Juan Varona - Academia.edu (original) (raw)

Papers by Juan Varona

ArXiv, 2021

For fixed positive integers n, we study the solution of the equation n = k + pk, where pk denotes... more For fixed positive integers n, we study the solution of the equation n = k + pk, where pk denotes the kth prime number, by means of the iterative method kj+1 = π(n− kj), k0 = π(n), which converges to the solution of the equation, if it exists. We also analyze the equation n = ak + bpk for fixed integer values a 6= 0 and b > 0, and its solution by means of a corresponding iterative method. The case a > 0 is somewhat similar to the case a = b = 1, while for a < 0 the convergence and usefulness of the method are less satisfactory. The paper also includes a study of the dynamics of the iterative methods.

We present a new proof of Euler's formulas for ζ(2k), where k = 1,2,3,..., which uses only th... more We present a new proof of Euler's formulas for ζ(2k), where k = 1,2,3,..., which uses only the defining properties of the Bernoulli polynomials, obtaining the value of ζ(2k) by summing a telescoping series. Only basic techniques from Calculus are needed to carry out the computation. The method also applies to ζ(2k+1) and the harmonic numbers, yielding integral formulas for these.

We present a three-point iterative method without memory for solving nonlinear equations in one v... more We present a three-point iterative method without memory for solving nonlinear equations in one variable. The proposed method provides convergence order eight with four function evaluations per iteration. Hence, it possesses a very high computational efficiency and supports Kung and Traub's conjecture. The construction, the convergence analysis, and the numerical implementation of the method will be presented. Using several test problems, the proposed method will be compared with existing methods of convergence order eight concerning accuracy and basin of attraction. Furthermore, some measures are used to judge methods with respect to their performance in finding the basin of attraction.

Computer algebra systems are a great help for mathematical research but sometimes unexpected erro... more Computer algebra systems are a great help for mathematical research but sometimes unexpected errors in the software can also badly affect it. As an example, we show how we have detected an error of Mathematica computing determinants of matrices of integer numbers: not only it computes the determinants wrongly, but also it produces different results if one evaluates the same determinant twice.

We analyze the asymptotic behavior of the Apostol-Bernoulli polynomials B_n(x;λ) in detail. The s... more We analyze the asymptotic behavior of the Apostol-Bernoulli polynomials B_n(x;λ) in detail. The starting point is their Fourier series on [0,1] which, it is shown, remains valid as an asymptotic expansion over compact subsets of the complex plane. This is used to determine explicit estimates on the constants in the approximation, and also to analyze oscillatory phenomena which arise in certain cases. These results are transferred to the Apostol-Euler polynomials E_n(x;λ) via a simple relation linking them to the Apostol-Bernoulli polynomials.

In the context of the Dunkl transform a complete orthogonal system arises in a very natural way. ... more In the context of the Dunkl transform a complete orthogonal system arises in a very natural way. This paper studies the weighted norm convergence of the Fourier series expansion associated to this system. We establish conditions on the weights, in terms of the A_p classes of Muckenhoupt, which ensure the convergence. Necessary conditions are also proved, which for a wide class of weights coincide with the sufficient conditions.

Qualitative Theory of Dynamical Systems, 2022

Many multipoint iterative methods without memory for solving non-linear equations in one variable... more Many multipoint iterative methods without memory for solving non-linear equations in one variable are found in the literature. In particular, there are methods that provide fourth-order, eighth-order or sixteenth-order convergence using only, respectively, three, four or five function evaluations per iteration step, thus supporting the Kung-Traub conjecture on the optimal order of convergence. This paper shows how to find optimal high order root-finding iterative methods by means of a general scheme based in weight functions. In particular, we explicitly give an optimal thirty-second-order iterative method; as long as we know, an iterative method with that order of convergence has not been described before. Finally, we give a conjecture about optimal order multipoint iterative methods with weights.

We obtain a q-linear analogue of Gegenbauer's expansion of the plane wave. It is expanded in ... more We obtain a q-linear analogue of Gegenbauer's expansion of the plane wave. It is expanded in terms of the little q-Gegenbauer polynomials and the third Jackson q-Bessel function. The result is obtained by using a method based on bilinear biorthogonal expansions.

