh mengutip rumus misterius Pingala misrau cha ("keduanya dicampur") dan cendekiawan menafsirkan konteksnya seperti mengatakan banyaknya pola dengan m {\displaystyle m} ketukan ( F m + 1 {\displaystyle F_{m+1}} ) diperoleh dengan menambahkan satu [S] ke pola F m {\displaystyle F_{m}} dan satu [P] ke pola F m − 1 . {\displaystyle F_{m-1}.} [12] Bharata Muni juga menuliskan pemahamannya terkait barisan Fibonacci dalam Natya Shastra (ca. 100 SM–c. 350 SM).[2][13] Eksposisi paling jelas terkait barisan muncul dalam karya oleh Virahanka (ca. 700 SM), yang telah hilang, tapi ada sebagai kutipan oleh Gopala (ca. 1135).[9][a] Hemachandra (ca. 1150) juga memiliki pengetahuan tentang barisan,[2] dalam tulisannya "jumlah dari sebelumnya dan yang sebelumnya lagi menjadi banyaknya ... mātrā-vṛtta selanjutnya."[15][16]

Selembar halaman dari _Liber Abaci karya Fibonacci, menunjukkan (dalam kotak di sisi kanan) 13 suku pertama barisan Fibonacci: indeks bulan dalam angka Romawi (I sampai XII), dan banyaknya pasangan kelinci dalam angka Hindu-Arab dimulai dari 1, 2, 3, 5 dan berakhir di angka 377.

Bilangan Fibonacci pertama kali muncul pada buku _Liber Abaci (The Book of Calculation, 1202) oleh Fibonacci,[17][18] yang digunakan untuk menghitung pertumbuhan populasi kelinci.[19][20] Fibonacci membahas pertumbuhan populasi kelinci yang ideal (secara biologis tidak realistis), dengan asumsi bahwa: sepasang kelinci yang baru lahir langsung diternakkan di ladang; setiap pasangan kawin pada umur satu bulan, dan pada akhir bulan kedua pasangan akan selalu menghasilkan sepasang kelinci lagi; dan kelinci tidak akan mati, tetapi terus berkembang biak selamanya. Fibonacci mengajukan teka-teki: berapa banyak pasangan yang akan ada dalam satu tahun?

Solusi dari masalah kelinci Fibonacci: dalam populasi ideal yang terus bertambah, banyaknya pasangan kelinci membentuk barisan Fibonasi. Pada akhir bulan ke-n, banyaknya pasangan sama dengan Fn.

• Pada akhir di bulan pertama, satunya-satunya pasangan kelinci kawin, tapi belum melahirkan.
• Pada akhir bulan kedua mereka menghasilkan pasangan baru (jadi ada 2 pasangan di lapangan) dan hamil kembali.
• Pada akhir bulan ketiga, pasangan awal menghasilkan pasangan baru (dan hamil kembali), tapi pasangan kedua hanya kawin selama sebulan, jadi totalnya ada 3 pasangan.
• Pada akhir bulan keempat, pasangan awal telah menghasilkan pasangan baru lagi, dan pasangan yang lahir dua bulan lalu juga menghasilkan pasangan pertamanya, sehingga total ada 5 pasangan.

Pada akhir bulan ke-n, jumlah pasang kelinci sama dengan jumlah pasangan dewasa (yaitu jumlah pasangan di bulan n – 2) ditambah jumlah dari pasangan yang hidup bulan lalu (bulan n – 1). Jumlah pasangan bulan ke-n adalah bilangan Fibonacci ke-n.[21]

Nama "barisan Fibonacci" pertama kali digunakan oleh ahli teori bilangan abad ke-19 Édouard Lucas.[22]

