Bernoulli-tal (original) (raw)

Bernoulli-tal, \(B_n\), består af konstantleddene i Bernoulli-polynomierne, \(B_n(x)\), beskrevet i Jakob Bernoullis værk Ars Conjectandi (1713), hvor begge indgår i formlerne for summerne af \(n\)-te potenserne \[1+2^n+\dots+m^n = \frac{B_{n+1}(m+1)-B_{n-1}}{n+1}\]

De ulige Bernoulli-tal er, på nær \(B_1\), lig \(0\), og de første er: \(B_0 = 1, \ B_1 = -1/2, \ B_2 = 1/6, \ B_4 = -1 / 30, \ B_6 = 1/42,\) osv.

Såvel Bernoulli-tallene som Bernoulli-polynomierne kan kun beregnes rekursivt, dvs. ved hjælp af de forrige i rækken. Rekursionsformlen for Bernoulli-tallene er for \(n>0\) den implicitte ligning \[B_0 + (n+1)\cdot B_1 + \dots + \binom{n+1}{k}\cdot B_k + \dots (n+1)\cdot B_n = 0\]

hvis koefficienter er binomialkoefficienter. For Bernoulli-polynomierne er rekursionen defineret ved \(B_0 = 1\) og \(B'_n(x) = nB_{n-1}(x)\) samt reglen, at \[\int^1_0 B_n(x)dx = 0\]

for \(n>0\) bestemmer konstantleddet \(B_0(x)\). Bernoulli-tal indgår i flere sammenhænge, fx i rækkeudvikling af tangens og cotangens og i differensligninger.