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Papers by Gérard Besson
Annales de l’institut Fourier, 1980
Ce travail est consacré à la première valeur propre des variétés riemanniennes compactes de dimen... more Ce travail est consacré à la première valeur propre des variétés riemanniennes compactes de dimension 2. Soit (M, g) une variété riemannienne compacte connexe, A son laplacien, le spectre de (M, g) est l'ensemble des valeurs propres de A agissant sur l'es pace des fonctions différentiables sur M, il forme une suite de terme général \ telle que 0 = \ < \ < X, ... On note enfin m^(g) la multiplicité de X^. En 1975 S.Y. Cheng [8] démontrait le résultat suivant : Si M est une surface de Riemann compacte de genre p on a : k(g) < (ÎP + k + 1) (2p + k + 2)12 pour toute métrique g sur M. En particulier :-pour toute g sur M = S2 on a toujours m^(g) < 3 (no tons que Wi(can) = 3, où g = can désigne la structure riemannienne canonique de S2)-pour toute g sur T2, m^g) < 10 (notons que sur T2 la plus grande multiplicité connue était 6). Dans le présent travail on améliore ces résultats par un raffine ment de la technique de Cheng. Dans la section 1 on rappelle les résultats de S.Y. Cheng. Dans la section 2 on procède à une première amélioration des résultats énoncés cidessus. On utilise la méthode de Cheng qui 110 G. BESSON consiste à borner l'ordre d'annulation d'une fonction propre du laplacien en un point quelconque de la variété par des considéra tions uniquement topologiques et de là à montrer que la multi plicité de la valeur propre considérée ne peut être arbitrairement grande. On remarque alors que, dans une carte locale, les dérivées partielles de la fonction d'ordre supérieur ou égal à 2 vérifient une relation, conséquence triviale de l'équation A^p = \^. Ceci permet alors de montrer : Si M est une surface de Riemann compacte de genre p, pour toute métrique g sur M, alors m^g) < 4p + 2k + 1. Un théorème analogue peut être obtenu pour une variété compacte de dimension 2 non orientable, en considérant son revê tement des orientations : ,^ Si M est compacte, non orientable, de dimension 2, pour toute g sur M, m^(g) < 4p + 4k + 3 où p = 1-X(M). Dans la section 3.A on étudie la cas particulier où M = S2. Le théorème (1) fourni le résultat: m^(g) < 3 pour toute g sur M. On montre le résultat suivant : 77 existe sur M = S2 des métriques g =^ can telles que. () m,(g)==3. La démonstration repose sur une idée suggérée par P. Deligne. Si G est un sousgroupe fini de Isom(S2, can) agissant irréduc tiblement dans le premier sous-espace propre de (S2, can) et g une métrique sur S2 invariante sous l'action de G, on montre que les métriques ^ = tg 4-(1-t) can sont telles que G agit irréductiblement dans le premier sous-espace propre de (S2, g). On utilise une technique de perturbation d'opérateurs déjà utilisée dans «M. Berger. Sur les premières valeurs propres des variétés riemanniennes, Compositio Math. Vol. 26 (1973), 129-149», mais dont la démonstration complète a été donnée par P. Bérard [3] qui permet de démontrer la continuité du caractère d'où le fait qu'il est constant. Ainsi on montre que m^)=3. L'existence du groupe G est claire, le groupe tétraédral convient par exemple. Dans la section 3.B on étudie la cas M = P^R). D'après le théorème (2) on a : pour toute g sur M, m^g) < 7. Un argument
We prove curvature-free versions of the celebrated Margulis Lemma. We are interested by both the ... more We prove curvature-free versions of the celebrated Margulis Lemma. We are interested by both the algebraic aspects and the geometric ones, with however an emphasis on the second and we aim at giving quantitative (computable) estimates of some important invariants. Our goal is to get rid of the pointwise curvature assumptions in order to extend the results to more general spaces such as certain metric spaces. Essentially the upper bound on the curvature is replaced by the assumption that the space is _ delta\deltadelta-hyperbolic in the sense of Gromov and the lower bound of the curvature by an upper bound on the entropy which we recall the definition.
