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Papers by François Staelens
Bibliographie 81 1. Ce paragraphe est basé sur [17]. 2. Ce paragraphe est basé sur [11]. une cont... more Bibliographie 81 1. Ce paragraphe est basé sur [17]. 2. Ce paragraphe est basé sur [11]. une contribution entièrement personnelle. Les idées et notions qui y sont exposées sont, à notre connaissance, entièrement originales. Concernant les Chapitres 2 et 3, le travail est en partie bibliographique car les concepts qui y sont présentés ne sont pas neufs. Mais notre contribution se situe, en plus du fait d'avoir réalisé une présentation synthétique de ces notions, dans le développement d'exemples et la démonstration de nombreux résultats. Toutes les démonstrations de ce mémoire ont été réalisées par l'auteur, sauf mention explicite du contraire. 1.1.1 Variétés et applications entre variétés Nous commençons par définir une variété différentiable de dimension n. Définition 1.1.1. M est une variété différentiable de dimension n si (1) M est un espace topologique séparé ; (2) M possède un atlas différentiable. Un atlas différentiable de M est une famille de cartes locales (u α , M α) α∈A (A est un index quelconque), telles que-(M α) α∈A est un recouvrement d'ouverts de M. 5 Chapitre 1. Rappels 6-pour tout α ∈ A, u α : M α → U α ⊂ R n , où U α := u α (M α) est un ouvert, est un homéomorphisme. Les u α sont appelées fonctions de coordonnées.-si M αβ := M α ∩ M β , U αβ := u α (M αβ) et U βα := u β (M αβ), alors u β • u −1 α : U αβ → U βα est C ∞. Nous attirons l'attention sur le fait que, pour tout n ∈ N 0 , R n est une variété différentiable. En effet, l'unique carte (R n , Id), où Id : R n → R n est l'identité, constitue un atlas différentiable de R n. Il s'agit de la variété triviale de dimension n. Nous enchainons avec le calculus sur les variétés différentiables. Définition 1.1.2. Soient M une variété de dimension m et N une variété de dimension n. Alors f : M → N est une application différentiable si, pour toute carte (U, φ) de M et (V, ψ) de N (tel que f (U) ⊂ V), l'application ψ • f • φ −1 : φ(U) → ψ(V), soit la représentation en coordonnées de f dans ces cartes, est C ∞. Un premier cas particulier de cette définition est le difféomorphisme. Définition 1.1.3. Soit f : M → N un homéomorphisme. Si ψ • f • φ −1 est inversible et si ψ • f • φ −1 ainsi que son inverse sont C ∞ , alors f est un difféomorphisme. Dans ce cas, N est dit difféomorphe à M. Une conséquence de cette définition est que deux variétés difféomorphes ont la même dimension. Un deuxième cas particulier d'application entre variétés est le champ scalaire. Définition 1.1.4. Soit M une variété de dimension n. Alors f : M → R est appelée un champ scalaire si f est une application différentiable. Nous notons l'ensemble des champs scalaires sur M par F(M). Un troisième cas particulier est la courbe. Définition 1.1.5. S'il existe a, b ∈ R tels que a < 0 < b et si c :]a, b[→ M est une application différentiable, alors c est appelée une courbe ouverte dans M. La représentation en coordonnées de la courbe c dans la carte (U, φ), C = φ • c, est appelée une représentation paramétrique de c. 1. Deux courbes vérifient la relation d'équivalence si le vecteur tangent le long de la première courbe est égal au vecteur tangent le long de la seconde courbe.
