Krzywa (original) (raw)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Parabola – prosty przykład krzywej.

Krzywa – uogólnienie linii prostej. Mimo intuicyjnej prostoty, pojęcie krzywej okazało się bardzo trudne do ścisłego zdefiniowania [1]. Poprawna definicja powinna obejmować „dowolną linię” (w szczególności na płaszczyźnie lub przestrzeni trójwymiarowej), w tym także linię prostą, która mogłaby się rozgałęziać i przerywać.

Komentatorzy Euklidesa określali krzywą jako „długość bez szerokości” oraz „ograniczenie powierzchni”. Nie są to jednak definicje w sensie matematycznym.
Kartezjusz definiował krzywą jako zbiór punktów spełniających pewne równanie. Definicja ta nie obejmuje jednak wszystkich przypadków.
Kolejna definicja określała krzywą jako sumę skończonej liczby łuków, z których żadne dwa nie mają wspólnych punktów oprócz swych końców. Okazało się jednak, że definicja ta nie obejmuje niektórych przypadków, np.

{ ( x , y ) : y = sin ⁡ 2 π x , 0 < x ⩽ 1 } {\displaystyle \left\{(x,y)\colon y=\sin {\tfrac {2\pi }{x}},\ 0<x\leqslant 1\right\}} $\left\{(x,y)\colon y=\sin {\tfrac {2\pi }{x}},\ 0<x\leqslant 1\right\}$ z dołączonym odcinkiem { ( x , y ) : x = 0 , − 1 ⩽ y ⩽ 1 } . {\displaystyle \left\{(x,y)\colon x=0,\ -1\leqslant y\leqslant 1\right\}.} $\left\{(x,y)\colon x=0,\ -1\leqslant y\leqslant 1\right\}.$

Szereg definicji topologicznych używa pojęcia continuum (kontinuum), czyli przestrzeni zwartej i spójnej.

Camille Jordan w XIX wieku zdefiniował krzywą jako zbiór punktów płaszczyzny ( φ ( t ) , ψ ( t ) ) , {\displaystyle \left(\varphi (t),\psi (t)\right),} $\left(\varphi (t),\psi (t)\right),$ gdzie φ {\displaystyle \varphi } $\varphi$ i ψ {\displaystyle \psi } $\psi$ są funkcjami ciągłymi, zaś t {\displaystyle t} $t$ jest parametrem przebiegającym przedział liczb rzeczywistych. Innymi słowy krzywa to obraz przedziału (równoważnie: odcinka) w odwzorowaniu ciągłym. Okazało się wszakże, że definicja ta jest zbyt szeroka. W 1890 roku Giuseppe Peano pokazał, że obraz tak rozumianej krzywej może wypełniać kwadrat wraz z wnętrzem (tzw. krzywa Peana). Obecnie krzywą Jordana nazywa się homeomorficzny obraz okręgu.
Pod koniec XIX wieku Georg Cantor podał następującą definicję: krzywa płaska to takie continuum na płaszczyźnie, które nie zawiera żadnego koła o dodatnim promieniu. W przypadku płaszczyzny jest ona równoważna przytoczonej niżej definicji podanej przez Urysohna.
Krzywą nazywa się continuum o wymiarze 1. Innymi słowy jest to zbiór, w którym każdy jego punkt ma dowolnie małe otoczenia o zerowymiarowym brzegu. Jest to wtedy zbiór zwarty i spójny.
Krzywą nazywamy continuum, w którym dla każdego jego punktu i dowolnego jego otoczenia istnieje pewne otoczenie wspomnianego punktu zawarte w poprzednim, którego brzeg nie zawiera żadnego continuum złożonego z więcej niż jednego punktu. Definicja ta, sformułowana przez rosyjskiego matematyka Pawła Urysohna, pochodzi z końca lat 20. XX wieku.
Często przez krzywą rozumie się homeomorficzny obraz odcinka (domkniętego lub otwartego).

W przypadku geometrii różniczkowej definicje krzywej, jako obrazu odcinka otwartego przy odwzorowaniach różniczkowych, zakładają zawsze, że pierwsza pochodna jest różna od zera w każdym punkcie odcinka.

Ważne klasy krzywych definiuje się, nakładając dodatkowe warunki na funkcję f : ( a , b ) → R 2 , {\displaystyle f\colon (a,b)\rightarrow \mathbb {R} ^{2},} $f\colon (a,b)\rightarrow \mathbb {R} ^{2},$ odwzorowującą przedział w płaszczyznę, na przykład dla funkcji różniczkowalnych otrzymuje się łuk regularny, a dla przedziałami liniowych – linię łamaną.
W geometrii różniczkowej płaszczyzny lub przestrzeni przez krzywą rozumie się na ogół odwzorowanie r {\displaystyle r} $r$ razy różniczkowalne przedziału otwartego na płaszczyznę f : ( a , b ) → R 2 {\displaystyle f\colon (a,b)\rightarrow \mathbb {R} ^{2}} $f\colon (a,b)\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ lub f : ( a , b ) → R 3 , {\displaystyle f\colon (a,b)\rightarrow \mathbb {R} ^{3},} $f\colon (a,b)\rightarrow \mathbb {R} ^{3},$ gdzie r {\displaystyle r} $r$ -ta pochodna jest ciągła (tak zwane krzywe klasy C r {\displaystyle {\mathcal {C}}^{r}} ${\mathcal {C}}^{r}$ ). Często, aby uniknąć dyskusji o klasie gładkości zakłada się, że funkcje te mają wszystkie pochodne (tak zwane krzywe klasy C ∞ ; {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty };} ${\mathcal {C}}^{\infty };$ oczywiście wtedy wszystkie pochodne są ciągłe). Obrazy tych funkcji nie są wtedy zwarte[2].
długość krzywej
droga
kąt między dwiema krzywymi
krzywa Béziera
krzywa regularna
krzywa stożkowa
krzywizna krzywej
lista krzywych
łamana
wzory Freneta

↑ Krzywa, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-30] .
↑ Gancarzewicz i Opozda 2003 ↓, s. 11.

Jacek Gancarzewicz, Barbara Opozda: Wstęp do geometrii różniczkowej. Kraków: Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, 2003. ISBN 83-233-1768-2.

Polskojęzyczne

JoannaJ. Jaszuńska JoannaJ., Krzywe i połamane, „Delta”, listopad 2017, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-10-30] .
Słynne krzywe, „Świat matematyki”, swiatmatematyki.pl, ISSN 189774645 [dostęp 2026-01-19].

Anglojęzyczne