rumkurve (original) (raw)
Figuren følger oskulationsplanen for en orienteret kurve (rød) i et kurvepunkt \(P\) som bevæger sig langs kurven. I det afmærkede kurvepunkt er torsionen \(\tau = 0\) og \(\tau\) skifter fortegn.
En rumkurve er i geometri en kurve i det euklidiske rum, som ikke helt er indeholdt i en plan i rummet. En rumkurves egenskaber undersøges i differentialgeometri ved at studere bevægelsen af oskulationsplanen til kurven i et kurvepunkt der bevæger sig langs kurven.
Oskulationsplanen
Oskulationsplanen til en orienteret kurve i et punkt \(P\) er udspændt af de to ortogonale vektorer \({\bf t}\) og \({\bf n}\) af længde \(1\), der betegner henholdsvis tangentvektoren til kurven og den normalvektor til kurven, der følger kurvens krumning. Oskulationsplanen er koordinatplan i et retvinklet koordinatsystem \((P,{\bf t},{\bf n},{\bf b})\) i rummet med origo i \(P\), hvor aksevektorerne \({\bf t}\) og \({\bf n}\) er suppleret med en tredje aksevektor \({\bf b}\), den såkaldte binormal, som er vinkelret på \({\bf t}\) og \({\bf n}\) og valgt så koordinatsystemet er i højrestilling.
Krumning og torsion
En rumkurve er karakteriseret ved to geometriske størrelser: krumning og torsion. Rumkurvens krumning \(\kappa\) er et mål for tangentvektorens vinkelhastighed i forhold til binormalen, og torsionen \(\tau\) er et mål for normalvektorens vinkelhastighed (med fortegn) i forhold til tangenten. En rumkurve er helt fastlagt (på nær beliggenhed) ved angivelse af krumning og torsion.