Given α > -1, consider the second order differential operator in (0,∞), L_α f ≡ (x^2 d^2/dx^2 ... more Given α > -1, consider the second order differential operator in (0,∞), L_α f ≡ (x^2 d^2/dx^2 + (2α+3)x d/dx + x^2 + (α+1)^2)(f), which appears in the theory of Bessel functions. The purpose of this paper is to develop the corresponding harmonic analysis taking L_α as the analogue to the classical Laplacian. Namely we study the boundedness properties of the heat and Poisson semigroups. These boundedness properties allow us to obtain some convergence results that can be used to solve the Cauchy problem for the corresponding heat and Poisson equations.

Los metodos clasicos para resolver ecuaciones diferenciales son importantes pero dificiles de rec... more Los metodos clasicos para resolver ecuaciones diferenciales son importantes pero dificiles de recordar. Por eso nos planteamos escribir un texto dedicado a ellos con exclusividad, donde se pudiesen encontrar los metodos facilmente. De aqui que este libro no contiene nada de los muchos aspectos fundamentales de la teoria de ecuaciones diferenciales: existencia y unicidad de soluciones, sistemas de ecuaciones, integracion por desarrollos en serie, estabilidad, ..., por citar solo unos pocos. Es claro que, matematicamente hablando, no puede plantearse un estudio serio de las ecuaciones diferenciales sin abordar estos temas, pero no es este el objetivo del libro. Los temas que aqui se tratan pueden explicarse a estudiantes de diversas carreras tal como aparecen desarrollados. El libro consta fundamentalmente de tres partes, de acuerdo a una primera clasificacion general de las ecuaciones que se estudian: ecuaciones explicitas de primer orden, ecuaciones en las que la derivada aparece im...

Resumen. Consideramos un operador diferencial autoadjunto L con autovalores positivos. En este ar... more Resumen. Consideramos un operador diferencial autoadjunto L con autovalores positivos. En este art́ıculo damos una visión general del método que se sigue para definir de manera espectral el semigrupo del calor e−tL, el de Poisson e−t √ L y los potenciales de Riesz L−a, hasta llegar a la descomposición L = δ∗δ (con δ y δ∗ dos operadores diferenciales de primer orden adjuntos), y aśı definir la transformada de Riesz R = δL−1/2. En particular, para el operador diferencial Lα que se corresponde con los desarrollos de Fourier-Neumann de orden α > −1, con la ayuda de un sistema de álgebra computacional hemos encontrado una pléyade de descomposiciones Lα = δ∗δ (o similares). Pero ninguna de ellas parece ser útil para definir la transformada de Riesz, puesto que los operadores δ y δ∗ son demasiado “raros”: las expresiones de δ y δ∗ contienen funciones con una cantidad infinita de polos, luego al aplicar δ no obtenemos funciones integrables.

Revista Espanola De Salud Publica, 2016

RESUMEN Fundamentos: Las infecciones causadas por el Streptococcus pneumoniae en el adulto tienen... more RESUMEN Fundamentos: Las infecciones causadas por el Streptococcus pneumoniae en el adulto tienen repercusiones importantes en la salud. El objetivo fue analizar el impacto economico y sanitario en 5 anos de la vacunacion de la cohorte espanola de 65 anos inmunocompetente con la vacuna antineumococica conjugada 13-valente. Metodos: Mediante un modelo de transmision dinamica basado en ecuaciones diferenciales se analizo la carga de la enfermedad neumococica (EN) en sujetos de 65 anos en 5 anos, siendo vacunada anualmente el 36,5% de la cohorte. Se aplico la eficacia de la vacuna del 52,5% observada en el estudio CAPITA en pacientes de 65 anos inmunocompetentes, cobertura de serotipos vacunales del 63,4% (estudio CAPA), incidencia de infeccion neumococica de 162,2/100.000 casos ano (CMBD 2010-2013) y proporcion de vacunados previamente al arranque del modelo del 0,99%. La perspectiva fue la del Sistema Nacional de Salud (SNS). Costes de casos de EN segun CMBD y precio de venta de labo...

