Mandelbrotmængden (original) (raw)

Mandelbrotmængden er en matematisk struktur i den komplekse plan af betydning i teorien for dynamiske systemer og fraktaler. Mandelbrotmængden er knyttet til iteration af polynomier på formen \(z^2+c\).

Faktaboks

Den består af de komplekse _c_-værdier, for hvilke den itererede følge af punkter \[0, c, c^2+c, (c^2+c)^2+c, \ldots \] ligger helt inden for eller på cirklen med centrum i \(0\) og radius \(2\). Det er derfor simpelt at generere computerbilleder af Mandelbrotmængden.

Randen af Mandelbrotmængden er en fraktal; den har Hausdorff-dimension \(2\), men topologisk dimension \(1\). Mandelbrotmængden kan desuden karakteriseres som mængden af de \(c\)-værdier, for hvilke den tilhørende Julia-mængde er sammenhængende.

Randen af Mandelbrotmængden er bifurkationsmængden for de iterative dynamiske systemer bestemt af \(z^2 + c\), dvs. at dynamikken og Julia-mængden kun ændres kvalitativt, når \(c\)-værdien passerer randen. I mange familier af holomorfe funktioner genfinder man kopier af Mandelbrotmængden, specielt findes der kopier af den inden i den selv, i mere eller mindre deformeret form.