Sama seperti barisan lainnya yang didefinisikan sebagai relasi perulangan dengan koefisien konstan, bilangan Fibonacci memiliki ekspresi bentuk-tertutup.[23] Ekspresi ini selanjutnya dikenal sebagai rumus Binet, dinamakan dengan nama matematikawan Prancis Jacques Philippe Marie Binet, walau ekspresi tersebut sudah diketahui oleh Abraham de Moivre dan Daniel Bernoulli:[24] F n = φ n − ψ n φ − ψ = φ n − ψ n 5 , {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\varphi -\psi }}={\frac {\varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\sqrt {5}}},} dengan φ = 1 + 5 2 ≈ 1.61803 39887 … {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803\,39887\ldots } dikenal dengan sebutan rasio emas, dan ψ {\displaystyle \psi } adalah konjugatnya:[25] ψ = 1 − 5 2 = 1 − φ = − 1 φ ≈ − 0.61803 39887 … . {\displaystyle \psi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=1-\varphi =-{1 \over \varphi }\approx -0.61803\,39887\ldots .} Karena ψ = − φ − 1 , {\displaystyle \psi =-\varphi ^{-1},} rumus tersebut juga dapat dituliskan sebagai F n = φ n − ( − φ ) − n 5 = φ n − ( − φ ) − n 2 φ − 1 . {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}}.} Untuk melihat hubungan antara barisan Fibonacci dengan kedua konstanta tersebut,[26] perhatikan bahwa φ {\displaystyle \varphi } dan ψ {\displaystyle \psi } keduanya merupakan solusi dari persamaan x 2 = x + 1 {\textstyle x^{2}=x+1} dan (sebagai akibatnya) x n = x n − 1 + x n − 2 . {\displaystyle x^{n}=x^{n-1}+x^{n-2}.} Ini mengartikan perpangkatan dari φ {\displaystyle \varphi } dan ψ {\displaystyle \psi } memenuhi relasi perulangan Fibonacci; dengan kata lain, φ n = φ n − 1 + φ n − 2 , ψ n = ψ n − 1 + ψ n − 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2},\\[3mu]\psi ^{n}&=\psi ^{n-1}+\psi ^{n-2}.\end{aligned}}} Dari hasil tersebut, semua barisan yang didefinisikan sebagai U n = a φ n + b ψ n {\displaystyle U_{n}=a\varphi ^{n}+b\psi ^{n}} juga memenuhi relasi perulangan yang sama, karena U n = a φ n + b ψ n = a ( φ n − 1 + φ n − 2 ) + b ( ψ n − 1 + ψ n − 2 ) = a φ n − 1 + b ψ n − 1 + a φ n − 2 + b ψ n − 2 = U n − 1 + U n − 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}U_{n}&=a\varphi ^{n}+b\psi ^{n}\\[3mu]&=a(\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2})+b(\psi ^{n-1}+\psi ^{n-2})\\[3mu]&=a\varphi ^{n-1}+b\psi ^{n-1}+a\varphi ^{n-2}+b\psi ^{n-2}\\[3mu]&=U_{n-1}+U_{n-2}.\end{aligned}}} Jika nilai a {\displaystyle a} dan b {\displaystyle b} dipilih sedemikian sehingga U 0 = 0 {\displaystyle U_{0}=0} dan U 1 = 1 , {\displaystyle U_{1}=1,} maka barisan U n {\displaystyle U_{n}} yang terbentuk pastilah barisan Fibonacci. Pemilihan ini sama saja dengan mengharuskan a {\displaystyle a} dan b {\displaystyle b} memenuhi sistem persamaan: a + b = U 0 = 0 φ a + ψ b = U 1 = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}a+b&=U_{0}=0\\\varphi a+\psi b&=U_{1}=1\end{aligned}}} yang memiliki solusi a = 1 φ − ψ = 1 5 , b = − a , {\displaystyle a={\frac {1}{\varphi -\psi }}={\frac {1}{\sqrt {5}}},\quad b=-a,} sama seperti rumus Binet.