Revista Espanola De Salud Publica, 2016

Fundamentos: Las infecciones causadas por el Streptococcus pneumoniae en el adulto tienen repercu... more Fundamentos: Las infecciones causadas por el Streptococcus pneumoniae en el adulto tienen repercusiones importantes en la salud. El objetivo fue analizar el impacto economico y sanitario en 5 anos de la vacunacion de la cohorte espanola de 65 anos inmunocompetente con la vacuna antineumo cocica conjugada 13-valente. Metodos: Mediante un modelo de transmision dinamica basado en ecuaciones diferenciales se analizo la carga de la enfermedad neumococica (EN) en sujetos de 65 anos en 5 anos, siendo vacunada anualmente el 36,5% de la cohorte. Se aplico la eficacia de la vacuna del 52,5% observada en el estudio CAPITA en pacientes de 65 anos inmunocompetentes, cobertura de serotipos vacunales del 63,4% (estudio CAPA), incidencia de infeccion neumococica de 162,2/100.000 casos ano (CMBD 2010-2013) y proporcion de vacunados previamente al arranque del modelo del 0,99%. La perspectiva fue la del Sistema Nacional de Salud (SNS). Costes de casos de EN segun CMBD y precio de venta de laboratorio...

El objetivo mas inmediato de la teoria de aproximacion es proporcionar objetos sencillos y facilm... more El objetivo mas inmediato de la teoria de aproximacion es proporcionar objetos sencillos y facilmente calculables (polinomios, por ejemplo) que se aproximen a unos objetos dados (funciones de variable real, por ejemplo).Con eso en mente, los polinomios ortogonales son centrales en dicha teoria,y tienen aplicaciones en multitud de campos de la matematica y de la fisica. Tienen una gran cantidad de propiedades interesantes, y siguen siendo un tema de investigacion muy activo; de hecho, la investigacion sobre polinomios ortogonales ocupa a numerosos matematicos, y cada ano se publican cientosde articulos sobre el tema. Pero no vamos a dedicarnos aqui a ellos, sino que solo mencionaremos alguna de sus propiedades como justificacion paramotivar el problema que pretendemos abordar.

ArXiv, 2021

For fixed positive integers n, we study the solution of the equation n = k + pk, where pk denotes... more For fixed positive integers n, we study the solution of the equation n = k + pk, where pk denotes the kth prime number, by means of the iterative method kj+1 = π(n− kj), k0 = π(n), which converges to the solution of the equation, if it exists. We also analyze the equation n = ak + bpk for fixed integer values a 6= 0 and b > 0, and its solution by means of a corresponding iterative method. The case a > 0 is somewhat similar to the case a = b = 1, while for a < 0 the convergence and usefulness of the method are less satisfactory. The paper also includes a study of the dynamics of the iterative methods.

We present a new proof of Euler's formulas for ζ(2k), where k = 1,2,3,..., which uses only th... more We present a new proof of Euler's formulas for ζ(2k), where k = 1,2,3,..., which uses only the defining properties of the Bernoulli polynomials, obtaining the value of ζ(2k) by summing a telescoping series. Only basic techniques from Calculus are needed to carry out the computation. The method also applies to ζ(2k+1) and the harmonic numbers, yielding integral formulas for these.

We present a three-point iterative method without memory for solving nonlinear equations in one v... more We present a three-point iterative method without memory for solving nonlinear equations in one variable. The proposed method provides convergence order eight with four function evaluations per iteration. Hence, it possesses a very high computational efficiency and supports Kung and Traub's conjecture. The construction, the convergence analysis, and the numerical implementation of the method will be presented. Using several test problems, the proposed method will be compared with existing methods of convergence order eight concerning accuracy and basin of attraction. Furthermore, some measures are used to judge methods with respect to their performance in finding the basin of attraction.

Computer algebra systems are a great help for mathematical research but sometimes unexpected erro... more Computer algebra systems are a great help for mathematical research but sometimes unexpected errors in the software can also badly affect it. As an example, we show how we have detected an error of Mathematica computing determinants of matrices of integer numbers: not only it computes the determinants wrongly, but also it produces different results if one evaluates the same determinant twice.