Dedicated to Manfredo do Carmo with admiration 1 Introduction This text is a short account of a j... more Dedicated to Manfredo do Carmo with admiration 1 Introduction This text is a short account of a joint work with M. Boileau, L. Bessières, S. Maillot and J. Porti on the geometrization of certain 3-dimensional manifolds (see [5]). It relies heavily on R. Hamilton and G. Perelman's works on the Ricci flow which we shall briefly describe at the beginning. Extended notes on these have been published by H.-D. Cao and X.-P. Zhu ([9]), B. Kleiner and J. Lott ([23]) and J. Morgan and G. Tian ([25]). For the completion of the geometrization conjecture, at the moment, at least four schemes have been developped. The key part is the understanding of the non hyperbolic pieces that appear during the long term evolution of the flow. In [30], G. Perelman suggested an approach which relies on a work by T. Shioya and T. Yamaguchi [34] using a refined study of Alexandrov spaces and in particular a stability theorem due to G. Perelman himself and written by V. Kapovitch in [22]. Recently (september 2008) J. Morgan and G. Tian posted on the web (see [26]) * The author wishes to thank the XV Escola de Geometria Differencial for its kind invitation. For further informations the reader may also look at the following survey papers [2, 6, 31] and the forthcoming monography [4]. 2 H. Poincaré and W. Thurston: the topology and geometry of 3-manifolds Let M 3 be a closed, connected, orientable 3-dimensional manifold. The famous Poincaré conjecture tells us how to distinguish the sphere among the other 3dimensional manifolds only from its topology. Conjecture 2.1 (Poincaré [32], 1904). If M 3 is simply connected then M is homeomorphic (diffeo) to the 3-sphere S 3. This conjecture was published in an issue of the Rendiconti del Circolo Matematica di Palermo ([32]). Let us recall that in dimension 3 the homeomorphism classes and the diffeomorphism classes are the same. While trying to solve this conjecture, prominent mathematicians have introduced quite a few important notions and proved fundamental results in 3-dimensional topology. However, for a long time it was not clear whether it was true or not and several attempts to disprove it were made. The reader may want to read [3] where a more precise historical note is given (this text is in french). In the 70's W. Thurston generalized the Poincaré conjecture allowing the geometric construction of all 3-dimensional manifolds. Conjecture 2.2 (geometrization conjecture, Thurston [36], 1982). M 3 can be cut open into geometric pieces. The precise meaning of this statement can be checked in [6]. Grosso modo it means that M can be cut open along a finite family of incompressible tori so that each piece left carries one of the eight geometries in dimension 3 (see [33]). Among these geometries are the three constant curvature ones: spherical, flat and hyperbolic and five others such as the one given by the Heisenberg group and the Sol group (check the details in [33]). Thurston included the differential
Inventiones Mathematicae, 2010
Let M be a closed, orientable, irreducible, non-simply connected 3-manifold. We prove that if M a... more Let M be a closed, orientable, irreducible, non-simply connected 3-manifold. We prove that if M admits a sequence of Riemannian metrics which volume-collapses and whose sectional curvature is locally controlled, then M is a graph manifold. This is the last step in Perelman’s proof of Thurston’s Geometrisation Conjecture.
Annales de l’institut Fourier, 1980
Ce travail est consacré à la première valeur propre des variétés riemanniennes compactes de dimen... more Ce travail est consacré à la première valeur propre des variétés riemanniennes compactes de dimension 2. Soit (M, g) une variété riemannienne compacte connexe, A son laplacien, le spectre de (M, g) est l'ensemble des valeurs propres de A agissant sur l'es pace des fonctions différentiables sur M, il forme une suite de terme général \ telle que 0 = \ < \ < X, ... On note enfin m^(g) la multiplicité de X^. En 1975 S.Y. Cheng [8] démontrait le résultat suivant : Si M est une surface de Riemann compacte de genre p on a : k(g) < (ÎP + k + 1) (2p + k + 2)12 pour toute métrique g sur M. En particulier :-pour toute g sur M = S2 on a toujours m^(g) < 3 (no tons que Wi(can) = 3, où g = can désigne la structure riemannienne canonique de S2)-pour toute g sur T2, m^g) < 10 (notons que sur T2 la plus grande multiplicité connue était 6). Dans le présent travail on améliore ces résultats par un raffine ment de la technique de Cheng. Dans la section 1 on rappelle les résultats de S.Y. Cheng. Dans la section 2 on procède à une première amélioration des résultats énoncés cidessus. On utilise la méthode de Cheng qui 110 G. BESSON consiste à borner l'ordre d'annulation d'une fonction propre du laplacien en un point quelconque de la variété par des considéra tions uniquement topologiques et de là à montrer que la multi plicité de la valeur propre considérée ne peut être arbitrairement grande. On remarque alors que, dans une carte locale, les dérivées partielles de la fonction d'ordre supérieur ou égal à 2 vérifient une relation, conséquence triviale de l'équation A^p = \^. Ceci permet alors de montrer : Si M est une surface de Riemann compacte de genre p, pour toute métrique g sur M, alors m^g) < 4p + 2k + 1. Un théorème analogue peut être obtenu pour une variété compacte de dimension 2 non orientable, en considérant son revê tement des orientations : ,^ Si M est