Untuk sebarang nilai awal U 0 {\displaystyle U_{0}} dan U 1 , {\displaystyle U_{1},} rumus Binet yang lebih umum adalah: U n = a φ n + b ψ n {\displaystyle U_{n}=a\varphi ^{n}+b\psi ^{n}} dengan a = U 1 − U 0 ψ 5 , b = U 0 φ − U 1 5 . {\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {U_{1}-U_{0}\psi }{\sqrt {5}}},\\[3mu]b&={\frac {U_{0}\varphi -U_{1}}{\sqrt {5}}}.\end{aligned}}}

Karena suku | ψ n 5 | {\textstyle \left|{\frac {\psi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right|} pada rumus Binet selalu kurang dari 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} untuk n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} , bilangan F n {\displaystyle F_{n}} menjadi bilangan bulat terdekat dengan φ n 5 {\textstyle {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}} . Akibatnya, bilangan Fibonacci juga dapat dihasilkan dengan membulatkan: F n = ⌊ φ n 5 ⌉ , n ≥ 0. {\displaystyle F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right\rceil ,\ n\geq 0.} Faktanya, galat pembulatan akan mengecil dengan cepat seiring membesarnya n , {\displaystyle n,} menjadi kurang dari 0,1 untuk n ≥ 4 , {\displaystyle n\geq 4,} dan kurang dari 0,01 untuk n ≥ 8. {\displaystyle n\geq 8.} Rumus ini juga mudah diinvers untuk mendapatkan indeks dari bilangan Fibonacci F {\displaystyle F} : n ( F ) = ⌊ log φ ⁡ 5 F ⌉ , F ≥ 1. {\displaystyle n(F)=\left\lfloor \log _{\varphi }{\sqrt {5}}F\right\rceil ,\ F\geq 1.} Jika diubah agar melakukan pembulatan ke bawah, rumus akan menghasilkan indeks bilangan Fibonacci terbesar yang tidak lebih dari F {\displaystyle F} .

Rumus Binet memberikan bukti bahwa bilangan bulat positif x {\displaystyle x} merupakan bilangan Fibonacci jika dan hanya jika setidaknya salah satu dari 5 x 2 + 4 {\displaystyle 5x^{2}+4} atau 5 x 2 − 4 {\displaystyle 5x^{2}-4} merupakan kuadrat sempurna.[27] Hal ini dapat terlihat mengalikan rumus Binet, yang dituliskan sebagai F n = ( φ n − ( − 1 ) n φ − n ) / 5 {\displaystyle F_{n}=(\varphi ^{n}-(-1)^{n}\varphi ^{-n})/{\sqrt {5}}} , dengan 5 φ n {\displaystyle {\sqrt {5}}\varphi ^{n}} lalu diselesaikan sebagai persamaan kuadrat dalam φ n {\displaystyle \varphi ^{n}} menggunakan rumus kuadratik, menghasilkan: φ n = F n 5 ± 5 F n 2 + 4 ( − 1 ) n 2 . {\displaystyle \varphi ^{n}={\frac {F_{n}{\sqrt {5}}\pm {\sqrt {5{F_{n}}^{2}+4(-1)^{n}}}}{2}}.} Membandingkan bentuk ini dengan φ n = F n φ + F n − 1 = ( F n 5 + F n + 2 F n − 1 ) / 2 {\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}=(F_{n}{\sqrt {5}}+F_{n}+2F_{n-1})/2} didapatkan 5 F n 2 + 4 ( − 1 ) n = ( F n + 2 F n − 1 ) 2 . {\displaystyle 5{F_{n}}^{2}+4(-1)^{n}=(F_{n}+2F_{n-1})^{2}\,.} yang menunjukkan ruas sisi kiri merupakan bilangan kuadrat sempurna.

Banyak identitas terkait bilangan Fibonacci yang dapat dibuktikan menggunakan argumen kombinatorial, menggunakan fakta bahwa F n {\displaystyle F_{n}} dapat dianggap sebagai banyaknya (mungkin kosong) barisan berisi angka 1 dan 2 dengan jumlah total n − 1. {\displaystyle n-1.} Hal ini dapat dipilih sebagai definisi dari F n {\displaystyle F_{n}} , dengan konvensi F 0 = 0 {\displaystyle F_{0}=0} yang mengartikan tidak ada barisan macam itu dengan total −1, dan F 1 = 1 {\displaystyle F_{1}=1} yang mengartikan ada satu barisan -- yakni barisan dengan panjang 0 -- dengan total 0. Menggunakan notasi | . . . | {\displaystyle |{...}|} untuk menyatakan kardinalitas dari himpunan, berikut beberapa bilangan Fibonacci pertama:

F 0 = 0 = | { } | {\displaystyle F_{0}=0=|\{\}|}

F 1 = 1 = | { ( ) } | {\displaystyle F_{1}=1=|\{()\}|}

F 2 = 1 = | { ( 1 ) } | {\displaystyle F_{2}=1=|\{(1)\}|}

F 3 = 2 = | { ( 1 , 1 ) , ( 2 ) } | {\displaystyle F_{3}=2=|\{(1,1),(2)\}|}

F 4 = 3 = | { ( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 1 ) } | {\displaystyle F_{4}=3=|\{(1,1,1),(1,2),(2,1)\}|}

F 5 = 5 = | { ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 2 , 1 ) , ( 2 , 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) } | {\displaystyle F_{5}=5=|\{(1,1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1),(2,2)\}|}

Dalam sudut pandang ini, hubungan perulangan F n = F n − 1 + F n − 2 {\textstyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}} dapat dianggap sebagai memisahkan barisan-barisan penyusun F n {\displaystyle F_{n}} menjadi dua himpunan tidak-beririsan, yang masing-masing dimulai dari angka 1 atau 2: F n = | { ( 1 , . . . ) , ( 1 , . . . ) , . . . } | + | { ( 2 , . . . ) , ( 2 , . . . ) , . . . } | {\displaystyle F_{n}=|\{(1,...),(1,...),...\}|+|\{(2,...),(2,...),...\}|} Mengabaikan suku pertama, jumlah total setiap suku barisan pada kedua himpunan tersebut masing-masing adalah n − 2 {\displaystyle n-2} dan n − 3 {\displaystyle n-3} . Nilai ini adalah kardinalitas dari F n − 1 {\displaystyle F_{n-1}} dan F n − 2 {\displaystyle F_{n-2}} , menunjukkan bahwa memang F n = F n − 1 + F n − 2 . {\textstyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}.}

Dengan cara yang mirip, dapat ditunjukkan bahwa jumlah dari n {\displaystyle n} bilangan Fibonacci pertama sama dengan bilangan Fibonacci ke- ( n + 2 ) {\displaystyle (n+2)} dikurang 1.[28] Secara matematis: ∑ i = 1 n F i = F n + 2 − 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1} Identitas ini dapat dilihat sebagai memisahkan setiap barisan dengan total n + 1 {\displaystyle n+1} berdasarkan letak angka 2 pertamanya. Hal ini akan menghasilkan himpunan-himpunan berisi barisan yang dimulai dengan suku ( 2 , . . . ) , ( 1 , 2 , . . . ) , . . . , {\displaystyle (2,...),(1,2,...),...,} sampai dua himpunan terakhir { ( 1 , 1 , . . . , 1 , 2 ) } {\displaystyle \{(1,1,...,1,2)\}} dan { ( 1 , 1 , . . . , 1 ) } {\displaystyle \{(1,1,...,1)\}} yang masing-masing memiliki kardinalitas 1. Menggunakan logika yang sama seperti sebelumnya, dengan menghitung kardinalitas setiap himpunan yang dihasilkan kita dapatkan F n + 2 = F n + F n − 1 + . . . + | { ( 1 , 1 , . . . , 1 , 2 ) } | + | { ( 1 , 1 , . . . , 1 ) } | {\displaystyle F_{n+2}=F_{n}+F_{n-1}+...+|\{(1,1,...,1,2)\}|+|\{(1,1,...,1)\}|} dengan dua himpunan terakhir memiliki nilai F 1 = 1 {\displaystyle F_{1}=1} . Hubungan ini dapat ditulis sebagai F n + 2 = ∑ i = 1 n F n + 1 {\textstyle F_{n+2}=\sum _{i=1}^{n}F_{n}+1} , yang sama dengan identitas tersebut.