We analyze the asymptotic behavior of the Apostol-Bernoulli polynomials B_n(x;λ) in detail. The s... more We analyze the asymptotic behavior of the Apostol-Bernoulli polynomials B_n(x;λ) in detail. The starting point is their Fourier series on [0,1] which, it is shown, remains valid as an asymptotic expansion over compact subsets of the complex plane. This is used to determine explicit estimates on the constants in the approximation, and also to analyze oscillatory phenomena which arise in certain cases. These results are transferred to the Apostol-Euler polynomials E_n(x;λ) via a simple relation linking them to the Apostol-Bernoulli polynomials.

In the context of the Dunkl transform a complete orthogonal system arises in a very natural way. ... more In the context of the Dunkl transform a complete orthogonal system arises in a very natural way. This paper studies the weighted norm convergence of the Fourier series expansion associated to this system. We establish conditions on the weights, in terms of the A_p classes of Muckenhoupt, which ensure the convergence. Necessary conditions are also proved, which for a wide class of weights coincide with the sufficient conditions.

Qualitative Theory of Dynamical Systems, 2022

Many multipoint iterative methods without memory for solving non-linear equations in one variable... more Many multipoint iterative methods without memory for solving non-linear equations in one variable are found in the literature. In particular, there are methods that provide fourth-order, eighth-order or sixteenth-order convergence using only, respectively, three, four or five function evaluations per iteration step, thus supporting the Kung-Traub conjecture on the optimal order of convergence. This paper shows how to find optimal high order root-finding iterative methods by means of a general scheme based in weight functions. In particular, we explicitly give an optimal thirty-second-order iterative method; as long as we know, an iterative method with that order of convergence has not been described before. Finally, we give a conjecture about optimal order multipoint iterative methods with weights.

We obtain a q-linear analogue of Gegenbauer's expansion of the plane wave. It is expanded in ... more We obtain a q-linear analogue of Gegenbauer's expansion of the plane wave. It is expanded in terms of the little q-Gegenbauer polynomials and the third Jackson q-Bessel function. The result is obtained by using a method based on bilinear biorthogonal expansions.

Given α > -1, consider the second order differential operator in (0,∞), L_α f ≡ (x^2 d^2/dx^2 ... more Given α > -1, consider the second order differential operator in (0,∞), L_α f ≡ (x^2 d^2/dx^2 + (2α+3)x d/dx + x^2 + (α+1)^2)(f), which appears in the theory of Bessel functions. The purpose of this paper is to develop the corresponding harmonic analysis taking L_α as the analogue to the classical Laplacian. Namely we study the boundedness properties of the heat and Poisson semigroups. These boundedness properties allow us to obtain some convergence results that can be used to solve the Cauchy problem for the corresponding heat and Poisson equations.

Los metodos clasicos para resolver ecuaciones diferenciales son importantes pero dificiles de rec... more Los metodos clasicos para resolver ecuaciones diferenciales son importantes pero dificiles de recordar. Por eso nos planteamos escribir un texto dedicado a ellos con exclusividad, donde se pudiesen encontrar los metodos facilmente. De aqui que este libro no contiene nada de los muchos aspectos fundamentales de la teoria de ecuaciones diferenciales: existencia y unicidad de soluciones, sistemas de ecuaciones, integracion por desarrollos en serie, estabilidad, ..., por citar solo unos pocos. Es claro que, matematicamente hablando, no puede plantearse un estudio serio de las ecuaciones diferenciales sin abordar estos temas, pero no es este el objetivo del libro. Los temas que aqui se tratan pueden explicarse a estudiantes de diversas carreras tal como aparecen desarrollados. El libro consta fundamentalmente de tres partes, de acuerdo a una primera clasificacion general de las ecuaciones que se estudian: ecuaciones explicitas de primer orden, ecuaciones en las que la derivada aparece im...