Physical Review D, 2014
Higgs inflation has received a remarkable attention in the last few years due to its simplicity a... more Higgs inflation has received a remarkable attention in the last few years due to its simplicity and predictive power. The key point of this model is the nonminimal coupling to gravity in unitary gauge. As such, this theory is in fact a scalar-tensor modification of gravity that needs to be studied also below the energy scales of inflation. Motivated by this goal, we study in great analytical and numerical detail the static and spherically symmetric solutions of the equations of motion in the presence of standard baryonic matter, called "Higgs monopoles" and presented in [1]. These particlelike solutions may arise naturally in tensor-scalar gravity with mexican hat potential and are the only globally regular asymptotically flat solutions with finite classical energy. In the case when the parameters of the potential are taken to be the ones of the standard model, we find that the deviations from general relativity are extremely small, especially for bodies of astrophysical size and density. This allows to derive a simplified description of the monopole, for which the metric inside the spherical matter distribution can be approximated by the standard metric of general relativity. We study how the properties of these monopoles depend on the strength of the nonminimal coupling to gravity and on the baryonic mass and compactness. An important and original result is the existence of a mechanism of resonant amplification of the Higgs field inside the monopole that comes into play for large nonminimal coupling. We show that this mechanism might degenerate into divergences of the Higgs field that reveal the existence of forbidden combinations of radius and baryonic energy density.
General Relativity and Gravitation, 2021
We study the spherical collapse of an over-density of a barotropic fluid with constant equation o... more We study the spherical collapse of an over-density of a barotropic fluid with constant equation of state in a cosmological background. Fully relativistic simulations are performed by using the Baumgarte-Shibata-Shapiro-Nakamura formalism jointly with the Valencia formulation of the hydrodynamics. This permits us to test the universality of the critical collapse with respect with the matter type by considering the constant equation of state ω as a control parameter. We exhibit, for a fixed radial profile of the energy-density contrast, the existence of a critical value ω * for the equation of state under which the fluctuation collapses to a black hole and above which it is diluting. It is shown numerically that the mass of the formed black hole, for subcritical solutions, obeys a scaling law M ∝ |ω − ω * | γ with a critical exponent γ independent on the matter type, revealing the universality. Simulations tend to show that, in a cosmological background, this scaling law is no more true for values very near the threshold ω * and that the mass stabilizes to a minimum value. We observe no such breaking of the universality in the case of a Minkowski background. Concerning the spherical collapse in a general way, we explain that considering only the central value for the energy-density contrast can lead to severe interpretation errors when dealing with pressured matter, showing the irrelevance of the top-hat approximation in this case.
Bibliographie 81 1. Ce paragraphe est basé sur [17]. 2. Ce paragraphe est basé sur [11]. une cont... more Bibliographie 81 1. Ce paragraphe est basé sur [17]. 2. Ce paragraphe est basé sur [11]. une contribution entièrement personnelle. Les idées et notions qui y sont exposées sont, à notre connaissance, entièrement originales. Concernant les Chapitres 2 et 3, le travail est en partie bibliographique car les concepts qui y sont présentés ne sont pas neufs. Mais notre contribution se situe, en plus du fait d'avoir réalisé une présentation synthétique de ces notions, dans le développement d'exemples et la démonstration de nombreux résultats. Toutes les démonstrations de ce mémoire ont été réalisées par l'auteur, sauf mention explicite du contraire. 1.1.1 Variétés et applications entre variétés Nous commençons par définir une variété différentiable de dimension n. Définition 1.1.1. M est une variété différentiable de dimension n si (1) M est un espace topologique séparé ; (2) M possède un atlas différentiable. Un atlas différentiable de M est une famille de cartes locales (u α , M α) α∈A (A est un index quelconque), telles que-(M α) α∈A est un recouvrement d'ouverts de M. 5 Chapitre 1. Rappels 6-pour tout α ∈ A, u α : M α → U α ⊂ R n , où U α := u α (M α) est un ouvert, est un homéomorphisme. Les u α sont appelées fonctions de coordonnées.