Numero trascendente (original) (raw)
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In matematica un numero trascendente è un numero irrazionale che non è un numero algebrico, ossia non è la soluzione di nessuna equazione polinomiale della forma:
a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0}
dove n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} 
Il primo ad introdurre il concetto di trascendenza in relazione a un ente matematico fu Gottfried Wilhelm von Leibniz, il quale non lo riferì però a numeri bensì a funzioni, ovvero funzioni quali esponenziali, logaritmiche, trigonometriche, che trascendono nella loro valutazione gli ordinari strumenti dell'algebra, ossia le operazioni di somma, prodotto, ecc. Fu invece Eulero[1] ad associare il concetto a numeri, avendo avuto la straordinaria intuizione, confermata un secolo più tardi dal teorema di Lindemann-Weierstrass, 1882-1885, che una funzione trascendente trasforma numeri "facili", quali per esempio numeri razionali, o algebrici, in numeri "difficili", quelli che Eulero considerò appunto numeri trascendenti[2]. Per essere più precisi, una delle conseguenze più interessanti del teorema dianzi menzionato è che e x {\displaystyle e^{x}} 
L'esistenza dei numeri trascendenti fu dimostrata per la prima volta nel 1844 da Joseph Liouville, che riuscì a costruire un'intera classe di numeri trascendenti, chiamati quindi numeri di Liouville; in particolare tra questi c'è la costante di Liouville:
∑ k = 1 ∞ 10 − k ! = 0 , 110001000000000000000001000 … {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\ldots }
di cui l' n {\displaystyle n} 
La scoperta dei numeri trascendenti consentì la dimostrazione d'impossibilità di diversi antichi problemi geometrici riguardanti la costruzione con riga e compasso; la quadratura del cerchio, il più famoso tra questi problemi, è impossibile perché π {\displaystyle \pi } 
L'insieme dei numeri algebrici è numerabile, mentre l'insieme di tutti i numeri reali è non numerabile; ciò implica che l'insieme dei numeri trascendenti è non numerabile, ossia esistono infinitamente più numeri trascendenti che algebrici. Questo risultato fu dimostrato da Georg Cantor alla fine dell'Ottocento. Dimostrare che un dato numero è trascendente può essere molto difficile. La normalità, un'altra proprietà dei numeri, potrebbe aiutare a determinarne la trascendenza.
- e a {\displaystyle e^{a}}
se a {\displaystyle a}
- π {\displaystyle \pi }
- a b {\displaystyle a^{b}}
dove a {\displaystyle a}
è algebrico, ma non razionale. Questo è il teorema di Gel'fond che risolve il settimo problema di Hilbert. Da questo teorema discende la trascendenza del numero
- Le funzioni trigonometriche sin ( a ) {\displaystyle \sin(a)}
, cos ( a ) {\displaystyle \cos(a)}
, tan ( a ) {\displaystyle \tan(a)}
, cot ( a ) {\displaystyle \cot(a)}
, sec ( a ) {\displaystyle \sec(a)}
, csc ( a ) {\displaystyle \csc(a)}
per a {\displaystyle a}
), in base al teorema di Lindemann-Weierstrass.
- il logaritmo naturale ln a {\displaystyle \ln a}
, se a {\displaystyle a}
- Γ ( 1 / 3 ) {\displaystyle \Gamma (1/3)}
, Γ ( 1 / 4 ) {\displaystyle \Gamma (1/4)}
e Γ ( 1 / 6 ) {\displaystyle \Gamma (1/6)}
, dove Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x)}
è la funzione gamma.
- Ω {\displaystyle \Omega }
la costante di Chaitin.
- ∑ k = 0 ∞ 10 − ⌊ β k ⌋ ; β > 1 , {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }10^{-\lfloor \beta ^{k}\rfloor };\qquad \beta >1,}
dove β ↦ ⌊ β ⌋ {\displaystyle \beta \mapsto \lfloor \beta \rfloor } 
È stato congetturato che altri numeri come ζ ( n ) {\displaystyle \zeta (n)} 
- ↑ Introductio in analysin infinitorum, 1748
- ↑ Paul Erdős, Some Remarks and Problems in Number Theory Related to the Work of Euler .
Alberto Zanardo, La struttura dei numeri reali: costruzione e proprietà (PDF), p. 28.
Numero trascendente, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
(EN) transcendental number, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) Opere riguardanti Transcendental numbers, su Open Library, Internet Archive.
(EN) Eric W. Weisstein, Transcendental Number, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Transcendental number, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
Dimostrazione della trascendenza di e {\displaystyle e}
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