Resumen. Consideramos un operador diferencial autoadjunto L con autovalores positivos. En este ar... more Resumen. Consideramos un operador diferencial autoadjunto L con autovalores positivos. En este art́ıculo damos una visión general del método que se sigue para definir de manera espectral el semigrupo del calor e−tL, el de Poisson e−t √ L y los potenciales de Riesz L−a, hasta llegar a la descomposición L = δ∗δ (con δ y δ∗ dos operadores diferenciales de primer orden adjuntos), y aśı definir la transformada de Riesz R = δL−1/2. En particular, para el operador diferencial Lα que se corresponde con los desarrollos de Fourier-Neumann de orden α > −1, con la ayuda de un sistema de álgebra computacional hemos encontrado una pléyade de descomposiciones Lα = δ∗δ (o similares). Pero ninguna de ellas parece ser útil para definir la transformada de Riesz, puesto que los operadores δ y δ∗ son demasiado “raros”: las expresiones de δ y δ∗ contienen funciones con una cantidad infinita de polos, luego al aplicar δ no obtenemos funciones integrables.

Revista Espanola De Salud Publica, 2016

RESUMEN Fundamentos: Las infecciones causadas por el Streptococcus pneumoniae en el adulto tienen... more RESUMEN Fundamentos: Las infecciones causadas por el Streptococcus pneumoniae en el adulto tienen repercusiones importantes en la salud. El objetivo fue analizar el impacto economico y sanitario en 5 anos de la vacunacion de la cohorte espanola de 65 anos inmunocompetente con la vacuna antineumococica conjugada 13-valente. Metodos: Mediante un modelo de transmision dinamica basado en ecuaciones diferenciales se analizo la carga de la enfermedad neumococica (EN) en sujetos de 65 anos en 5 anos, siendo vacunada anualmente el 36,5% de la cohorte. Se aplico la eficacia de la vacuna del 52,5% observada en el estudio CAPITA en pacientes de 65 anos inmunocompetentes, cobertura de serotipos vacunales del 63,4% (estudio CAPA), incidencia de infeccion neumococica de 162,2/100.000 casos ano (CMBD 2010-2013) y proporcion de vacunados previamente al arranque del modelo del 0,99%. La perspectiva fue la del Sistema Nacional de Salud (SNS). Costes de casos de EN segun CMBD y precio de venta de labo...

Revista Espanola De Salud Publica, 2016

Fundamentos: Las infecciones causadas por el Streptococcus pneumoniae en el adulto tienen repercu... more Fundamentos: Las infecciones causadas por el Streptococcus pneumoniae en el adulto tienen repercusiones importantes en la salud. El objetivo fue analizar el impacto economico y sanitario en 5 anos de la vacunacion de la cohorte espanola de 65 anos inmunocompetente con la vacuna antineumo cocica conjugada 13-valente. Metodos: Mediante un modelo de transmision dinamica basado en ecuaciones diferenciales se analizo la carga de la enfermedad neumococica (EN) en sujetos de 65 anos en 5 anos, siendo vacunada anualmente el 36,5% de la cohorte. Se aplico la eficacia de la vacuna del 52,5% observada en el estudio CAPITA en pacientes de 65 anos inmunocompetentes, cobertura de serotipos vacunales del 63,4% (estudio CAPA), incidencia de infeccion neumococica de 162,2/100.000 casos ano (CMBD 2010-2013) y proporcion de vacunados previamente al arranque del modelo del 0,99%. La perspectiva fue la del Sistema Nacional de Salud (SNS). Costes de casos de EN segun CMBD y precio de venta de laboratorio...

El objetivo mas inmediato de la teoria de aproximacion es proporcionar objetos sencillos y facilm... more El objetivo mas inmediato de la teoria de aproximacion es proporcionar objetos sencillos y facilmente calculables (polinomios, por ejemplo) que se aproximen a unos objetos dados (funciones de variable real, por ejemplo).Con eso en mente, los polinomios ortogonales son centrales en dicha teoria,y tienen aplicaciones en multitud de campos de la matematica y de la fisica. Tienen una gran cantidad de propiedades interesantes, y siguen siendo un tema de investigacion muy activo; de hecho, la investigacion sobre polinomios ortogonales ocupa a numerosos matematicos, y cada ano se publican cientosde articulos sobre el tema. Pero no vamos a dedicarnos aqui a ellos, sino que solo mencionaremos alguna de sus propiedades como justificacion paramotivar el problema que pretendemos abordar.