kugle (original) (raw)
Skulptur med kugle i Rom.
En kugle er i matematik et rumligt legeme afgrænset af en lukket flade bestående af alle punkter i det euklidiske rum, der har samme afstand \(r\) fra et fast punkt \(O\). Den afgrænsende flade kaldes kuglefladen. Afstanden \(r\) og punktet \(O\) kaldes henholdsvis radius og centrum for kuglen og kuglefladen.
En storcirkel på kuglen er skæringskurven mellem kuglefladen og en plan i rummet, der går gennem kuglens centrum.
Kugle på formel
I et koordinatsystem i rummet med \(O\) som begyndelsespunkt og koordinater \((x,y,z)\), har kuglefladen med radius \(r\) og centrum i \(O\) ligningen \[x^2+y^2+z^2=r^2,\] og kuglens indre punkter \( (x, y, z) \) tilfredsstiller \[x^2+y^2+z^2 < r^2.\]
Enhedskuglen
For \(r=1\) taler man om enhedskuglen. De to diametralt modsatte punkter \((0,0,1)\) og \((0,0,−1)\) på enhedskuglen kaldes henholdsvis nordpol og sydpol, med terminologi lånt fra jordklodens geografi. Den storcirkel, der er skæringskurve med planen med ligningen \(z=0\), kaldes ækvator. En parameterfremstilling af enhedskuglefladen er givet ved \[(x, y, z)=(\sin(u)\cos(v), \sin(u)\sin(v), \cos(u)),\] hvor \(0\le u\le \pi\) og \(0\le v < 2\pi\). Her kan \((u, v)\) tolkes som sfæriske koordinater på kuglefladen (se koordinatsystem).
Kugleafsnit og kuglekalot
Kugleafsnit og på overfladen kuglekalot.
En plan, der skærer kuglen, deler denne i to kugleafsnit, hvis krumme overflader kaldes kuglekalotter, og som har fælles grundcirkel.
Ved højden \(h\) for et afsnit, henholdsvis en kalot forstås den største afstand mellem skæringsplanen og et punkt på kalotten.
For rumfanget \(V\) af et kugleafsnit og overfladeareal \(A\) af den tilsvarende kalot gælder \[V=\frac{1}{3}\pi h^2(3r-h)\quad \text{og}\quad A=2\pi rh .\]
Kugleskive og kuglebælte
Kugleskive og på overfladen kuglebælte.
Når man skærer kuglen med to parallelle planer med afstanden \(h\), fremkommer en kugleskive, begrænset af to cirkler.
Kugleskivens krumme overflade kaldes et kuglebælte.
Bæltets areal er \[A=2\pi rh .\] Hvis radierne i de nævnte cirkler er \(r_1\) og \(r_2\), så er skivens rumfang \[V=\frac{1}{6}\pi h(3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2).\]
Kugleudsnit
Et kugleudsnit.
Et kugleudsnit fremkommer som legemet begrænset af en kalot og den kegleflade, der har toppunkt i centrum og ledekurve fælles med kalottens grundcirkel. Er kalottens højde \(h<r\) og grundcirklens radius \(r_1\), så er udsnittets rumfang \[ V = \frac{2}{3}\pi r^2h,\] og arealet af dets krumme overflade \[A=\pi r(2h+r_1) .\] Betragter man som et grænsetilfælde et kugleudsnit, henholdsvis en kuglekalot med højde \(2r\), så finder man, at kuglens rumfang \(V\) og kuglefladens areal \(A\) er givet ved henholdsvis \[V=\frac{4}{3}\pi r^3\quad \text{og}\quad A=4\pi r^2.\]
Differentialgeometriske egenskaber
Kuglen og kuglefladen er blandt de mest undersøgte objekter i geometrien, specielt med metoder fra differentialgeometri i forbindelse med krumningsegenskaber.
Fx gælder der, at på en kugleflade er både den gaussiske krumning K og middelkrumningen H konstante på fladen; se differentialgeometri. Omvendt gælder der, at hvis K er konstant på en lukket flade, eller hvis H er konstant på en konveks lukket flade, da vil fladen også være en kugleflade. Desuden er kuglefladen den flade, der for et givet overfladeareal indeslutter det største volumen, jf. isoperimetriske problemer.