Argumen yang mirip, kali ini dengan memisahkan barisan berdasarkan letak angka 1 pertamanya, menghasilkan dua identitas baru: ∑ i = 0 n − 1 F 2 i + 1 = F 2 n {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}F_{2i+1}=F_{2n}} dan ∑ i = 1 n F 2 i = F 2 n + 1 − 1. {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{2i}=F_{2n+1}-1.} Dalam bentuk kalimat, jumlah dari n − 1 {\displaystyle n-1} bilangan Fibonacci berindeks-ganjil pertama adalah bilangan Fibonacci ke- 2 n {\displaystyle 2n} , dan jumlah dari n {\displaystyle n} bilangan Fibonacci berindeks-genap pertama adalah bilangan Fibonacci ke- ( 2 n + 1 ) {\displaystyle (2n+1)} dikurang 1.[29]

Trik yang berbeda dapat digunakan untuk membuktikan ∑ i = 1 n F i 2 = F n F n + 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{2}=F_{n}F_{n+1}} atau secara kalimat, jumlah dari kuadrat n {\displaystyle n} bilangan Fibonacci pertama sama dengan hasil perkalian bilangan Fibonnaci ke- n {\displaystyle n} dan ke- ( n + 1 ) . {\displaystyle (n+1).} Untuk melihat hubungan ini, mulai dengan membuat persegi panjang berukuran F n × F n + 1 {\displaystyle F_{n}\times F_{n+1}} dan bagi menjadi persegi-persegi dengan panjang sisi F n , F n − 1 , . . . , F 1 {\displaystyle F_{n},F_{n-1},...,F_{1}} ; identitas terbukti dengan membandingkan luas keduanya.

Banyak hubungan lainnya terkait bilangan Fibonacci yang dapat diperoleh dari berbagai metode. Beberapa di antaranya meliputi:[30]

Identitas Cassini menyatakan bahwa F n 2 − F n + 1 F n − 1 = ( − 1 ) n − 1 {\displaystyle {F_{n}}^{2}-F_{n+1}F_{n-1}=(-1)^{n-1}} Identitas Catalan memperumum identitas tersebut menjadi: F n 2 − F n + r F n − r = ( − 1 ) n − r F r 2 {\displaystyle {F_{n}}^{2}-F_{n+r}F_{n-r}=(-1)^{n-r}{F_{r}}^{2}}

Identitas ini menyatakan bahwa F m F n + 1 − F m + 1 F n = ( − 1 ) n F m − n {\displaystyle F_{m}F_{n+1}-F_{m+1}F_{n}=(-1)^{n}F_{m-n}} F 2 n = F n + 1 2 − F n − 1 2 = F n ( F n + 1 + F n − 1 ) = F n L n {\displaystyle F_{2n}={F_{n+1}}^{2}-{F_{n-1}}^{2}=F_{n}\left(F_{n+1}+F_{n-1}\right)=F_{n}L_{n}} dengan L n {\displaystyle L_{n}} adalah bilangan Lucas ke-n. Identitas kedua di atas menunjukkan persamaan untuk menggandakan indeks n . {\displaystyle n.} Identitas lainnya jenis ini adalah F 3 n = 2 F n 3 + 3 F n F n + 1 F n − 1 = 5 F n 3 + 3 ( − 1 ) n F n {\displaystyle F_{3n}=2{F_{n}}^{3}+3F_{n}F_{n+1}F_{n-1}=5{F_{n}}^{3}+3(-1)^{n}F_{n}} yang didapatkan dari identitas Cassini. Secara lebih umum berlaku,[30] F k n + c = ∑ i = 0 k ( k i ) F c − i F n i F n + 1 k − i . {\displaystyle F_{kn+c}=\sum _{i=0}^{k}{k \choose i}F_{c-i}{F_{n}}^{i}{F_{n+1}}^{k-i}.} atau juga dapat dituliskan sebagai F k n + c = ∑ i = 0 k ( k i ) F c + i F n i F n − 1 k − i . {\displaystyle F_{kn+c}=\sum _{i=0}^{k}{k \choose i}F_{c+i}{F_{n}}^{i}{F_{n-1}}^{k-i}.}