-si M αβ := M α ∩ M β , U αβ := u α (M αβ) et U βα := u β (M αβ), alors u β • u −1 α : U αβ → U βα est C ∞. Nous attirons l'attention sur le fait que, pour tout n ∈ N 0 , R n est une variété différentiable. En effet, l'unique carte (R n , Id), où Id : R n → R n est l'identité, constitue un atlas différentiable de R n. Il s'agit de la variété triviale de dimension n. Nous enchainons avec le calculus sur les variétés différentiables. Définition 1.1.2. Soient M une variété de dimension m et N une variété de dimension n. Alors f : M → N est une application différentiable si, pour toute carte (U, φ) de M et (V, ψ) de N (tel que f (U) ⊂ V), l'application ψ • f • φ −1 : φ(U) → ψ(V), soit la représentation en coordonnées de f dans ces cartes, est C ∞. Un premier cas particulier de cette définition est le difféomorphisme. Définition 1.1.3. Soit f : M → N un homéomorphisme. Si ψ • f • φ −1 est inversible et si ψ • f • φ −1 ainsi que son inverse sont C ∞ , alors f est un difféomorphisme. Dans ce cas, N est dit difféomorphe à M. Une conséquence de cette définition est que deux variétés difféomorphes ont la même dimension. Un deuxième cas particulier d'application entre variétés est le champ scalaire. Définition 1.1.4. Soit M une variété de dimension n. Alors f : M → R est appelée un champ scalaire si f est une application différentiable. Nous notons l'ensemble des champs scalaires sur M par F(M). Un troisième cas particulier est la courbe. Définition 1.1.5. S'il existe a, b ∈ R tels que a < 0 < b et si c :]a, b[→ M est une application différentiable, alors c est appelée une courbe ouverte dans M. La représentation en coordonnées de la courbe c dans la carte (U, φ), C = φ • c, est appelée une représentation paramétrique de c. 1. Deux courbes vérifient la relation d'équivalence si le vecteur tangent le long de la première courbe est égal au vecteur tangent le long de la seconde courbe.
Physical Review D, 2014
Higgs inflation has received a remarkable attention in the last few years due to its simplicity a... more Higgs inflation has received a remarkable attention in the last few years due to its simplicity and predictive power. The key point of this model is the nonminimal coupling to gravity in unitary gauge. As such, this theory is in fact a scalar-tensor modification of gravity that needs to be studied also below the energy scales of inflation. Motivated by this goal, we study in great analytical and numerical detail the static and spherically symmetric solutions of the equations of motion in the presence of standard baryonic matter, called "Higgs monopoles" and presented in [1]. These particlelike solutions may arise naturally in tensor-scalar gravity with mexican hat potential and are the only globally regular asymptotically flat solutions with finite classical energy. In the case when the parameters of the potential are taken to be the ones of the standard model, we find that the deviations from general relativity are extremely small, especially for bodies of astrophysical size and density. This allows to derive a simplified description of the monopole, for which the metric inside the spherical matter distribution can be approximated by the standard metric of general relativity. We study how the properties of these monopoles depend on the strength of the nonminimal coupling to gravity and on the baryonic mass and compactness. An important and original result is the existence of a mechanism of resonant amplification of the Higgs field inside the monopole that comes into play for large nonminimal coupling. We show that this mechanism might degenerate into divergences of the Higgs field that reveal the existence of forbidden combinations of radius and baryonic energy density.
General Relativity and Gravitation, 2021
We study the spherical collapse of an over-density of a barotropic fluid with constant equation o... more We study the spherical collapse of an over-density of a barotropic fluid with constant equation of state in a cosmological background. Fully relativistic simulations are performed by using the Baumgarte-Shibata-Shapiro-Nakamura formalism jointly with the Valencia formulation of the hydrodynamics. This permits us to test the universality of the critical collapse with respect with the matter type by considering the constant equation of state ω as a control parameter. We exhibit, for a fixed radial profile of the energy-density contrast, the existence of a critical value ω * for the equation of state under which the fluctuation collapses to a black hole and above which it is diluting. It is shown numerically that the mass of the formed black hole, for subcritical solutions, obeys a scaling law M ∝ |ω − ω * | γ with a critical exponent γ independent on the matter type, revealing the universality. Simulations tend to show that, in a cosmological background, this scaling law is no more true for values very near the threshold ω * and that the mass stabilizes to a minimum value. We observe no such breaking of the universality in the case of a Minkowski background. Concerning the spherical collapse in a general way, we explain that considering only the central value for the energy-density contrast can lead to severe interpretation errors when dealing with pressured matter, showing the irrelevance of the top-hat approximation in this case.