compacte, non orientable, de dimension 2, pour toute g sur M, m^(g) < 4p + 4k + 3 où p = 1-X(M). Dans la section 3.A on étudie la cas particulier où M = S2. Le théorème (1) fourni le résultat: m^(g) < 3 pour toute g sur M. On montre le résultat suivant : 77 existe sur M = S2 des métriques g =^ can telles que. () m,(g)==3. La démonstration repose sur une idée suggérée par P. Deligne. Si G est un sousgroupe fini de Isom(S2, can) agissant irréduc tiblement dans le premier sous-espace propre de (S2, can) et g une métrique sur S2 invariante sous l'action de G, on montre que les métriques ^ = tg 4-(1-t) can sont telles que G agit irréductiblement dans le premier sous-espace propre de (S2, g). On utilise une technique de perturbation d'opérateurs déjà utilisée dans «M. Berger. Sur les premières valeurs propres des variétés riemanniennes, Compositio Math. Vol. 26 (1973), 129-149», mais dont la démonstration complète a été donnée par P. Bérard [3] qui permet de démontrer la continuité du caractère d'où le fait qu'il est constant. Ainsi on montre que m^)=3. L'existence du groupe G est claire, le groupe tétraédral convient par exemple. Dans la section 3.B on étudie la cas M = P^R). D'après le théorème (2) on a : pour toute g sur M, m^g) < 7. Un argument
We prove curvature-free versions of the celebrated Margulis Lemma. We are interested by both the ... more We prove curvature-free versions of the celebrated Margulis Lemma. We are interested by both the algebraic aspects and the geometric ones, with however an emphasis on the second and we aim at giving quantitative (computable) estimates of some important invariants. Our goal is to get rid of the pointwise curvature assumptions in order to extend the results to more general spaces such as certain metric spaces. Essentially the upper bound on the curvature is replaced by the assumption that the space is _ delta\deltadelta-hyperbolic in the sense of Gromov and the lower bound of the curvature by an upper bound on the entropy which we recall the definition.
Dedicated to Manfredo do Carmo with admiration 1 Introduction This text is a short account of a j... more Dedicated to Manfredo do Carmo with admiration 1 Introduction This text is a short account of a joint work with M. Boileau, L. Bessières, S. Maillot and J. Porti on the geometrization of certain 3-dimensional manifolds (see [5]). It relies heavily on R. Hamilton and G. Perelman's works on the Ricci flow which we shall briefly describe at the beginning. Extended notes on these have been published by H.-D. Cao and X.-P. Zhu ([9]), B. Kleiner and J. Lott ([23]) and J. Morgan and G. Tian ([25]). For the completion of the geometrization conjecture, at the moment, at least four schemes have been developped. The key part is the understanding of the non hyperbolic pieces that appear during the long term evolution of the flow. In [30], G. Perelman suggested an approach which relies on a work by T. Shioya and T. Yamaguchi [34] using a refined study of Alexandrov spaces and in particular a stability theorem due to G. Perelman himself and written by V. Kapovitch in [22]. Recently (september 2008) J. Morgan and G. Tian posted on the web (see [26]) * The author wishes to thank the XV Escola de Geometria Differencial for its kind invitation. For further informations the reader may also look at the following survey papers [2, 6, 31] and the forthcoming monography [4]. 2 H. Poincaré and W. Thurston: the topology and geometry of 3-manifolds Let M 3 be a closed, connected, orientable 3-dimensional manifold. The famous Poincaré conjecture tells us how to distinguish the sphere among the other 3dimensional manifolds only from its topology. Conjecture 2.1 (Poincaré [32], 1904). If M 3 is simply connected then M is homeomorphic (diffeo) to the 3-sphere S 3. This conjecture was published in an issue of the Rendiconti del Circolo Matematica di Palermo ([32]). Let us recall that in dimension 3 the homeomorphism classes and the diffeomorphism classes are the same. While trying to solve this conjecture, prominent mathematicians have introduced quite a few important notions and proved fundamental results in 3-dimensional topology. However, for a long time it was not clear whether it was true or not and several attempts to disprove it were made. The reader may want to read [3] where a more precise historical note is given (this text is in french). In the 70's W. Thurston generalized the Poincaré conjecture allowing the geometric construction of all 3-dimensional manifolds. Conjecture 2.2 (geometrization conjecture, Thurston [36], 1982). M 3 can be cut open into geometric pieces. The precise meaning of this statement can be checked in [6]. Grosso modo it means that M can be cut open along a finite family of incompressible tori so that each piece left carries one of the eight geometries in dimension 3 (see [33]). Among these geometries are the three constant curvature ones: spherical, flat and hyperbolic and five others such as the one given by the Heisenberg group and the Sol group (check the details in [33]). Thurston included the differential
Inventiones Mathematicae, 2010
Let M be a closed, orientable, irreducible, non-simply connected 3-manifold. We prove that if M a... more Let M be a closed, orientable, irreducible, non-simply connected 3-manifold. We prove that if M admits a sequence of Riemannian metrics which volume-collapses and whose sectional curvature is locally controlled, then M is a graph manifold. This is the last step in Perelman’s proof of Thurston’s Geometrisation Conjecture.