1. ↑ "For four, variations of meters of two [and] three being mixed, five happens. For five, variations of two earlier—three [and] four, being mixed, eight is obtained. In this way, for six, [variations] of four [and] of five being mixed, thirteen happens. And like that, variations of two earlier meters being mixed, seven morae [is] twenty-one. In this way, the process should be followed in all mātrā-vṛttas" [14]

2. 1 2 Sloane, N.J.A. (ed.). "Sequence A000045 (Fibonacci numbers: F(n) = F(n-1) + F(n-2) with F(0) = 0 and F(1) = 1)". On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

3. 1 2 3 Goonatilake, Susantha (1998), Toward a Global Science, Indiana University Press, hlm. 126, ISBN 978-0-253-33388-9

4. 1 2 Singh, Parmanand (1985), "The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India", Historia Mathematica, 12 (3): 229–44, doi:10.1016/0315-0860(85)90021-7

5. ↑ Knuth, Donald (2006), The Art of Computer Programming, vol. 4. Generating All Trees – History of Combinatorial Generation, Addison–Wesley, hlm. 50, ISBN 978-0-321-33570-8, it was natural to consider the set of all sequences of [L] and [S] that have exactly m beats. ... there are exactly Fm+1 of them. For example the 21 sequences when m = 7 are: [gives list]. In this way Indian prosodists were led to discover the Fibonacci sequence, as we have observed in Section 1.2.8 (from v.1)

6. ↑ Sigler 2002, hlm. 404–05.

7. ↑ Lucas 1891, hlm. 3.

8. ↑ Beck & Geoghegan 2010.

9. ↑ Bóna 2011, hlm. 180.

10. 1 2 Livio 2003, hlm. 197.

11. ↑ Knuth, Donald (1968), The Art of Computer Programming, vol. 1, Addison Wesley, hlm. 100, ISBN 978-81-7758-754-8, Before Fibonacci wrote his work, the sequence Fn had already been discussed by Indian scholars, who had long been interested in rhythmic patterns ... both Gopala (before 1135 AD) and Hemachandra (c. 1150) mentioned the numbers 1,2,3,5,8,13,21 explicitly [see P. Singh Historia Math 12 (1985) 229–44]" p. 100 (3d ed) ...

12. ↑ Knuth, Donald (2006), The Art of Computer Programming, vol. 4. Generating All Trees – History of Combinatorial Generation, Addison–Wesley, hlm. 50, ISBN 978-0-321-33570-8, it was natural to consider the set of all sequences of [Long] and [Short] that have exactly m beats. ... there are exactly F m + 1 {\displaystyle F_{m+1}} of them. For example the 21 sequences when m = 7 {\displaystyle m=7} are: [gives list]. In this way Indian prosodists were led to discover the Fibonacci sequence, as we have observed in Section 1.2.8 (from v.1)

13. ↑ Agrawala, VS (1969), Pāṇinikālīna Bhāratavarṣa (Hn.). Varanasi-I: TheChowkhamba Vidyabhawan, SadgurushiShya writes that Pingala was a younger brother of Pāṇini [Agrawala 1969, lb]. There is an alternative opinion that he was a maternal uncle of Pāṇini [Vinayasagar 1965, Preface, 121]. ... Agrawala [1969, 463–76], after a careful investigation, in which he considered the views of earlier scholars, has concluded that Pāṇini lived between 480 and 410 BC

14. ↑ Singh, Parmanand (1985), "The So-called Fibonacci Numbers in Ancient and Medieval India", Historia Mathematica, 12 (3), Academic Press: 232, doi:10.1016/0315-0860(85)90021-7

15. ↑ Velankar, HD (1962), 'Vṛttajātisamuccaya' of kavi Virahanka, Jodhpur: Rajasthan Oriental Research Institute, hlm. 101

16. ↑ Livio 2003, hlm. 197–198.

17. ↑ Shah, Jayant (1991), "A History of Piṅgala's Combinatorics" (PDF), Northeastern University: 41, diakses tanggal 4 January 2019

18. ↑ Sigler 2002, hlm. 404–405.

19. ↑ "Fibonacci's Liber Abaci (Book of Calculation)", The University of Utah, 13 December 2009, diakses tanggal 28 November 2018

20. ↑ Hemenway, Priya (2005), Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science, New York: Sterling, hlm. 20–21, ISBN 1-4027-3522-7

21. ↑ Knott, Ron (25 September 2016), "The Fibonacci Numbers and Golden section in Nature – 1", University of Surrey, diakses tanggal 27 November 2018

22. ↑ Knott, Ron, Fibonacci's Rabbits, University of Surrey Faculty of Engineering and Physical Sciences

23. ↑ Gardner, Martin (1996), Mathematical Circus, The Mathematical Association of America, hlm. 153, ISBN 978-0-88385-506-5, It is ironic that Leonardo, who made valuable contributions to mathematics, is remembered today mainly because a 19th-century French number theorist, Édouard Lucas... attached the name Fibonacci to a number sequence that appears in a trivial problem in Liber abaci

24. ↑ Sarah-Marie Belcastro (2018). Discrete Mathematics with Ducks (Edisi 2nd, illustrated). CRC Press. hlm. 260. ISBN 978-1-351-68369-2. Extract of page 260

25. ↑ Beutelspacher, Albrecht; Petri, Bernhard (1996), "Fibonacci-Zahlen", Der Goldene Schnitt, Einblick in die Wissenschaft, Vieweg+Teubner Verlag, hlm. 87–98, doi:10.1007/978-3-322-85165-9_6, ISBN 978-3-8154-2511-4

26. ↑ Ball 2003, hlm. 156.

27. ↑ Ball 2003, hlm. 155–156.

28. ↑ Gessel, Ira (October 1972), "Fibonacci is a Square" (PDF), The Fibonacci Quarterly, 10 (4): 417–19, diakses tanggal April 11, 2012

29. ↑ Lucas 1891, hlm. 4.

30. ↑ Vorobiev, Nikolaĭ Nikolaevich; Martin, Mircea (2002), "Chapter 1", Fibonacci Numbers, Birkhäuser, hlm. 5–6, ISBN 978-3-7643-6135-8

31. 1 2 (Inggris) Weisstein, Eric W., "Fibonacci Number", MathWorld

• Ball, Keith M (2003), "8: Fibonacci's Rabbits Revisited", Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11321-0.

• Beck, Matthias; Geoghegan, Ross (2010), The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics, New York: Springer, ISBN 978-1-4419-7022-0.

• Bóna, Miklós (2011), A Walk Through Combinatorics (Edisi 3rd), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-4335-23-2.

• Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (July 1998), Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity, Wiley, hlm. 91–101, ISBN 978-0-471-31515-5

• Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein, Springer Monographs in Mathematics, New York: Springer, ISBN 978-3-540-66957-9.

• Livio, Mario (2003) [2002], The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number (Edisi First trade paperback), New York City: Broadway Books, ISBN 0-7679-0816-3

• Lucas, Édouard (1891), Théorie des nombres (dalam bahasa Prancis), vol. 1, Paris: Gauthier-Villars.

• Sigler, L. E. (2002), Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano's Book of Calculation, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer, ISBN 978-0-387-95419-6

• Program bilangan Fibonacci

• Tabel 500 bilangan Fibonacci pertama

• The Golden Mean and the Physics of Aesthetics

• The Golden Section: Phi Diarsipkan 2006-12-05 di Wayback Machine.

• Menghitung bilangan Fibonacci pada Mesin Turing Diarsipkan 2005-02-06 di Wayback Machine.

• Hemachandra's application to Sanskrit poetry Diarsipkan 2012-07-16 di Wayback Machine.

• Deret Fibonacci Diarsipkan 2005-01-22 di Wayback Machine.

• Representasi Bilangan Bulat menggunakan bilangan Fibonacci Diarsipkan 2007-10-30 di Wayback Machine.